タイプ: 教科書範囲 レベル: ★★★ 入試でも多用する,相加平均と相乗平均の大小関係について扱います. このページでは基本(2変数)を,主に最大・最小問題で自由自在に使えるようになるまで説明し,演習問題を多く用意しました. 相加平均と相乗平均の定義と関係式 ポイント 2変数の(相加平均) $\geqq$ (相乗平均) $\boldsymbol{a>0}$,$\boldsymbol{b>0}$ とするとき,$\dfrac{a+b}{2}$ を相加平均,$\sqrt{ab}$ を相乗平均といい $\displaystyle \boldsymbol{\dfrac{a+b}{2}\geqq \sqrt{ab}}$ が成り立つ. 実用上はこれを両辺2倍した $\displaystyle \boldsymbol{a+b\geqq 2\sqrt{ab}}$ をよく使う. 等号成立は $\displaystyle \boldsymbol{a=b}$ のとき. (相加平均) $\geqq$ (相乗平均)の証明 この(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)を使うときには,基本的に以下の3ステップを踏みます. (相加平均) $\geqq$ (相乗平均)を使うための3ステップ STEP1: $a>0$,$b>0$ (主役2つが正である)ことを断る. STEP2: $\dfrac{a+b}{2}\geqq \sqrt{ab}$ または $a+b\geqq 2\sqrt{ab}$ を使用する. マクローリンの不等式 相加平均と相乗平均の1つの拡張 – Y-SAPIX｜東大・京大・医学部・難関大学現役突破塾. STEP3:等号成立確認を行う(等号成立は $a=b$ のとき) 注意点 特にSTEP3の等号成立確認は 最小値を求めるときには必須です(不等式の証明に必要ない場合もありますが,確認をする癖をつけて損はないです). 例えばAKR(当サイト管理人)の身長はおよそ $172$ cmです.朝起きた後や運動直後では多少変動するかもしれませんが (AKRの身長) $\geqq 100$ cm という不等式は正しいです. しかし実際に $100$ cmを取れるかは別の話で,等号が成り立つか確認しなければなりません. 例題と練習問題 例題 $x>0$ とする. (1) $x+\dfrac{16}{x}\geqq8$ を示せ. (2) $x+\dfrac{4}{x}$ の最小値を求めよ. (3) $x+\dfrac{16}{x+2}$ の最小値を求めよ.
高校数学における、相加相乗平均について、数学が苦手な生徒でも理解できるように解説 します。 現役の早稲田生が相加相乗平均について丁寧に解説しています。 相加相乗平均は、数学の問題の途中で利用することが多く、知っていないと解けない問題もあったりします。 本記事では、 一般的な相加相乗平均だけでなく、3つの変数における相加相乗平均や、使い方についても解説 していきます。 相加相乗平均について充実の内容なので、ぜひ最後まで読んでください! 1:相加相乗平均とは? 相加平均 相乗平均 調和平均 加重平均 ２乗平均. (公式) まずは、相加相乗平均とは何か(公式)を解説します。 相加相乗平均とは、「2つの実数a、b(a>0、b>0)がある時、(a+b)/2≧√abが成り立ち、等号が成り立つのはa=bの時である」という公式のこと をいいます。 ※実数の意味がわからない人は、 実数とは何かについて解説した記事 をご覧ください。 また、(a+b)/2をaとbの相加平均といい、√abのことを相乗平均といいます。 以上が相加相乗平均とは何か(公式)についての解説です。 次の章では、相加相乗平均が成り立つ理由(証明)を解説します。 2:相加相乗平均の証明 では、相加相乗平均の証明を行っていきます。 a>0、b>0の時、 a+b-2√ab =(√a) 2 -2・√a・√b+(√b) 2 = (√a-√b) 2 ≧0 よって、 a+b-2√ab≧0 となるので、両辺を整理して (a+b)/2≧√ab となります。 また、等号は (√a-√b) 2 =0 より、 √a=√b、すなわち a=bの時に成り立ちます。 以上で相加相乗平均の証明ができました! 3:相加相乗平均の使い方 相加相乗平均はどんな場面・問題で使うのでしょうか? 本章では、例題を1つ使って、相加相乗平均の使い方をイメージして頂ければと思います。 使い方:例題 a>0とする。この時、a+1/2aの最小値を求めよ。 解答&解説 相加相乗平均より、 a+1/2a ≧ 2・√a・(1/2a) です。 右辺を計算すると、 2・√a・(1/2a) =√2 となるので、 a+1/2aの最小値は√2となります。 相加相乗平均の使い方がイメージできましたか? 今までは、aとbという2つの変数の相加相乗平均を解説してきました。 しかし、相加相乗平均は3つの変数でも活用できます。次の章からは、3つの変数の相加相乗平均を解説します。 4:変数が3つの相加相乗平均 変数が3つある場合の相加相乗平均は、「(a+b+c)/3≧(abc) 1/3 」となり、等号が成り立つのはa=b=cの時 です。 ただし、a>0、b>0、c>0とする。 次の章では、変数が3つの相加相乗平均の証明を解説します。 5:変数が3つの相加相乗平均の証明 少し複雑な証明になりますが、頑張って理解してください!
とおきます。このとき、 となります。 x>-3より、相加相乗平均を用いて、 等号成立条件は、 x+3=1/(x+3) ⇔(x+3)²=1 ⇔x+3=±1 ⇔x=-2(∵x>-3) よって、A+3の最小値は1であるので、求める値であるAの最小値は-2 【問題5】x>0のとき、 の最小値を求めなさい。 【解説5】 x>0より、相加相乗平均を用いて、 等号成立条件は、 x=x=1/x² ⇔x³=1 ⇔x=1 よって、求める最小値は 3
まず、 x 3 +y 3 +z 3 -3xyz = (x+y+z)(x 2 +y 2 +z 2 -xy-yz-zx)・・・① です。ここで、x>0、y>0、z>0の時、①の右辺は、 x 2 +y 2 +z 2 -xy-yz-zx =(2x 2 +2y 2 +2z 2 -2xy-2yz-2zx)/2 ={(x-y) 2 +(y-z) 2 +(z-x) 2}/2≧0 となります。よって、①より x 3 +y 3 +z 3 -3xyz≧0となりますね。 式を変形して、 (x 3 +y 3 +z 3)/3≧xyz・・・② となります。 ここで、x=a 1/3 、y=b 1/3 、z=c 1/3 とおくと、②は、 (a+b+c)/3≧(abc) 1/3 となることがわかりました。 等号は、 x=y、y=z、z=xの時、すなわちa=b=cの時に成り立つことがわかります。 変数が3つの場合の相加相乗平均の証明は以上になります。 次の章では、相加相乗平均の問題をいくつか出題します。ぜひ解いてみてください! (相加平均) ≧ (相乗平均) (基本編) | おいしい数学. 6:相加相乗平均の問題 では、早速相加相乗平均の問題を解いていきましょう! 問題① a>0、b>0とする。 この時、(b/a)+(a/b)≧2となることを証明せよ。 (b/a)+(a/b)≧2・√(b/a)・(a/b) (b/a)+(a/b)≧2 となります。よって示された。 問題② この時、ab+(9/ab)≧6となることを証明せよ。 ab+(9/ab)≧2・√ab・(9/ab) ab+(9/ab)≧6 となる。よって、示された。 問題③ この時、(2a+b)(2/a+1/b)≧9となることを証明せよ。 まずは、 (2a+b)(2/a+2/b)≧9 の左辺を展開してみましょう。すると、 4+(2a/b)+(2b/a)+1≧9 (2a/b)+(2b/a)≧4 より、両辺を2で割って、 (a/b)+(b/a)≧2 となります。すると、問題①と同じになりましたね。 (a/b)+(b/a)≧2・√(a/b)・(b/a) なので、 が証明されました。 まとめ 相加相乗平均の公式や使い方が理解できましたか? 相加相乗平均は高校数学で忘れがちな公式の1つ です。 相加相乗平均を忘れてしまったときは、また本記事で相加相乗平均を復習しましょう! アンケートにご協力ください!【外部検定利用入試に関するアンケート】 ※アンケート実施期間:2021年1月13日~ 受験のミカタでは、読者の皆様により有益な情報を届けるため、中高生の学習事情についてのアンケート調査を行っています。今回はアンケートに答えてくれた方から 10名様に500円分の図書カードをプレゼント いたします。 受験生の勉強に役立つLINEスタンプ発売中!
←確認必須 このとき最小値 $\displaystyle \boldsymbol{25}$ ※以下は誤答です. $x>0$,$\dfrac{4}{x}>0$,$\dfrac{9}{x}>0$,(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)より $\displaystyle \geqq2\sqrt{x \cdot \dfrac{4}{x}}\cdot2\sqrt{x \cdot \dfrac{9}{x}}=24$ このとき最小値 $\displaystyle \boldsymbol{24}$ これは誤りです!左の等号は $x=2$ のとき,右の等号は $x=3$ のときなので,最小値 $24$ をとる $x$ が存在しません. だから等号成立確認が重要なのです. (5) $\dfrac{x^{2}+6}{\sqrt{3x^{2}+8}}$ $=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3x^{2}+18}{\sqrt{3x^{2}+8}}$ $=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3x^{2}+8+10}{\sqrt{3x^{2}+8}}$ $=\dfrac{1}{3}\left(\sqrt{3x^{2}+8}+\dfrac{10}{\sqrt{3x^{2}+8}}\right)$ $\sqrt{3x^{2}+8}>0$,$\dfrac{10}{\sqrt{3x^{2}+8}}>0$,(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)より $\dfrac{x^{2}+6}{\sqrt{3x^{2}+8}}$ $\displaystyle \geqq\dfrac{1}{3}\cdot2\sqrt{\sqrt{3x^{2}+8} \cdot \dfrac{10}{\sqrt{3x^{2}+8}}}=\dfrac{2}{3}\sqrt{10}$ 等号成立は $\displaystyle \sqrt{3x^{2}+8}=\dfrac{10}{\sqrt{3x^{2}+8}} \Longleftrightarrow x=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ のとき. 相加平均 相乗平均 最小値. ←確認必須 このとき最小値 $\displaystyle \boldsymbol{\dfrac{2}{3}\sqrt{10}}$ 練習問題 練習 $x>0$,$y>0$ とする. (1) $x+\dfrac{2}{x}\geqq2\sqrt{2}$ を示せ.
この記事は最終更新日から1年以上が経過しています。内容が古くなっているのでご注意ください。 はじめに 数学に出て来る数多くの公式の中でも有名である、相加相乗平均の不等式。 シンプルな形をしていて覚えやすいとは思いますが、あなたはこの公式を証明することはできますか? 相加相乗平均とは？公式・証明から使い方までが簡単に理解できます（練習問題付き）｜高校生向け受験応援メディア「受験のミカタ」. 単に式だけを覚えていて、なんで成り立つのかはわからない… というあなた。それはとても危険です。 相加相乗平均に限らず、公式がなぜ成り立つのかを理解しておかないと、公式が成り立つための条件などを意識することができず、それが答案上で失点へと結びついてしまいます。 この記事では、相加相乗平均を2つの方法で証明するだけでなく、文字が3つある場合の相加相乗平均の公式や、実際の問題を解く際の相加相乗平均の使い方についてお伝えします。 大学入試において、どうしても解けないと思った問題が、相加相乗平均を使ったらあっさり解けてしまった、ということは(本当に)よくあります。 この記事で相加相乗平均をマスターして、入試における武器にしてしまいましょう! 文字が2つのときの相加相乗平均の証明 ではまず、一番よく見るであろう、文字が2つのときの相加相乗平均について説明します。 そもそも「相加相乗平均」とは? そもそも「相加相乗平均」とはどういった公式なのでしょうか。 「相加相乗平均」とは実は略称であり、答案で書くべき名前は「相加相乗平均の不等式」です。 この公式を☆とおきます。 では、証明していきましょう! まずはオーソドックスな数式を使う相加相乗平均の証明 まずは数式で説明します。といっても簡単な証明です。 a≧0, b≧0のとき、 よって証明できました。 さて、☆にはなぜ、「a≧0かつb≧0」という条件が執拗なほどについてくるのでしょうか。 まず☆は√abを含んでいるので、この平方根を成立させるために、ab≧0である必要があります。 つまり (a≧0かつb≧0)または(a≦0かつb≦0) です。 しかし、a≦0かつb≦0のときを考えてみると、 (a+b)/2≧√ab≧0より、(a+b)/2は0以上でなければならないのにも関わらず、 (a+b)/2が0以上となるのはa=b=0のときのみですね。負の数に負の数を足したら負の数になるし、0に負の数を足しても負の数になることがその理由です。 そして、a=b=0は、「a≧0かつb≧0」に含まれています。 よって、☆が成り立つa, bの条件は、 a≧0かつb≧0 であるわけです。 問題を解いているときに、ついここを忘れて、負の数が入っているにも関わらず相加相乗平均を使ってしまい、まったく違う答えが出てしまったりします。 「相加相乗平均を使うときは、使う数がどっちも0以上でないといけない!!
宴会でクイズをすると、黙ったまま気まずく感じることもなくなります。また、楽しい空気を壊さずにみんなで取り組めるものを提供することは、自分の株を上げることに繋がるかもしれません。 今回は宴会を盛り上げるクイズを具体的にご紹介します! 大人数でも楽しめる:2択クイズ 第1問 正しいのはどっち? Aコアラはユーカリしか食べない。 Bパンダは笹の葉しか食べない。 答え Aコアラはユーカリしか食べない 第2問 サザエさんの結婚前の職業は? A出版社の記者 Bバスガイド 答え A出版社の記者 第3問 日本にある駅名は? A黄 B緑 答えB緑 第4問 面積が大きいのはどっち? 一般常識クイズ30問。映画・小説・科学などの初級～中級問題 | 総合レビューサイト. A琵琶湖 B淡路島 答え A琵琶湖 第5問 ペンギンはどっちに分類される? A鳥類 B哺乳類 答え A鳥類 第6問 自転車屋をしながら飛行機の研究を行なった有名な兄弟と言えば? Aフライト兄弟 Bライト兄弟 答え Bライト兄弟 第7問 英語で「グリーンペッパー」と言われる食べ物は何? A青とうがらし Bピーマン 答え Bピーマン 第8問 古代エジプトで「守護神」として最も多くの人々に崇拝されていた動物は? A猫 B豚 答え A猫 第9問 日本のパスポートに描かれている花は何でしょう? A梅 B菊 答えB菊 第10問 「百の足」と書いて何とや読むでしょう?
答え 答え:ポンド ■ 雑学問題(8) Q:テレビ番組などでも使われる「カンペ」これ何の略? 答え 答え:カンニングペーパー ■ 雑学問題(9) Q:「かわいい子には○○をさせろ」○○は何? 答え 答え:旅(たび) 他のことわざクイズ ことわざに関するクイズはまだまだいっぱい! ことわざクイズ問題20選!大人も子供も楽しく脳トレ!使い方&意味 日本のことわざは受験にも出題されるなどしますが、簡単なことわざは覚えていたらどこかで役に立ったりする可能性がありますのでこれを機会にぜひ... ■ 雑学問題(10) Q:「ぎふけん」を漢字でちゃんと書いてください 答え 答え:岐阜県 ■ 雑学問題(11) Q:「木曜日」を英語でちゃんと書いてください 答え 答え:Thursday ■ 雑学問題(12 ) Q:「源氏物語」を書いた人は? 答え 答え:紫式部 ■ 雑学問題(13 ) Q:1600年「天下分け目の戦い」が行われた場所は? 答え 答え:関ヶ原 ■ 雑学問題(14 ) Q:兵庫県の県庁所在地は? 答え 答え:神戸市 ■ 雑学問題(15 ) Q:サッカーの試合において1人で3点以上取ることを何という? 答え 答え:ハットトリック ■ 雑学問題(16 ) Q:ラーメンや炒飯を食べるときに使うスプーンのことを何という? 答え 答え:れんげ ■ 雑学問題(17 ) Q:世界一長い川は? 答え 答え:ナイル川 ■ 雑学問題(18 ) Q:日本国憲法に定められている「国民の三大義務」とは、教育の義務、納税の義務と何? 答え 答え:勤労 ■ 雑学問題(19 ) Q:5月5日は「こどもの日」ですが「端午の節句」とも言います、これ何と読む? 【一問一答】知らないとちょっと恥ずかしい一般常識クイズ問題｜クイズ論〜知的好奇心の塊〜. 答え 答え:たんごのせっく ■ 雑学問題(20 ) Q:お寿司屋さんの用語で「むらさき」って何のことでしょう? 答え 答え:醤油(しょうゆ) ■ 雑学問題(21 ) Q:調味料の「さしすせそ」がありますが「せ」は何? 答え 答え:醤油(しょうゆ) ■ 雑学問題(22 ) Q:じゃんけんでチョキに勝って、グーに負けないのは? 答え 答え:グー ■ 雑学問題(23 ) Q:決勝戦のことを英語で「ファイナル」と言いますが、準決勝は英語で何という? 答え 答え:セミファイナル ■ 雑学問題(24 ) Q:英語で月は「ムーン」、星は「スター」、では太陽は? 答え 答え:サン(SUN) ■ 雑学問題(25 ) Q:映画音楽のサントラ盤がありますが「サントラ」は何の略?
TOP 学び 教養 クイズ あなたは「残念な大人」?「博識な大人」?日本語クイズ10問、あなたはどれだけ正解できる? LINEでがもっと身近に。 スマホでいつでもラグジュアリー体験。 旬のファッション、 美容、グルメ、お出かけなど、厳選情報をお届けします。 MAGAZINE LATEST ISSUE | 9月号 2021年8月5日(木)発売 変化を経た今の気持ちにしっくりくるのは、やっぱり最愛のこのアイテム! 季節が変わる時、大人は「シャツ」に宿るポリシーを着る ※Precious9月号P. 【慣用句クイズ】大人の一般常識！穴埋め[全15問] - YouTube. 49に掲載のバッグ¥159, 000(トッズ・ジャパン)の価格に誤りがありました。正しくは¥198, 000となります。訂正いたします。 ※Precious本誌ならびにに関するお問い合わせは こちら。 ※本サイトに掲載している2021年4月1日以降の記事の価格は、すべて税込みです。 ※小学館が雑誌『Precious』およびWEBサイト『』にて運営しているInstagramの公式アカウントは「」のみになります。Preciousのロゴや名称、公式アカウントの投稿を無断使用しプレゼント企画などを行っている類似アカウントがございますが、弊社とは一切関係ないのでご注意ください。 類似アカウントから不審なDM(プレゼント当選告知)などを受け取った際は、記載されたURLにはアクセスせずDM自体を削除していただくようお願いいたします。また被害防止のため、同アカウントのブロックをお願いいたします。 最新号を購入 最新号を試し読み 定期購読 バックナンバー
④星占いの最初はおひつじ座。では最後は? ⑤太陽が月の後ろに隠れ、見えなくなる現象の名前 ①アポロ11号 ②金星 ③サザンクロス ④うお座 ⑤皆既日食 アポロ11号は有名ですが 最後の星座がうお座、など 知ってるようで知らない知識ではないでしょうか。 (僕は知らなかった) 皆既日食は、ほとんどの人が知ってるんだけど その単語自体がなんか忘れちゃう言葉です。 Q6 動物 次の動物の名前を答えてください ①現存する、一番大きな動物 ②最も速く走れる動物 ③世界一大きい鳥 ④昔、人魚に間違えられたと言われている海の動物 ⑤日本に生息する、代表的なクマの種類2つ ①シロナガスクジラ ②チーター ③ダチョウ ④ジュゴン ⑤ヒグマ・ツキノワグマ チーターは簡単だったかと思います。 「ジュゴン」「ツキノワグマ」などは 知ってるんだけど、 問題として考えると出てこない動物ではないでしょうか。 終わりに 常識力の高い方なら さらっと全問正解できる方もいたかと思いますが 多くの方は何問か間違えたかと思います。 そこまで難しいものではないので 是非これを機に覚えてくださいね。 その他「雑学クイズ」記事一覧 トモブログのクイズ記事でした。 スポンサードリンク
クイズなぞなぞ. netは、全問題(1762問)無料 目次 クイズなぞなぞ. net紹介 ※クイズなぞなぞ. netの問題を無断で引用することを禁止する クイズなぞなぞ. netは「答え付きクイズ」です。問題のすぐ近くに「答え」があり、わかりやすくなっています。 クイズは子供から大人、高齢者まで、 常識 ・ 一般 ・ ひっかけ ・ 簡単 ・ 難問 の各コースを楽しんでいただけます。 なぞなぞは、 簡単なぞなぞ ・ 難問なぞなぞ ・ ひっかけなぞなぞ問題 があります。 採点機能付きの三択クイズ もあります。 時間制限がないので、焦らず自分のペースで楽しめて脳トレにもなります。 高齢者向けに文字など、見やすくするために大きくしてあります。 暇つぶしでも結構ですので、毎日ご利用下さい。 スマートフォンでも無料でご利用可能です。 三択クイズ 採点機能付き 採点機能付きの三択クイズ。 全430問( 現在) からシャッフルで10問出題されます。あなたは、10問中何問正解できますか?簡単クイズから難問、ひっかけ、常識、一般、その他いろいろなカテゴリから出題。時間制限はないので、自分のペースでお楽しみ下さい。 全問制覇に挑戦してみよう! 現在、クイズ なぞなぞ. netには 1762の問題 があります。全問制覇してみませんか?
日本には色々なマナーがあり、マナーを覚えておくと恥じることのなく、充実した人生を送ることができます 。 失敗することがあっても、間違いを認めてそこから学んで行くことがとても大事なことになるので、 たとえマナーを知らなくても徐々にゆっくりと失敗しながら学んでいくことが大事ですね(^^) このクイズで、いくつかマナーを知って頂き自分の知識に組み込んでいただけたらなと思います! こちらのクイズもどうぞ!
一般クイズ 問題集 1 一般クイズ1には、常識的ほどではない、ごく一般的なクイズ問題を用意しました。雑学や豆知識などもあります。 問題0044 ハワイで親しまれるトロピカルなモチーフなどの開襟シャツはアロハシャツですが、そのアロハシャツを元に沖縄のPRとして沖縄の暑い夏を快適にする目的で企画されたシャツは? 問題0053 パイナップルを英語にした時、アルファベットの最後の文字は? 問題0059 ほうき星とも呼ばれ、主に塵や氷などで出来ている太陽系小天体の仲間。多くは長くほうきのように見える天体の名前は何? 問題0060 調理法のことを英語でいうとレシピ。アルファベットで書いたら最後に文字は何になる? 問題0094 家計においての消費支出に占める飲食費のパーセンテージのことをなんという? 問題0203 世界の最高峰の山と言えば「エベレスト」、またの名を何という? 問題0207 日本で一番高いところにある駅は? 問題0209 山口県で生まれ、幼名は利助、のちに俊輔。初代内閣総理大臣となった明治の政治家は誰? 問題0222 地球から月までの距離は何Km? 問題0248 世界三大運河といえばキール運河・パナマ運河、あともう一つは何運河? 広告 総問題数1761問 (最終更新日:2021年7月30日 22:58) トップページ 一般クイズ 問題集 1