01 \varepsilon=0. 01 )以内にしたい場合, 1 − 2 exp ( − π N ⋅ 0. 0 1 2 12) ≥ 0. 9 1-2\exp\left(-\frac{\pi N\cdot 0. 01^2}{12}\right)\geq 0. 9 ならよいので, N ≒ 1. 1 × 1 0 5 N\fallingdotseq 1. モンテカルロ法 円周率 原理. 1\times 10^5 回くらい必要になります。 誤差 %におさえるために10万個も点を打つなんてやってられないですね。 ※Chernoffの不等式については, Chernoff bounds, and some applications が詳しいです。ここでは,上記の文献の Corollary 5 を使いました。 「多分うまくいくけど失敗する可能性もあるよ〜」というアルゴリズムで納得しないといけないのは少し気持ち悪いですが,そのぶん応用範囲が広いです。 ◎ 確率・統計分野の記事一覧
6687251 ## [1] 0. 3273092 確率は約2倍ちがう。つまり、いちど手にしたものは放したくなくなるという「保有バイアス」にあらがって扉の選択を変えることで、2倍の確率で宝を得ることができる。 2の平方根 2の平方根を求める。\(x\)を0〜2の範囲の一様乱数とし、その2乗(\(x\)を一辺とする正方形の面積)が2を超えるかどうかを計算する。 x <- 2 * runif(N) sum(x^2 < 2) / N * 2 ## [1] 1. 4122 runif() は\([0, 1)\)の一様乱数であるため、\(x\)は\(\left[0, 2\right)\)の範囲となる。すなわち、\(x\)の値は以下のような性質を持つ。 \(x < 1\)である確率は\(1/2\) \(x < 2\)である確率は\(2/2\) \(x < \sqrt{2}\)である確率は\(\sqrt{2}/2\) 確率\(\sqrt{2}/2\)は「\(x^2\)が2以下の回数」÷「全試行回数」で近似できるので、プログラム中では sum(x^2 < 2) / N * 2 を計算した。 ←戻る
モンテカルロ法の具体例として,円周率の近似値を計算する方法,およびその精度について考察します。 目次 モンテカルロ法とは 円周率の近似値を計算する方法 精度の評価 モンテカルロ法とは 乱数を用いて何らかの値を見積もる方法をモンテカルロ法と言います。 乱数を用いるため「解を正しく出力することもあれば,大きく外れることもある」というランダムなアルゴリズムになります。 そのため「どれくらいの確率でどのくらいの精度で計算できるのか」という精度の評価が重要です。そこで確率論が活躍します。 モンテカルロ法の具体例として有名なのが円周率の近似値を計算するアルゴリズムです。 1 × 1 1\times 1 の正方形内にランダムに点を打つ(→注) 原点(左下の頂点)から距離が 1 1 以下なら ポイント, 1 1 より大きいなら 0 0 ポイント追加 以上の操作を N N 回繰り返す,総獲得ポイントを X X とするとき, 4 X N \dfrac{4X}{N} が円周率の近似値になる 注: [ 0, 1] [0, 1] 上の 一様分布 に独立に従う二つの乱数 ( U 1, U 2) (U_1, U_2) を生成してこれを座標とすれば正方形内にランダムな点が打てます。 図の場合, 4 ⋅ 8 11 = 32 11 ≒ 2. 91 \dfrac{4\cdot 8}{11}=\dfrac{32}{11}\fallingdotseq 2. 91 が π \pi の近似値として得られます。 大雑把な説明 各試行で ポイント獲得する確率は π 4 \dfrac{\pi}{4} 試行回数を増やすと「当たった割合」は に近づく( →大数の法則 ) つまり, X N ≒ π 4 \dfrac{X}{N}\fallingdotseq \dfrac{\pi}{4} となるので 4 X N \dfrac{4X}{N} を の近似値とすればよい。 試行回数 を大きくすれば,円周率の近似の精度が上がりそうです。以下では数学を使ってもう少し定量的に評価します。 目標は 試行回数を◯◯回くらいにすれば,十分高い確率で,円周率として見積もった値の誤差が△△以下である という主張を得ることです。 Chernoffの不等式という飛び道具を使って解析します!
参考文献: [1] 河西朝雄, 改訂C言語によるはじめてのアルゴリズム入門, 技術評論社, 1992.
0ですので、以下、縦横のサイズは1. 0とします。 // 計算に使う変数の定義 let totalcount = 10000; let incount = 0; let x, y, distance, pi; // ランダムにプロットしつつ円の中に入った数を記録 for (let i = 0; i < totalcount; i++) { x = (); y = (); distance = x ** 2 + y ** 2; if (distance < 1. 0){ incount++;} ("x:" + x + " y:" + y + " D:" + distance);} // 円の中に入った点の割合を求めて4倍する pi = (incount / totalcount) * 4; ("円周率は" + pi); 実行結果 円周率は3. 146 解説 変数定義 1~4行目は計算に使う変数を定義しています。 変数totalcountではランダムにプロットする回数を宣言しています。 10000回ぐらいプロットすると3. 14に近い数字が出てきます。1000回ぐらいですと結構ズレますので、実際に試してください。 プロットし続ける 7行目の繰り返し文では乱数を使って点をプロットし、円の中に収まったらincount変数をインクリメントしています。 8~9行目では点の位置x, yの値を乱数で求めています。乱数の取得はプログラミング言語が備えている乱数命令で行えます。JavaScriptの場合は()命令で求められます。この命令は0以上1未満の小数をランダムに返してくれます(0 - 0. 999~)。 点の位置が決まったら、円の中心から点の位置までの距離を求めます。距離はx二乗 + y二乗で求められます。 仮にxとyの値が両方とも0. 5ならば0. 25 + 0. 25 = 0. 5となります。 12行目のif文では円の中に収まっているかどうかの判定を行っています。点の位置であるx, yの値を二乗して加算した値がrの二乗よりも小さければOKです。今回の円はrが1. 0なので二乗しても1. モンテカルロ法で円周率を求めてみよう！. 0です。 仮に距離が0. 5だったばあいは1. 0よりも小さいので円の中です。距離が1. 0を越えるためには、xやyの値が0. 8ぐらい必要です。 ループ毎のxやyやdistanceの値は()でログを残しておりますので、デバッグツールを使えば確認できるようにしてあります。 プロット数から円周率を求める 19行目では円の中に入った点の割合を求め、それを4倍にすることで円周率を求めています。今回の計算で使っている円が正円ではなくて四半円なので4倍する必要があります。 ※(半径が1なので、 四半円の面積が 1 * 1 * pi / 4 になり、その4倍だから) 今回の実行結果は3.
024\)である。 つまり、円周率の近似値は以下のようにして求めることができる。 N <- 500 count <- sum(x*x + y*y < 1) 4 * count / N ## [1] 3. モンテカルロ 法 円 周杰伦. 24 円周率の計算を複数回行う 上で紹介した、円周率の計算を複数回行ってみよう。以下のプログラムでは一回の計算においてN個の点を用いて円周率を計算し、それを\(K\)回繰り返している。それぞれの試行の結果を に貯めておき、最終的にはその平均値とヒストグラムを表示している。 なお、上記の計算とは異なり、第1象限の1/4円のみを用いている。 K <- 1000 N <- 100000 <- rep(0, times=K) for (k in seq(1, K)) { x <- runif(N, min=0, max=1) y <- runif(N, min=0, max=1) [k] <- 4*(count / N)} cat(sprintf("K=%d N=%d ==> pi=%f\n", K, N, mean())) ## K=1000 N=100000 ==> pi=3. 141609 hist(, breaks=50) rug() 中心極限定理により、結果が正規分布に従っている。 モンテカルロ法を用いた計算例 モンティ・ホール問題 あるクイズゲームの優勝者に提示される最終問題。3つのドアがあり、うち1つの後ろには宝が、残り2つにはゴミが置いてあるとする。優勝者は3つのドアから1つを選択するが、そのドアを開ける前にクイズゲームの司会者が残り2つのドアのうち1つを開け、扉の後ろのゴミを見せてくれる。ここで優勝者は自分がすでに選んだドアか、それとも残っているもう1つのドアを改めて選ぶことができる。 さて、ドアの選択を変更することは宝が得られる確率にどの程度影響があるのだろうか。 N <- 10000 <- floor(runif(N) * 3) + 1 # 宝があるドア (1, 2, or 3) <- floor(runif(N) * 3) + 1 # 最初の選択 (1, 2, or 3) <- floor(runif(N) * 2) # ドアを変えるか (1:yes or 0:no) # ドアを変更して宝が手に入る場合の数を計算 <- (! =) & () # ドアを変更せずに宝が手に入る場合の数を計算 <- ( ==) & () # それぞれの確率を求める sum() / sum() ## [1] 0.
関ジャニ∞ の 横山裕 が主演を務めるテレビ朝日系ドラマ『コタローは1人暮らし』(毎週土曜よる11時30分~)に"コタロー"役で出演する 川原瑛都 が、18日放送の同局系音楽番組『ミュージックステーション』(毎週金曜よる9時~)に出演する 関ジャニ∞ の楽屋にサプライズ訪問した。 関ジャニ∞の楽屋をサプライズ訪問 コタロー(川原瑛都)緊張で思わずフリーズ? 同作は、累計部数120万部を突破した津村マミ氏の人気コミックを初の映像化、売れない漫画家・狩野進(横山)と1人暮らしの訳アリ5歳児・さとうコタロー(川原)、2人を見守る人々の優しい交流を描くハートフル・コメディー。 波乱の展開が待ち受ける第9話の放送を前に、18日放送の『ミュージックステーション』に 関ジャニ∞ が出演。主題歌『ひとりにしないよ』を披露する。そこで、"狩野どのを応援するのである! 関ジャニ∞横山裕が「ボク運」に紛れ込む？亀梨和也との“共演”シーンが話題に＜ボク、運命の人です。第8話＞ - モデルプレス. "と大張り切りのコタローが、 関ジャニ∞ の楽屋を訪問。コタローを演じる川原が、ドラマで共演中で仲良しの横山をはじめ、憧れの 関ジャニ∞ メンバーの応援にやって来た。 突然「こんにちはー!」とやってきた川原に、横山らメンバーは驚きながらも、「かわいいなぁ!」とすっかりメロメロ。川原が一人ひとりにお花をプレゼントすると、「ありがとう! ドラマ見てます」と声を掛けるなど大喜びの様子だった。 しかし、川原は勢揃いしたメンバーを前に、緊張でフリーズしてしまう。そんな川原を見た横山が「なんか瑛都がいつもと違ってよそよそしい気がする(笑)。俺ら仲いいやんな?」と話し掛けるも、すっかりガチガチで…。そのまま記念撮影タイムに突入するも、すっかり顔がこわばってしまう。すると、何とかリラックスさせようとメンバーが話し掛け、最後には無事に瑛都スマイルがさく裂した。 また、実は楽屋訪問前に、 関ジャニ∞ のリハーサルを見学していた川原。緊張しつつも「よかったです」と恥ずかしそうに感想を伝えていた。最後には、「横山がお世話になりました!」と言うメンバーにお見送りされてドキドキの初対面が終了。"瑛都"と"∞(エイト)"、運命的な繋がりのある川原の応援を胸に、 関ジャニ∞ が熱唱する『ひとりにしないよ』に注目だ。(modelpress編集部)
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