これ以外は これ以外には3辺の長さが既知のときのヘロンの公式が思い浮かびますが,3辺が自然数のときしか使いにくい点と,覚え間違えリスクとリターンの関係から考えて個人的には必要だとは思っていません. 例題と練習問題 例題 ${\rm A}(3, 11)$,${\rm B}(-1, 2)$,${\rm C}(8, 1)$とするとき,$\triangle{\rm ABC}$ の面積を求めよ. 【高校数学（三角比）】三角比を使った三角形の面積の求め方 – sin, cos, ヘロンの公式を使った方法 | 数学の面白いこと・役に立つことをまとめたサイト. 講義 $xy$ 平面で座標が分かっているときは $\dfrac{1}{2}|a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}|$ を使い, それ以外は $\dfrac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\mathstrut a}|^{2}|\overrightarrow{\mathstrut b}|^{2}-\left(\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}\right)^{2}}$ を使うと楽です. 解答 $\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}=(-4, -9)$,$\overrightarrow{\mathstrut \rm AC}=(5, -10)$ より $\displaystyle \triangle{\rm ABC}=\dfrac{1}{2}|(-4)(-10)-(-9)5|=\boldsymbol{\dfrac{85}{2}}$ ※ $△$${\rm ABC}=\dfrac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}|^{2}|\overrightarrow{\mathstrut \rm AC}|^{2}-(\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}\cdot \overrightarrow{\mathstrut \rm AC})^{2}}$ を使うと面倒です. 練習問題 練習 (1) ${\rm A}(-2, 3)$,${\rm B}(0, -4)$,${\rm C}(6, 2)$とするとき,$\triangle{\rm ABC}$ の面積を求めよ. (2) ${\rm A}(1, 0, 3)$,${\rm B}(-1, 3, -1)$,${\rm C}(5, 1, 9)$ とするとき,$\triangle{\rm ABC}$ の面積を求めよ.
三角形の面積にまつわる公式 ヘロンの公式 まずはおなじみ,三角形の三辺の長さから面積を求めるヘロンの公式。 外接円の半径と三角形の面積の関係 S = a b c 4 R S=\dfrac{abc}{4R} 公式。これもなかなか使い勝手が良い公式。応用としてオイラーの不等式を証明します。 内心と傍心の性質の比較 S = 1 2 r ( a + b + c) S=\dfrac{1}{2}r(a+b+c) と似た公式が傍心に対しても成立します。公式というより考え方が重要。 正三角形の面積,正四面体の体積 正三角形の面積はもちろん,正四面体の体積も一瞬で求められるようにしておきましょう。 サラスの公式 座標平面,座標空間上での求積はサラスが強力。 ベクトルの定番問題の公式(面積比) 超頻出です。三角形の五心の座標を表すのに応用することも。 三角形の面積比にまつわる公式たち 中学数学チックな公式です。チェバの定理の証明に応用したり三次元に拡張したり。 複素数平面における三角形の面積 三角形の面積を求める公式の複素数平面バージョンです。
θが30°で、$a$が40 mの場合 ∠30°を作る2辺の関係<比>は、 斜辺が2のときは底辺 $\sqrt[]{3}$ となる $(cos30°=\frac{\sqrt[]{3}}{2}) $ ので、 $\frac{\sqrt[]{3}}{2}=\frac{40}{ℓ}$ ℓ $=\frac{80}{\sqrt[]{3}}=\frac{80\sqrt[]{3}}{3}$ 約46. 2m 基準線と角度さえ測ることができれば、どんな長さでも計算で求められるのです!
それは、今回は 上の図の設定でやっているから です。例えば 上の図で点Cが線分ABより上にあったら、今のやり方でやると符号がひっくり返ります ね。 したがって公式のように 絶対値 をつけることで、そういった場合をすべてカバーできるのですね。 今回の宿題 中学2年の単元「一次関数」などから、三角形がらみの問題10問以上 を、今回の説明を意識して解いてみてください。 学校で配られた問題集でも、ネット上の問題でも大丈夫です。
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