過去問 (2件) 大学入試 東京大学 東大文系 2015年度 東京大学 文系 2015年度 第4問 解説 大学入試 東京大学 東大文系 2014年度 東京大学 文系 2014年度 第2問 解説
●確率漸化式を自分で作って解く問題 このパターンは難関校で頻出します。その中でも比較的やさしい問題が2014年に京大理系や一橋大で出題されました。東大や慶應大医学部などの難関大では、漸化式だけの問題はまず出題されず、整数などの新記号と絡めるか、確率と絡める問題が大半です。 そして難関校では漸化式の解き方に誘導が示されないので、自分で解き切らなければなりません。 慣れておかないとまず解けないのですが、市販の参考書ではほとんど取り上げられていないので、入試問題に対しては特別な対策が必要です。 確率漸化式の問題は、確率漸化式の数が多くなると難しくなります。最初は直線上の移動の問題など、漸化式1つの問題をマスターし、次に2つ以上の問題に進むとよいでしょう。それも、三角形の頂点の移動の問題では最初は複数の漸化式が必要で、すぐに1つの漸化式に帰着させるので、次の順番でマスターするのが適当でしょう。
「 確率漸化式ってどんな問題でどうやったら解けるようになるの? 」そう悩みではありませんか? 現役東大医学部生 の私、たわこが確率漸化式の解き方を、 過去に東京大学で出題された良問の入試問題を例にとって解説していきたいと思います! 確率漸化式とは?
まだ確率漸化式についての理解が浅いという人は、これから確率漸化式の解き方について説明していくので、それを元にして、上の例題を考えてみましょう!
図のように、正三角形を $9$ つの部屋に辺で区切り、部屋 $P$,$Q$ を定める。$1$ つの球が部屋 $P$ を出発し、$1$ 秒ごとに、そのままその部屋にとどまることなく、辺を共有する隣の部屋に等確率で移動する。球が $n$ 秒後に部屋 $Q$ にある確率を求めよ。 ※東京大学2012年理系第2問・文系第3問より出典 さ~て、ラストはお待ちかね。 東京大学の超難問入試問題 です! 図形の確率漸化式ということもあって、今までとはちょっと違った発想も必要になります。 いきなり解答だと長くなってしまうため、まずは $2$ つヒントを出したいと思いますので、ぜひヒントをもとに解いてみてください♪ ヒント1「図形の対称性」 以下の図のように、部屋に名前を付けてみます。 ここで、「 図形の対称性 」を意識して名前を付けることがポイントです! 「 $〇$ と $〇'$ 」に行く確率は同じであることが予想できますよね? 「東大文系, 場合の数と確率, 漸化式」の記事一覧 | なかけんの数学ノート. よって、$$Qに行く確率 = Q'に行く確率$$の式が成り立ち、置く文字を節約することができます。 ヒント2「奇数と偶数に着目」 それでは、ちょっと具体的に実験してみましょうか。 まず初めに部屋 $P$ にいることから、$1$ 秒後,$2$ 秒後,…に存在する部屋は次のようになります。 \begin{align}P \quad &→ \quad A, B, B' \ (1秒後)\\&→ \quad P, Q, Q' \ (2秒後)\\&→ \quad A, B, B', C, C', D \ (3秒後)\\&→ \quad P, Q, Q' \ (4秒後)\\&→ \quad …\end{align} こうして見ると、 あれ? 偶数 秒後でしか、$Q$ に辿り着くことはなくね? この重要な事実に気づくことができましたね! よって、球が $n$ 秒後に部屋 $Q$ にある確率を $q_n$ とした場合、 $n$ が奇数 → $q_n=0$ $n$ が偶数 → $q_n$ はまだわからない。 ここまで整理できます。 ウチダ これにてヒントは終わりです。「図形の対称性」と「奇数偶数」に着目し、ここまで整理できました。あとは"状態遷移図"を上手く使えば、解けるはずです!
こんにちは、ウチダショウマです。 いつもお読みいただきましてありがとうございます。 さて、数学B「数列」の内容が含まれているため、数ⅠAのセンター試験には出てこない「 確率漸化式 」。 しかし、東大などの難関大では、文系理系問わずふつうに出題されます。 数学太郎 確率漸化式の基本的な解き方を、わかりやすく解説してほしいな。 数学花子 東大など、難関大の入試問題にも対応できる力を身に付けたいな。 こういった悩みを抱えている方は多いでしょう。 よって本記事では、確率漸化式の解き方の基本から、 東大の入試問題を含む 確率漸化式の問題 $3$ 選まで 東北大学理学部数学科卒業 教員採用試験に1発合格 → 高校教諭経験アリ (専門は確率論でした。) の僕がわかりやすく解説します。 スポンサーリンク 目次 確率漸化式の解き方とは?【「状態遷移図」を書いて立式しよう】 確率漸化式の問題における解き方の基本。それは… 状態遷移図(じょうたいせんいず)を書いて立式すること。 これに尽きます。 ウチダ 状態推移図とか、確率推移図とか、いろんな呼び名があります。例題を通してわかりやすく解説していくので、安心して続きをどうぞ! 例題「箱から玉を取り出す確率漸化式」 問題. 箱の中に $1$ ~ $5$ までの数字が書かれた $5$ 個の玉が入っている。この中から $1$ 個の玉を取り出し、数字を確認して箱に戻す試行を $n$ 回繰り返す。得られる $n$ 個の数字の和が偶数である確率を $p_n$ とするとき、$p_n$ を求めなさい。 たとえばこういう問題。 $\displaystyle p_1=\frac{2}{5}$ ぐらいであればすぐにわかりますが、$p_2$ 以降が難しいですね。 数学太郎 パッと見だけど、$n$ 個目までの和が偶数か奇数かによって、$n+1$ のときの確率 $p_{n+1}$ は変わってくるよね。 この発想ができたあなたは、非常に鋭い! ２０１５年 東大文系数学 第４問（確率漸化式、樹形図） | オンライン受講 東大に「完全」特化 東大合格 敬天塾. ようは、$p_n$ と $p_{n+1}$ の関係を明らかにすればよくて、そのために「状態遷移図」を上手く使う必要がある、ということです。 よって状態遷移図より、 \begin{align}p_{n+1}&=p_n×\frac{2}{5}+(1-p_n)×\frac{3}{5}\\&=-\frac{1}{5}p_n+\frac{3}{5}\end{align} というふうに、$p_{n+1}$ と $p_{n}$ の関係から漸化式を作ることができました。 あとは漸化式の解き方に従って、 特性方程式を解くと $\displaystyle α=\frac{1}{2}$ 数列 $\displaystyle \{p_n-\frac{1}{2}\}$ は初項 $\displaystyle -\frac{1}{10}$,公比 $\displaystyle -\frac{1}{5}$ の等比数列となる 以上より、$$p_n=\frac{1}{2}\{1+(-\frac{1}{5})^n\}$$ と求めることができます。 ウチダ 確率漸化式ならではのポイントは「状態遷移図を上手く使って立式する」ところにあります。漸化式の解き方そのものについては「漸化式~(後日書きます)」の記事をご参照ください。 確率漸化式の応用問題2選 確率漸化式の解き方のポイントは掴めましたか?
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元彼と復縁したからといって、そこがゴールではありません。復縁後も上手く関係を続けていかなければ、また別れてしまうことになるのです。そこで今回は、元彼と復縁した後に気をつけることを紹介していきます。もう二度と別れを繰り返さないように、二人の付き合い方を改めていきたいですね! 元彼と復縁できた!
このページは、復縁に成功した当サイトの管理人 "復縁ドッグ"が、復縁マニュアルや復縁本などで学んで 知識をお伝えしているものです。 「復縁しても、どうせ長続きはしないんでしょ。」 「一度、ダメになったものは、何度復縁しても同じこと。」 そう思っている人の為に、復縁後、長続きする人と、しない人の違いを書きました。 復縁には興味はあるけど、どうせ長続きしないから・・・。 そう諦めてしまっている人は、復縁に成功した今だからこそ、 分かったことを、ありのまま、素直に書いていますので、 最後まで読み進めてください。 では、はじめます。 ネットで復縁について色々調べている中で、 ウソ臭いサイトがたくさんある中で、 「これは、本当に、復縁に成功した人が書いた記事だな。」 なんて、思う記事があるのですが、 その中で、 「一度復縁したんだけど、結局、また別れちゃった。 だから、復縁なんて無駄なことです。」 そんな悲しい意見を目にすることがあります。 復縁ドッグも、実際に復縁に成功した1人ですが、 何で、苦労して復縁に成功した人が、また、別れてしまうのか? それが、ずっと、疑問だったんですよね。 私は、復縁相手である愛と、復縁後も、3、4年付き合ってから、結婚しました。 でも、別れたとコメントしている人も、実際にいるのも事実。 ウソを書いているとは、思えません。 この時点で結構なのですが、 復縁後も、付き合いが続き、結婚までに至る人と、 別れてしまった人とは、一体何が違うのでしょうか?
復縁後、結婚したカップルは意外と多いと言われています。では、復縁したその後に結婚したカップルの特徴は何があるのでしょうか?今回は復縁後に結婚したカップルの特徴と、復縁したあと気をつけること、彼氏彼女が復縁後に変わったことを紹介していきます! 復縁後に結婚したカップルの特徴 まずは、復縁後に結婚したカップルの特徴を見ていきましょう!
よりを戻した彼氏彼女と結婚できるのかどうかと悩む人は多いです。好きだからこそ、もう一度よりを戻したいと思うでしょう。 よりを戻す前にまず、自分は変わったことを彼氏も彼女もアピールしましょう。別れたときのままではよりを戻したとしても、同じ間違いを繰り返してしまうかもしれません。 彼氏彼女が前とは変わったとわかったら復縁のチャンスもやってきます。一度は愛した相手なのですから、結婚のチャンスもゼロではありません。 相手の気持ちを考えて行動することを忘れないでくださいね。 まとめ 今回は復縁後に結婚したカップルの特徴や、復縁したあとに気をつけることをまとめてみましたが、いかがでしたか?復縁カップルにとって、結婚したいけど復縁したその後に結婚したカップルはいるのだろうかと気になるところかもしれません。 一度別れたらそれで終わりなのか、復縁もあるのか、結婚もあるのかは自分が変わったかどうかです。別れる前と別れた後で、自分が変わったことを彼氏と彼女はアピールしていきましょう。
人生は1度きり。 その中で何度心から好きになれる人が現れるか解りません。 彼女に別れを告げられ、どん底に落ちた日々をもう一度思い出してください。 会いたくても会えない日々。 毎晩夢に出てくるほど思った日々。 仕事がえりの帰り道、毎日のように失恋ソングを聞いて泣いた日々。 どこへ行っても誰と遊んでも帰りに元カノを思い出した日々。 その苦しかった日々を思い出し、もう二度と辛い思いをしたくない。 その気持ちを持ち続ければ必ず復縁はいい方向に向っていきます。 私はその気持ちを持ち続けることが出来ず後悔しました。 もう今は素敵な思い出です。 でも、もしあの時、、、元カノと付き合う続けていたらどうなっていたのかな・・・ってたまに思い出す時もあります。 何度も何度も言いますが、復縁できたらそこでGOALじゃありません。 これから大喧嘩することも、大笑いすることも、別れを予感することも、不安になる夜も、甘い誘惑も、2人の目標を見失う時もあるでしょう。 しかし、一度別れた二人がもう一度解り合えるなんて中々ない。 だから、必ずこの復縁を大事にして下さい。 by 復縁を大事に出来なかった男より
(城山ちょこ/ライター) (ハウコレ編集部) 元記事で読む