(1)例題 (例題作成中) (2)例題の答案 (答案作成中) (3)解法のポイント sinとcosの和は、 ①係数は同じだが角度が違う→和積の公式 ②角度が同じ→三角関数の合成 このどちらかで考えます。 また、 角度の違うsinやcosの積は、積和の公式で考えます。 積和の公式と和積の公式は、加法定理から導くことができます(つまり、覚えなくても自分で導くことができるということです。もちろん覚えているに越したことはありませんが) 以下に、導き方を示します。 ⅰ)積和の公式の導出 ⅱ)和積の公式の導出 (4)必要な知識 ①積和の公式 ②和積の公式
三角関数 の和積の公式の思い出し方を紹介します 和積の公式は覚えにくいし、導出に積和の公式を使うから面倒と思ってませんか? ところが、和積の公式を忘れた時、 加法定理だけ使ってすぐその場で導出できる方法 があるのです。 つまり、実際に、 積和の公式を使わずに和積の公式を導出できる のです。 ただし、この 無意味そうに見える式 を覚えてください 実は、これが 和積公式の最大の鍵 です これを 変換X と名付けます A, Bがどんな値でも当然成り立ちます ここから四つの和積公式 を導きましょう 第一式は、 に 変換X を代入して、 あとは右辺のsin二つに 加法定理を用いるだけ で と自動的に導けました 第二式以降も全く同様に 変換X を代入するだけで、 全て導出の流れは同じです まとめ 和積公式の導出方法は、 ① 変換X を代入 ②加法定理を二回使う にほんブログ村
みなさん,こんにちは おかしょです. カルマンフィルタの参考書を読んでいると「和の平均値や分散はこうなので…」というような感じで結果のみを用いて解説されていることがあります. この記事では和の平均と分散がどのような計算で求められるのかを解説していきたいと思います.共分散についても少しだけ触れます. この記事を読むと以下のようなことがわかる・できるようになります. 確率変数の和の平均・分散の導出方法 共分散の求め方 この記事を読む前に この記事では確率変数の和と分散を導出します. そもそも「 確率変数とは何か 」や「 平均・分散の求め方 」を知らない方は以下の記事を参照してください. また, 周辺分布 や 同時分布 についても触れているので以下を読んで理解しておいてください. 確率変数の和の平均の導出方法 例えば,二つの確率変数XとYがあったとします. Xの情報だけで求められる平均値を\(E_{X} (X)\),Yの情報だけで求められる平均値を\(E_{Y} (Y)\)で表すとします. この平均値は以下のように確率変数の値xとその値が出る確率\(p_{x}\)によって求めることができます. $$ E_{X} (X) =\displaystyle \sum_{i=1}^n p_{xi} \times x_{i} $$ このとき,XとYの二つの確率変数に対してXのみしか見ていないので,これは周辺分布の平均値であるということができます. 周辺分布というのは同時分布から求めることができるので, 上の式によって求められる平均値と同時分布によって求められる平均値は一致する はずです. つまり,同時分布から求められる平均値を\(E_{XY} (X)\),\(E_{XY} (Y)\)とすると,以下のような関係になります. $$ E_{X} (X) =E_{XY} (X), \ \ E_{Y} (Y) =E_{XY} (Y) $$ このような関係を頭に入れて,確率変数の和の平均値を求めます. 確率変数の和の平均値\(E_{XY} (X+Y)\)は先ほどと同様に,確率変数の値\(x, \ y\)とその値が出る確率\(p_{XY} (x, \ y)\)を使って以下のように求められます. 三角関数、和積・積和の公式について今まではその都度導いて使って... - Yahoo!知恵袋. $$ E_{XY} (X+Y) =\displaystyle \sum_{i=1, \ j=1}^{} p_{XY} (x_{i}, \ y_{j}) \times (x_{i}+y_{j})$$ この式を展開すると $$ E_{XY} (X+Y) =\displaystyle \sum_{i=1, \ j=1}^{} p_{XY} (x_{i}, \ y_{j}) \times x_{i}+\displaystyle \sum_{i=1, \ j=1}^{} p_{XY} (x_{i}, \ y_{j}) \times y_{j})$$ ここで,同時分布で求められる確率\(\displaystyle \sum_{j=1}^{} p_{XY} (x_{i}, \ y_{j})\)と周辺分布の確率\(p_{XY} (x_{i})\)は等しくなるので $$ E_{XY} (X+Y) =\displaystyle \sum_{i=1}^{} p_{XY} (x_{i}) \times x_{i}+\displaystyle \sum_{j=1}^{} p_{XY} (y_{j}) \times y_{j}$$ そして,先程の関係(周辺分布の平均値と同時分布によって求められる平均値は一致する)から $$ E_{XY} (X+Y) =E_{X} (X)+E_{Y} (Y)$$ となります.