コーシーシュワルツの不等式使い方【頭の中】 まず、問題で与えられた不等式の左辺と右辺を反対にしてみます。 \[ k\sqrt{2x+y}≧\sqrt{x}+\sqrt{y}\] この不等式の両辺は正なので2乗すると \[ k^2(2x+y)≧(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2\] この式をコーシ―シュワルツの不等式と見比べます。 ここでちょっと試行錯誤をしてみましょう。 例えば、右辺のカッコ内の式を\( 1\cdot \sqrt{x}+1\cdot \sqrt{y}\)とみて、コーシ―シュワルツの不等式を適用すると (1^2+1^2) \{ (\sqrt{x})^2+(\sqrt{y})^2 \} \\ ≧( 1\cdot \sqrt{x}+1\cdot \sqrt{y})^2 \[ 2\underline{(x+y)}≧(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2 \] 上手くいきません。実際にはアンダーラインの部分を\( 2x+y \) にしたいので、少し強引ですが次のように調整します。 \left\{ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{\! \! コーシー・シュワルツの不等式とその利用 | 数学のカ. 2}+1^2 \right\} \left\{ (\sqrt{2x})^2+(\sqrt{y})^2\right\} \\ ≧\left( \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \! \sqrt{2x}+1\cdot \! \sqrt{y}\right)^2 これより \frac{3}{2} (2x+y)≧(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2 両辺を2分の1乗して \sqrt{\frac{3}{2}} \sqrt{2x+y}≧\sqrt{x}+\sqrt{y} \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{2x+y}}≦ \frac{\sqrt{6}}{2} ここで、問題文で与えられた式を変形してみると \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{2x+y}}≦ k ですので、最小値の候補は\( \displaystyle{\frac{\sqrt{6}}{2}} \) となります。 次に等号について調べます。 \frac{\sqrt{2x}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{y}}{1} より\( y=4x \) つまり\( x:y=1:4\)のとき等号が成り立ちます。 これより\( k\) の最小値は\( \displaystyle{\frac{\sqrt{6}}{2}} \)で確定です。 コーシーシュワルツの不等式の使い方 まとめ 今回は\( n=2 \) の場合について、コーシ―シュワルツの不等式の使い方をご紹介しました。 コーシ―シュワルツの不等式が使えるのは主に次の場合です。 こんな場合に使える!
コーシー・シュワルツの不等式 $a,b,x,y$ を実数とすると \begin{align} (ax+by)^2\leqq(a^2+b^2)(x^2+y^2) \end{align} が成り立ち,これを コーシー・シュワルツの不等式(Cauchy-Schwarz's inequality) という. 等号が成立するのは a:b=x:y のときである. 暗記コーシー・シュワルツの不等式の証明-2変数版- 上のコーシー・シュワルツの不等式を証明せよ.また,等号が成立する条件も確認せよ. (右辺) $-$ (左辺)より &(a^2+b^2)(x^2+y^2)-(ax+by)^2\\ &=(a^2x^2+b^2x^2+a^2y^2+b^2y^2)\\ &-(a^2x^2+2abxy+b^2y^2)\\ &=b^2x^2-2(bx)(ay)+a^2y^2\\ &=(bx-ay)^2\geqq0 等号が成立するのは, $(bx − ay)^2 = 0$ ,すなわち $bx − ay = 0$ のときであり,これは のことである. $\blacktriangleleft$ 比例式 暗記コーシー・シュワルツの不等式の証明-3変数版- $a,b,c,x,y,z$ を実数とすると & (ax+by+cz)^2\\ \leqq&(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) が成り立つことを証明せよ. また,等号が成り立つ条件も求めよ. コーシー・シュワルツ不等式【数学ⅡB・式と証明】 - YouTube. (右辺) $-$ (左辺)より & a^2(y^2+z^2)+b^2(x^2+z^2)\\ &\quad+c^2(x^2+y^2)\\ &\quad-2(abxy+bcyz+acxz)\\ &=a^2y^2-2(ay)(bx)+b^2x^2\\ &\quad+a^2z^2-2(az)(cx)+c^2x^2\\ &\quad+b^2z^2-2(bz)(cy)+c^2y^2\\ &=(ay-bx)^2+(az-cx)^2\\ &\quad+(bz-cy)^2\geqq 0 等号が成立するのは, $(ay-bx)^2=0, ~(az-cx)^2=0, $ $~(bz-cy)^2=0$ すなわち, $ ay-bx=0, ~az-cx=0, $ $~bz-cy=0$ のときであり,これは a:b:c=x:y:z \end{align} のことである. $\blacktriangleleft$ 比例式 一般の場合のコーシー・シュワルツの不等式に関しては,付録 一般の場合のコーシー・シュワルツの不等式 を参照のこと.
2019/4/30 2, 462 ビュー 見て頂いてありがとうございます. 見てもらうために作成しておりますので,どんどん見てください. ★の数は優先度です.★→★★→★★★ の順に取り組みましょう. 2323 ポイント集をまとめて見たい場合 点線より下側の問題の解説を見たい場合 は 有料版(電子書籍) になります. 2000番台が全て入って (¥0もしくは¥698) と,極力負担を少なくしています. こちら からどうぞ.
/\overrightarrow{n} \) となります。 したがって\( a:b=x:y\) です。 コーシ―シュワルツの不等式は内積の不等式と実質同じです。 2次方程式の判別式による証明 ややテクニカルですが、すばらしい証明方法です。 私は感動しました! コーシー・シュワルツの不等式 - つれづれの月. \( t\)を実数とすると,次の式が成り立ちます。この式は強引に作ります! (at-x)^2+(bt-y)^2≧0 \cdots ② この式の左辺を展開して,\( t \) について整理すると &(a^2+b^2)t^2-2(ax+by)t\\ & +(x^2+y^2) ≧0 左辺を\( t \) についての2次式と見ると,判別式\( D \) は\( D ≦ 0 \) でなければなりません。 したがって &\frac{D}{4}=\\ &(ax+by)^2-(a^2+b^2)(x^2+y^2)≦0 これより が成り立ちます。すごいですよね! 等号成立は②の左辺が0になるときなので (at-x)^2=(bt-y)^2=0 x=at, \; y=bt つまり,\( a:b=x:y\)で等号が成立します。 この方法は非常にすぐれていて,一般的なコーシー・シュワルツの不等式 {\displaystyle\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)}{\displaystyle\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)}\geq{\displaystyle\left(\sum_{i=1}^n a_ib_i\right)^2} \] の証明にも威力を発揮します。ぜひ一度試してみてほしいと思います。 「数学ってすばらしい」と思える瞬間です!
ということがわかりました。 以前,式を考えるときに, 『この式は$\bm{{}_n\text{C}_2=\frac{n(n-1)}2}$個の成立が必要だ。でも,$\bm{\frac{a_1}{x_1}=\frac{a_2}{x_2}=\cdots=\frac{a_n}{x_n}\cdots\bigstar}$は$\bm{n-1}$個の式だから,もっとまとめる必要があるのかな?』 と思っていたのが間違いでした。$x_1$〜$x_n$の途中に$0$があれば,式$\bigstar$は分断されるので,関係を維持するために多くの式が必要になるからです。 この考え方により,例題の等号成立条件も $$x^2y=xy^2$$ と考えるようになりました。
これらも上の証明方法で同様に示すことができます.
つくおきコラボ 片手鍋( 212K , ) 今回使った保存容器 商品名:つくおきコラボ 保存容器M 容量:800ml 森 望 (nozomi) つくおきの中の人。レシピの考案や、サイトの管理運用などをしています。5歳と1歳の男の子の母。 材料をコピーしました
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レンジでささっと一品! 東海テレビ「スイッチ!」で紹介! もやしのナムル レシピ 栗原 はるみさん｜【みんなのきょうの料理】おいしいレシピや献立を探そう. ナムルとは、野菜などを茹でて、ごま油や塩、にんにくなどで味付けした韓国料理です。食卓に彩りが足りない…そんな時の献立におすすめ! 野菜をレンジでチンして、さっと和えるだけの手軽な一品です。ほかのお好みの野菜(小松菜、大根、きゅうり、水煮ぜんまい、きのこ、豆苗、キャベツ、アボカド、なすなど)に代えるのもおすすめ。水気の多い野菜は調味料を加える前にしっかり絞ると、水っぽくならずにおいしくいただけます。どんぶりご飯の上にのせてコチジャンを添えれば、ビビンバになりますよ♪ 調理時間 約10分 カロリー 99kcal 炭水化物 脂質 タンパク質 糖質 塩分量 ※ 1人分あたり 作り方 1. ほうれん草は水で洗いラップに包み、600Wのレンジで30秒程加熱し、水にさらして粗熱をとる。水気を切り、3cm幅に切る。 ポイント ラップに包まれていないと水分が飛んで高温になり、焦げる恐れがあります。しっかりと包みましょう。 2. にんじんは千切りにする。耐熱ボウルにもやし、にんじんを入れてふんわりとラップをし、600Wのレンジで2分半加熱する。水気を切る。 3. 2のボウルにほうれん草、砂糖、しょうゆ、おろししょうが、おろしにんにく、鶏ガラスープの素、ごま油を加えて混ぜる。器に盛り、白いりごまをちらす。 ※レビューはアプリから行えます。
5分で1品完成!簡単・絶品◎お手軽ナムル☆ 材料 (4人分) つくり方 1 にんじん、きゅうりは 細切り にする。 2 耐熱ボウルにもやし、(1)のにんじんを入れ、ラップをかけて 電子レンジ(600W)で3分加熱する。 3 粗熱が取れたら、(1)のきゅうり、Aを加えてあえる。 栄養情報 (1人分) ・エネルギー 28 kcal ・塩分 0. 9 g ・たんぱく質 1. 7 g ・野菜摂取量※ 80 g ※野菜摂取量はきのこ類・いも類を除く 最新情報をいち早くお知らせ! レンジでささっと一品！ もやしの彩りナムルのレシピ動画・作り方 | DELISH KITCHEN. Twitterをフォローする LINEからレシピ・献立検索ができる! LINEでお友だちになる もやしを使ったレシピ にんじんを使ったレシピ 関連するレシピ 使用されている商品を使ったレシピ 「丸鶏がらスープ」 「AJINOMOTO PARK」'S CHOICES おすすめのレシピ特集 こちらもおすすめ カテゴリからさがす 最近チェックしたページ 会員登録でもっと便利に 保存した記事はPCとスマートフォンなど異なる環境でご覧いただくことができます。 保存した記事を保存期間に限りなくご利用いただけます。 このレシピで使われている商品 おすすめの組み合わせ LINEに保存する LINEトーク画面にレシピを 保存することができます。
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