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Wed, 24 Jul 2024 04:39:13 +0000

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問題での相加相乗平均の使い方 公式が証明できたところで、公式を使って問題を解いてみましょう。 等号が成立する条件をきちんと示そう まずはこの問題を解いてみてください。 【問題1】x>0のとき、 の最小値を求めなさい。 【解説2】 問題を眺めていて、相加相乗平均が使えそうだな…と思う箇所はありませんか? そう、 ここです! 【相加相乗平均とは?】その証明と使い方を完全解説!本番で使いこなそう! | Studyplus(スタディプラス). 相加相乗平均の不等式により、 と答えようとしたあなた、それを答案に書くと、大幅に減点されるでしょう。 x+1/x≧2 という式は、単に「2以上になる」と言っているだけで、「2が最小値である」とは一言も言っていません。つまり、最小値が3である可能性もあるわけです。 ですから、x+1/x=2、つまり等号成立条件を満たすxが存在することを証明しないと、(x+1/x)の最小値が2だから(x+1/x)+2の最小値が4〜なんてことは言えないのです。 における等号成立条件は、a=bでした。 つまり今回の等号成立条件は、 x=1/x ⇔x²=1かつx>0 ⇔x=1 となり、x+1/x=2を満たすxが存在することを示すことができました。 これを書いて初めて、最小値の話を持ち出すことができます。 この等号成立条件は書き忘れて大減点をくらいやすいところですので、くれぐれも注意してください。 【問題2】x>0のとき、 の最小値を求めなさい。 【解説2】x>0より、相加相乗平均の不等式を用いて、 等号成立条件は、 2/x=8x ⇔x²=¼ ⇔x=½ (∵x>0) よって、求める最小値は8である。 打ち消せるかたまりを探す! 【問題3】x>0, y>0のとき、 の最小値を求めなさい。 【解説3】 どこに相加相乗平均の不等式を使うかわかりますか? このままでは何をしても文字は打ち消されません。展開してみましょう。 x>0, y>0より、相加相乗平均の不等式を用いると、 等号成立条件は、 6xy=1/xy ⇔(xy)²=⅙ ⇔xy=1/√6(∵x>0かつy>0) よって、6xy+1/xyの最小値は2√6であるので、 (2x+1/y)(1/x+3y)=5+6xy+1/xyの最小値は、 2√6+5 打ち消せるかたまりがなかったら作る! 【問題4】x>-3のとき、 の最小値を求めよ。 【解説4】 これは一見、打ち消せる文字がありません。 しかし、もしもないのであれば、作ってしまえばいいのです!

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この記事は最終更新日から1年以上が経過しています。内容が古くなっているのでご注意ください。 はじめに 数学に出て来る数多くの公式の中でも有名である、相加相乗平均の不等式。 シンプルな形をしていて覚えやすいとは思いますが、あなたはこの公式を証明することはできますか? 単に式だけを覚えていて、なんで成り立つのかはわからない… というあなた。それはとても危険です。 相加相乗平均に限らず、公式がなぜ成り立つのかを理解しておかないと、公式が成り立つための条件などを意識することができず、それが答案上で失点へと結びついてしまいます。 この記事では、相加相乗平均を2つの方法で証明するだけでなく、文字が3つある場合の相加相乗平均の公式や、実際の問題を解く際の相加相乗平均の使い方についてお伝えします。 大学入試において、どうしても解けないと思った問題が、相加相乗平均を使ったらあっさり解けてしまった、ということは(本当に)よくあります。 この記事で相加相乗平均をマスターして、入試における武器にしてしまいましょう! 文字が2つのときの相加相乗平均の証明 ではまず、一番よく見るであろう、文字が2つのときの相加相乗平均について説明します。 そもそも「相加相乗平均」とは? 相加平均 相乗平均 証明. そもそも「相加相乗平均」とはどういった公式なのでしょうか。 「相加相乗平均」とは実は略称であり、答案で書くべき名前は「相加相乗平均の不等式」です。 この公式を☆とおきます。 では、証明していきましょう! まずはオーソドックスな数式を使う相加相乗平均の証明 まずは数式で説明します。といっても簡単な証明です。 a≧0, b≧0のとき、 よって証明できました。 さて、☆にはなぜ、「a≧0かつb≧0」という条件が執拗なほどについてくるのでしょうか。 まず☆は√abを含んでいるので、この平方根を成立させるために、ab≧0である必要があります。 つまり (a≧0かつb≧0)または(a≦0かつb≦0) です。 しかし、a≦0かつb≦0のときを考えてみると、 (a+b)/2≧√ab≧0より、(a+b)/2は0以上でなければならないのにも関わらず、 (a+b)/2が0以上となるのはa=b=0のときのみですね。負の数に負の数を足したら負の数になるし、0に負の数を足しても負の数になることがその理由です。 そして、a=b=0は、「a≧0かつb≧0」に含まれています。 よって、☆が成り立つa, bの条件は、 a≧0かつb≧0 であるわけです。 問題を解いているときに、ついここを忘れて、負の数が入っているにも関わらず相加相乗平均を使ってしまい、まったく違う答えが出てしまったりします。 「相加相乗平均を使うときは、使う数がどっちも0以上でないといけない!!

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子どもの勉強から大人の学び直しまで ハイクオリティーな授業が見放題 この動画の要点まとめ ポイント 相加・相乗平均の大小関係の活用 これでわかる! ポイントの解説授業 相加平均 相乗平均 相加平均≧相乗平均 POINT 浅見 尚 先生 センター試験数学から難関大理系数学まで幅広い著書もあり、現在は私立高等学校でも 受験数学を指導しており、大学受験数学のスペシャリストです。 相加・相乗平均の大小関係の活用 友達にシェアしよう!

とおきます。このとき、 となります。 x>-3より、相加相乗平均を用いて、 等号成立条件は、 x+3=1/(x+3) ⇔(x+3)²=1 ⇔x+3=±1 ⇔x=-2(∵x>-3) よって、A+3の最小値は1であるので、求める値であるAの最小値は-2 【問題5】x>0のとき、 の最小値を求めなさい。 【解説5】 x>0より、相加相乗平均を用いて、 等号成立条件は、 x=x=1/x² ⇔x³=1 ⇔x=1 よって、求める最小値は 3

タイプ: 教科書範囲 レベル: ★★★ 入試でも多用する,相加平均と相乗平均の大小関係について扱います. このページでは基本(2変数)を,主に最大・最小問題で自由自在に使えるようになるまで説明し,演習問題を多く用意しました. 相加平均と相乗平均の定義と関係式 ポイント 2変数の(相加平均) $\geqq$ (相乗平均) $\boldsymbol{a>0}$,$\boldsymbol{b>0}$ とするとき,$\dfrac{a+b}{2}$ を相加平均,$\sqrt{ab}$ を相乗平均といい $\displaystyle \boldsymbol{\dfrac{a+b}{2}\geqq \sqrt{ab}}$ が成り立つ. 実用上はこれを両辺2倍した $\displaystyle \boldsymbol{a+b\geqq 2\sqrt{ab}}$ をよく使う. 等号成立は $\displaystyle \boldsymbol{a=b}$ のとき. (相加平均) $\geqq$ (相乗平均)の証明 この(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)を使うときには,基本的に以下の3ステップを踏みます. (相加平均) $\geqq$ (相乗平均)を使うための3ステップ STEP1: $a>0$,$b>0$ (主役2つが正である)ことを断る. 不等式の証明で相加平均と相乗平均の大小関係を使うコツ|数学|苦手解決Q&A|進研ゼミ高校講座. STEP2: $\dfrac{a+b}{2}\geqq \sqrt{ab}$ または $a+b\geqq 2\sqrt{ab}$ を使用する. STEP3:等号成立確認を行う(等号成立は $a=b$ のとき) 注意点 特にSTEP3の等号成立確認は 最小値を求めるときには必須です(不等式の証明に必要ない場合もありますが,確認をする癖をつけて損はないです). 例えばAKR(当サイト管理人)の身長はおよそ $172$ cmです.朝起きた後や運動直後では多少変動するかもしれませんが (AKRの身長) $\geqq 100$ cm という不等式は正しいです. しかし実際に $100$ cmを取れるかは別の話で,等号が成り立つか確認しなければなりません. 例題と練習問題 例題 $x>0$ とする. (1) $x+\dfrac{16}{x}\geqq8$ を示せ. (2) $x+\dfrac{4}{x}$ の最小値を求めよ. (3) $x+\dfrac{16}{x+2}$ の最小値を求めよ.