とおきます。このとき、 となります。 x>-3より、相加相乗平均を用いて、 等号成立条件は、 x+3=1/(x+3) ⇔(x+3)²=1 ⇔x+3=±1 ⇔x=-2(∵x>-3) よって、A+3の最小値は1であるので、求める値であるAの最小値は-2 【問題5】x>0のとき、 の最小値を求めなさい。 【解説5】 x>0より、相加相乗平均を用いて、 等号成立条件は、 x=x=1/x² ⇔x³=1 ⇔x=1 よって、求める最小値は 3
子どもの勉強から大人の学び直しまで ハイクオリティーな授業が見放題 この動画の要点まとめ ポイント 相加・相乗平均の大小関係の活用 これでわかる! ポイントの解説授業 相加平均 相乗平均 相加平均≧相乗平均 POINT 浅見 尚 先生 センター試験数学から難関大理系数学まで幅広い著書もあり、現在は私立高等学校でも 受験数学を指導しており、大学受験数学のスペシャリストです。 相加・相乗平均の大小関係の活用 友達にシェアしよう!
タイプ: 教科書範囲 レベル: ★★★ 入試でも多用する,相加平均と相乗平均の大小関係について扱います. このページでは基本(2変数)を,主に最大・最小問題で自由自在に使えるようになるまで説明し,演習問題を多く用意しました. 相加平均と相乗平均の定義と関係式 ポイント 2変数の(相加平均) $\geqq$ (相乗平均) $\boldsymbol{a>0}$,$\boldsymbol{b>0}$ とするとき,$\dfrac{a+b}{2}$ を相加平均,$\sqrt{ab}$ を相乗平均といい $\displaystyle \boldsymbol{\dfrac{a+b}{2}\geqq \sqrt{ab}}$ が成り立つ. 実用上はこれを両辺2倍した $\displaystyle \boldsymbol{a+b\geqq 2\sqrt{ab}}$ をよく使う. 等号成立は $\displaystyle \boldsymbol{a=b}$ のとき. (相加平均) $\geqq$ (相乗平均)の証明 この(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)を使うときには,基本的に以下の3ステップを踏みます. (相加平均) $\geqq$ (相乗平均)を使うための3ステップ STEP1: $a>0$,$b>0$ (主役2つが正である)ことを断る. STEP2: $\dfrac{a+b}{2}\geqq \sqrt{ab}$ または $a+b\geqq 2\sqrt{ab}$ を使用する. STEP3:等号成立確認を行う(等号成立は $a=b$ のとき) 注意点 特にSTEP3の等号成立確認は 最小値を求めるときには必須です(不等式の証明に必要ない場合もありますが,確認をする癖をつけて損はないです). 例えばAKR(当サイト管理人)の身長はおよそ $172$ cmです.朝起きた後や運動直後では多少変動するかもしれませんが (AKRの身長) $\geqq 100$ cm という不等式は正しいです. 相加平均 相乗平均. しかし実際に $100$ cmを取れるかは別の話で,等号が成り立つか確認しなければなりません. 例題と練習問題 例題 $x>0$ とする. (1) $x+\dfrac{16}{x}\geqq8$ を示せ. (2) $x+\dfrac{4}{x}$ の最小値を求めよ. (3) $x+\dfrac{16}{x+2}$ の最小値を求めよ.
こんにちは。 いただいた質問について,さっそく回答いたします。 【質問の確認】 不等式の証明で,どんなときに,相加平均・相乗平均の関係を使ったらよいのかわかりません。 というご質問ですね。 【解説】 相加平均と相乗平均の大小関係は, 「 a >0, b >0 のとき, (等号が成り立つのは, a = b のとき)」 でしたね。 この関係は, 不等式を証明するときなどに使うことができるもの でした。 ただし,実際の問題では,どんなときに相加平均と相乗平均の大小関係を使ったらよいのか,どのような2数に対して当てはめればよいのか,迷うことがあると思います。 では,具体的に見ていきましょう。 ≪その1:どんなときに,相加平均と相乗平均の大小関係を使ったらよいの?
高校数学における、相加相乗平均について、数学が苦手な生徒でも理解できるように解説 します。 現役の早稲田生が相加相乗平均について丁寧に解説しています。 相加相乗平均は、数学の問題の途中で利用することが多く、知っていないと解けない問題もあったりします。 本記事では、 一般的な相加相乗平均だけでなく、3つの変数における相加相乗平均や、使い方についても解説 していきます。 相加相乗平均について充実の内容なので、ぜひ最後まで読んでください! 1:相加相乗平均とは? (公式) まずは、相加相乗平均とは何か(公式)を解説します。 相加相乗平均とは、「2つの実数a、b(a>0、b>0)がある時、(a+b)/2≧√abが成り立ち、等号が成り立つのはa=bの時である」という公式のこと をいいます。 ※実数の意味がわからない人は、 実数とは何かについて解説した記事 をご覧ください。 また、(a+b)/2をaとbの相加平均といい、√abのことを相乗平均といいます。 以上が相加相乗平均とは何か(公式)についての解説です。 次の章では、相加相乗平均が成り立つ理由(証明)を解説します。 2:相加相乗平均の証明 では、相加相乗平均の証明を行っていきます。 a>0、b>0の時、 a+b-2√ab =(√a) 2 -2・√a・√b+(√b) 2 = (√a-√b) 2 ≧0 よって、 a+b-2√ab≧0 となるので、両辺を整理して (a+b)/2≧√ab となります。 また、等号は (√a-√b) 2 =0 より、 √a=√b、すなわち a=bの時に成り立ちます。 以上で相加相乗平均の証明ができました! 3:相加相乗平均の使い方 相加相乗平均はどんな場面・問題で使うのでしょうか? 本章では、例題を1つ使って、相加相乗平均の使い方をイメージして頂ければと思います。 使い方:例題 a>0とする。この時、a+1/2aの最小値を求めよ。 解答&解説 相加相乗平均より、 a+1/2a ≧ 2・√a・(1/2a) です。 右辺を計算すると、 2・√a・(1/2a) =√2 となるので、 a+1/2aの最小値は√2となります。 相加相乗平均の使い方がイメージできましたか? 相加平均 相乗平均 最小値. 今までは、aとbという2つの変数の相加相乗平均を解説してきました。 しかし、相加相乗平均は3つの変数でも活用できます。次の章からは、3つの変数の相加相乗平均を解説します。 4:変数が3つの相加相乗平均 変数が3つある場合の相加相乗平均は、「(a+b+c)/3≧(abc) 1/3 」となり、等号が成り立つのはa=b=cの時 です。 ただし、a>0、b>0、c>0とする。 次の章では、変数が3つの相加相乗平均の証明を解説します。 5:変数が3つの相加相乗平均の証明 少し複雑な証明になりますが、頑張って理解してください!
←確認必須 このとき最小値 $\displaystyle \boldsymbol{25}$ ※以下は誤答です. $x>0$,$\dfrac{4}{x}>0$,$\dfrac{9}{x}>0$,(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)より $\displaystyle \geqq2\sqrt{x \cdot \dfrac{4}{x}}\cdot2\sqrt{x \cdot \dfrac{9}{x}}=24$ このとき最小値 $\displaystyle \boldsymbol{24}$ これは誤りです!左の等号は $x=2$ のとき,右の等号は $x=3$ のときなので,最小値 $24$ をとる $x$ が存在しません. だから等号成立確認が重要なのです. (5) $\dfrac{x^{2}+6}{\sqrt{3x^{2}+8}}$ $=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3x^{2}+18}{\sqrt{3x^{2}+8}}$ $=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3x^{2}+8+10}{\sqrt{3x^{2}+8}}$ $=\dfrac{1}{3}\left(\sqrt{3x^{2}+8}+\dfrac{10}{\sqrt{3x^{2}+8}}\right)$ $\sqrt{3x^{2}+8}>0$,$\dfrac{10}{\sqrt{3x^{2}+8}}>0$,(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)より $\dfrac{x^{2}+6}{\sqrt{3x^{2}+8}}$ $\displaystyle \geqq\dfrac{1}{3}\cdot2\sqrt{\sqrt{3x^{2}+8} \cdot \dfrac{10}{\sqrt{3x^{2}+8}}}=\dfrac{2}{3}\sqrt{10}$ 等号成立は $\displaystyle \sqrt{3x^{2}+8}=\dfrac{10}{\sqrt{3x^{2}+8}} \Longleftrightarrow x=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ のとき. ←確認必須 このとき最小値 $\displaystyle \boldsymbol{\dfrac{2}{3}\sqrt{10}}$ 練習問題 練習 $x>0$,$y>0$ とする. (相加平均) ≧ (相乗平均) (基本編) | おいしい数学. (1) $x+\dfrac{2}{x}\geqq2\sqrt{2}$ を示せ.
| キヤノンサイエンスラボ・キッズ... 私たちが住む太陽系は、中心にある 太陽 のまわりを地球などの「惑星」が公転 1 していて、その惑星のまわりを月などの「衛星 2 」がまわっ... 月食と満ち欠けとの ちがい... 太陽 の大きさってどのくらい? 月と同じくらいの大きさに... 太陽 なくして地球の生物は生きていけません。しかし、重要であるわりに、 太陽 について詳しく説明するのは案外難しいものです。その大きさ・年齢・... 月と太陽 6年 その際、地球から見た 太陽と月 の位置関係で扱う。 イ 月の表面は、 太陽 と 違い があること。 太陽 は自ら光を発しているが、月は 太陽... 【スタディピア】地球と宇宙 - 中学校 私たちのもっとも身近な星である 太陽と月 は、宇宙に浮かぶ星の一つです。... 地球から太陽や惑星への距離は、どのようにして測定されているのですか？ | クリエーション・リサーチ・ジャパン. 星は、東西南北によって動きが 違い ますが、北極星と地球を結ぶ軸を中心に東から西に回っ... 太陽と月 の形 月と太陽の共通点や差異点について質問し,自由記述で回答を求めた。集計は,指導者の判... また, 月と太陽の違い として,温度や大きさに着目している児童が多い。 月と太陽のちがい で検索した結果 約436, 000, 000件
7月4日に太陽との距離が最大になるのに、なぜ北半球ではうだるような暑さに苦しめられるのだろうか。 ハマーグレン氏によると、季節を決定するのは太陽からの距離ではなく、地軸の傾きだという。地球の南北軸は約23. 4度傾いているため、太陽を周回する間、両極はそれぞれ異なる方向を向いている。地球が遠日点に到達する時は、たまたま北極側が太陽に向かって傾いているのだ。 「地軸の傾きにより、夏の数カ月間、北半球は太陽光をより長時間浴びる。つまり、昼は長く夜は短い。しかも、太陽光はより垂直に近い角度で地面に当たる」と同氏は話す。「この2つの要因が、季節による気温の違いを生み出している」。 Photograph by Rick Bowmer, AP
」と叫んだが、ふと気を取り直して、こう付け加えた。"しかし、あれは月ではない。よほど地球に近づいたのでなければ、これほど強い光を放つことはできない。 彼がそう言うと、蒸気のスクリーンは、まるで国中が薄明かりに包まれているかのように照らされた。 "これは一体何だろう」と大尉は独り言を言った。"太陽ではない。1時間半前に太陽は東に沈んだばかりだ。あの雲の向こうにはどんな巨大な光があるのだろうか? もっと天文学を学ばなかった私は何と愚かだったのだろう。結局のところ、私はごく普通の自然の流れの中で頭を悩ませているのかもしれません」。 しかし、彼がいくら考えても、天の謎はまだ解明されていませんだった。1時間ほど前から、明らかに巨大な円盤を持ついくつかの発光体が雲の上層部に光を当てていたが、驚くべきことに、通常の天体力学の法則に従って反対側の地平線に降下するのではなく、赤道の平面に垂直な線上に上昇して消えていった。 地球の表面に戻ってきた暗闇は、大尉の心を覆った暗闇に勝るとも劣らないものだった。すべてが理解できない。惑星は重力の法則に反し、天球の運動はゼンマイが故障した時計のように狂い、太陽が二度と地球を照らすことがないのではないかと心配するには十分な理由があった。 しかし、大尉の心配は杞憂に終わりました。薄明かりのない3時間後には、西の方角から朝日が顔を出し、再び昼が訪れたのである。サーバダックが時計を見ると、夜はちょうど6時間続いていた。しかし、ベン・ズーフは、短い休息時間に慣れていないのか、まだぐっすりと眠っている。 "セルバダックは「さあ、起きろ!
月と太陽の距離を知りたいです。 月と太陽の距離は日によって変わると思うので、その日毎に対応できるようにしたいです。 地球から月の距離は38万km、地球から太陽の距離は1億5千万km 地球から見える月と太陽の高度・方位(国立天文台で調べれる) 上の数値を使って、月と太陽の距離を求めるにはどうすればよいでしょうか? 天文、宇宙 ・ 8, 215 閲覧 ・ xmlns="> 50 1人 が共感しています ベストアンサー このベストアンサーは投票で選ばれました なぜその値が必要なんですか? さらに加えると、どの程度の精度が欲しいのですか? (太陽と月の) 大きさと距離について. 誤差1000万kmなら、地球と月は供に太陽から約1億5000万km離れている、で充分です。1億5000万から38万を足したり引いたりしたところで、意味の無い計算です。 誤差100万kmなら、地球の公転軌道が楕円軌道のため季節変動で年間500万kmほど差(約3%。±250万km)があることを考慮しなければなりません。1月頃が一番近く、7月が一番遠いです。地球と月は平均約38万kmしか離れていませんから、事実上、地球と月は平均的に言って同じ位置にあるとして構いません。 誤差10万kmなら、月が平均38万kmで公転していることを考慮する必要が出てきます。 誤差1万kmなら、地球と月の距離は、月が楕円軌道で巡っていて、36万km~40万kmほどで変動していることを考慮する必要がありますし、近地点は19年ほどの周期でずれている事も考慮しなければなりません。このレベルから月の運動もケプラーの法則での精密な運動計算が要求されてきます。 誤差1000kmなら、地球もまた月の運動に影響されて地球自体も月に振り回されていることを考慮しなければなりません。地球や月の直径も無視できなくなってきます。 1人 がナイス!しています その他の回答(2件) >地球から月の距離は38万km、地球から太陽の距離は1億5千万km このレベルの値なら、ほぼ1億5千万kmで良いのでは・・・ 地球-太陽の距離は、1. 47億kmから1. 52億km程度まで変化します。 なので、地球-月の距離(35. 5万kmから40.
5年 。 自転車では 15km/h とすると 約414887日 でした。 約1136. 7年 。 こう考えると太陽はいかに遠いか分かります。 また太陽は月までの距離の389. 2倍もあるのに、月とみかけの大きさはあまりかわりません。太陽がいかに大きいか分かりますね。 まとめ 月と太陽の距離について紹介しました。 私は月までの距離を考える時、車で換算するのが実感しやすいです。一生かかって、やっといける距離なんだなって思っています。 宇宙は広いですので、色々な距離を調べてみてくださいね。(おわり)
」とセルバダック大尉は叫んだ。 - いや、プロコピウス中尉は「今、地球が危機に瀕しているような落下ではないと断言できると思います」と答えている。太陽に向かって突進しているわけではなく、太陽を中心に新しい軌道を描いているのは間違いない。 - 「この仮説を裏付ける証拠はあるのか」とティマシェフ伯爵は尋ねた。 - 「はい、閣下」とプロコピウス中尉は答え、「あなたを納得させる証拠があります。実際、地球上の地球が受けた落下であれば、最終的なカタストロフィーは短時間で起こり、我々は魅力的な中心に極めて近いところにいるはずです。もし落下だとしたら、太陽の作用と相まって惑星を楕円に沿って循環させる接線速度が突然消滅したことになり、この場合、地球が太陽の上に落下するのに64日半しかかからないことになります。 - 「これで結論が出たのか?
1 (φ = 87°), θ = 1° として再構築した結果である。 また現代で受け入れられている値もつけている。 量 再構築された値 現代の値 s/t 6. 7 109 t/ℓ 2. 85 3. 50 L/t 20 60. 32 S/t 380 23500 この計算における誤差は主に x と θ の貧弱な値に起因している。 θの貧弱な値はとりわけおどろくべきことである。というのは 「アリスタルコスが太陽と月の見かけ上の半径が 1/2° であることを決定した最初の人である」とアルキメデスが書いているからである。 こうであれば θ=0. 25 となり月までの距離は地球の半径の 80 倍となり、もっと良い評価となる。 類似の方法は ヒッパルコス によっても使用され、月までの平均の距離は地球の半径の 67 倍としており、 また プトレマイオス によっても取り上げられ、この値が地球の半径の 59 倍としている。