コーシー・シュワルツ不等式【数学ⅡB・式と証明】 - YouTube
どんなときにコーシ―シュワルツの不等式をつかうの? コーシ―シュワルツの不等式を利用した解法を知りたい コーシ―シュワルツの不等式を使う時のコツを知りたい この記事では、数学検定1級を所持している管理人が、コーシーシュワルツの不等式の使い方について分かりやすく解説していきます。 \(n=2 \) の場合について、3パターンの使い方をご紹介します。やさしい順に並べてありますので、少しずつステップアップしていきましょう! レベル3で扱うのは1995年東京大学理系の問題ですが、恐れることはありません。コーシ―シュワルツの不等式を使うと、驚くほど簡単に問題が解けますよ。 答えを出すまでの考え方についても紹介しました ので、これを機にコーシーシュワルツの不等式を使いこなせるように頑張ってみませんか? コーシ―・シュワルツの不等式 \begin{align*} (a^2\! +\! b^2)(x^2\! +\! y^2)≧(ax\! +\! コーシー・シュワルツ不等式【数学ⅡB・式と証明】 - YouTube. by)^2%&(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\geq(ax+by+cz)^2 \end{align*}等号は\( \displaystyle{\frac{x}{a}=\frac{y}{b}}\) のとき成立 コーシーシュワルツの覚え方・証明の仕方については次の記事も参考にしてみてください。 【コーシー・シュワルツの不等式】を4通りの方法で証明「内積を使って覚え、判別式の証明で感動を味わう」 コーシーシュワルツの不等式については、次の本が詳しいです。 リンク それでは見ていきましょう。 レベル1 \[ x^2+y^2=1\]のとき\(2x+y\)の最大値と最小値を求めなさい この問題はコーシ―シュワルツの不等式を使わなくても簡単に解けますが、はじめてコーシーシュワルツ不等式の使い方を学ぶには最適です。 なぜコーシーシュワルツの不等式を使おうと考えたのか?
相加相乗平均の不等式の次にメジャーな不等式であるコーシー・シュワルツの不等式の証明と典型的な例題を紹介します. コーシー・シュワルツの不等式 コーシー・シュワルツの不等式: 実数 $a_1, a_2, \cdots, a_n, b_1, b_2, \cdots, b_n$ について次の不等式が成り立つ. $$ (a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^2 \le (a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2)$$ 等号成立条件はある実数 $t$ に対して, $$a_1t-b_1=a_2t-b_2=\cdots=a_nt-b_n=0$$ となることである. 【コーシー・シュワルツの不等式】を４通りの方法で証明「内積を使って覚え、判別式の証明で感動を味わう」｜あ、いいね！. $a_1, a_2, \cdots, a_n, b_1, b_2, \cdots, b_n$ は実数であれば,正でも負でも $0$ でもなんでもよいです. 等号成立条件が少々わかりにくいと思います.もっとわかりやすくいえば,$a_1, a_2, \cdots, a_n$ と $b_1, b_2, \cdots, b_n$ の比が等しいとき,すなわち, $$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\cdots=\frac{a_n}{b_n}$$ が成り立つとき,等号が成立するということです.ただし,$b_1, b_2, \cdots, b_n$ のいずれかが $0$ である可能性もあるので,その場合も考慮に入れて厳密に述べるためには上のような言い回しになります. 簡単な場合の証明 手始めに,$n=2, 3$ の場合について,その証明を考えてみましょう. $n=2$ のとき 不等式は,$(a_1b_1+a_2b_2)^2 \le (a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)$ となります.これを示すには,単に (右辺)ー(左辺) を考えればよく, $$(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)-(a_1b_1+a_2b_2)^2$$ $$=(a_1^2b_1^2+a_1^2b_2^2+a_2^2b_1^2+a_2^2b_2^2)-(a_1^2b_1^2+2a_1a_2b_1b_2+a_2^2b_2^2)$$ $$=a_1^2b_2^2-2a_1a_2b_1b_2+a_2^2b_1^2$$ $$=(a_1b_2-a_2b_1)^2 \ge 0$$ とすれば示せます.
2019/4/30 2, 462 ビュー 見て頂いてありがとうございます. 見てもらうために作成しておりますので,どんどん見てください. ★の数は優先度です.★→★★→★★★ の順に取り組みましょう. 2323 ポイント集をまとめて見たい場合 点線より下側の問題の解説を見たい場合 は 有料版(電子書籍) になります. 2000番台が全て入って (¥0もしくは¥698) と,極力負担を少なくしています. こちら からどうぞ.
(この方法以外にも,帰納法でも証明できます.それは別の記事で紹介します.) 任意の実数\(t\)に対して,
f(t)=\sum_{k=1}^{n}(a_kt+b_k)^2\geqq 0
が成り立つ(実数の2乗は非負). 左辺を展開すると,
\left(\sum_{k=1}^{n}a_k^2\right)t^2+2\left(\sum_{k=1}^{n}a_kb_k\right)t+\left(\sum_{k=1}^{n}b_k^2\right)\geqq 0
これが任意の\(t\)について成り立つので,\(f(t)=0\)の判別式を\(D\)とすると\(D/4\leqq 0\)が成り立ち,
\left(\sum_{k=1}^{n}a_kb_k\right)^2-\left(\sum_{k=1}^{n}a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n}b_k^2\right)\leqq 0
よって,
\left(\sum_{k=1}^{n} a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n} b_k^2\right)\geqq\left(\sum_{k=1}^{n} a_kb_k\right)^2
その他の形のコーシー・シュワルツの不等式
コーシー・シュワルツの不等式というと上で紹介したものが有名ですが,実はほかに以下のようなものがあります. 1. (複素数)
\(\displaystyle \left(\sum_{k=1}^{n} |\alpha_k|^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n}|\beta_k|^2\right)\geqq\left|\sum_{k=1}^{n}\alpha_k\beta_k\right|^2\)
\(\alpha_k, \beta_k\)は複素数で,複素数の絶対値は,\(\alpha=a+bi\)に対して\(|\alpha|^2=a^2+b^2\). 2. (定積分)
\(\displaystyle \int_a^b \sum_{k=1}^n \left\{f_k(x)\right\}^2dx\cdot\int_a^b\sum_{k=1}^n \left\{g_k(x)\right\}^2dx\geqq\left\{\int_a^b\sum_{k=1}^n f_k(x)g_k(x)dx\right\}^2\)
但し,閉区間[a, b]で\(f_k(x), g_k(x)\)は連続かつ非負,また,\(a 株式会社 協和住建の不動産売却・買取りはココが違う! 新潟市エリアで地域密着! インターネット による抜群の集客・販売力! 秘密厳守!安心・丁寧な 無料相談 無料査定
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2LDK
57. 22m²
ニューアイリス 2階建
新潟市北区東栄町3丁目
JR白新線 「豊栄」駅 徒歩17分
2015年3月 (築6年6ヶ月)
メゾン・ブレスドⅡ 2階建
1995年10月 (築25年11ヶ月)
201
4. 4 万円
2, 000円
2DK
44. 52m²
バイオレットヒルズ 2階建
JR白新線 「新崎」駅 徒歩5分
1995年3月 (築26年6ヶ月)
3. 9 万円
2K
39. 84m²
104
ドリームメゾン 2階建
JR白新線 「豊栄」駅 徒歩3分
パーシモンコート 2階建
【バス】木崎小学校 停歩7分
2001年3月 (築20年6ヶ月)
106
3. 7 万円
3. 7万円
26. 【アットホーム】新潟市北区の賃貸物件(賃貸マンション・アパート)｜賃貸住宅情報やお部屋探し. 50m²
クレシアⅡ 2階建
新潟市北区松浜本町1丁目
JR白新線 「新崎」駅 【バス】15分 本町1丁目 停歩3分
2016年2月 (築5年7ヶ月)
メアリーローズB 2階建
新潟市北区嘉山
JR白新線 「豊栄」駅 徒歩12分
2006年7月 (築15年2ヶ月)
メアリーローズA 2階建
ラフレシール尾山Ⅱ 2階建
新潟市北区北陽2丁目
JR白新線 「新崎」駅 【バス】9分 北陽 停歩3分
2011年3月 (築10年6ヶ月)
コリーヌ・メゾンI 2階建
JR白新線 「新崎」駅 【バス】22分 太夫浜 停歩3分
2008年3月 (築13年6ヶ月)
202
4. 9 万円
3, 500円
4. 9万円
58. 13m²
コリーヌ・メゾンⅡ 2階建
JR白新線 「新崎」駅 【バス】23分 太夫浜上 停歩4分
1ヶ月
コリーヌ・メゾンⅠ 2階建
JR白新線 「新崎」駅 【バス】22分 北区バス太夫浜 停歩3分
グレイスルミエールB 2階建
新潟市北区白新町2丁目
JR白新線 「豊栄」駅 徒歩5分
1995年8月 (築26年1ヶ月)
4. 8 万円
3, 200円
2万円
40. 89m²
メイプルガーデン 2階建
JR白新線 「豊栄」駅 徒歩6分
1996年7月 (築25年2ヶ月)
リバーサイド ハイビスカスB 2階建
新潟市北区濁川1丁目
JR白新線 「新崎」駅 徒歩17分
46. 26m²
177 件 1~30棟を表示
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>> 会社名 三和商事株式会社 住所 新潟県新潟市中央区花園2-1-16 営業時間 9:00〜17:30 定休日 日曜・祝日 免許番号 新潟県知事免許(12)第1969号 43m² お気に入りに登録 詳細を見る 新築物件ですインターネット使用料無料・都市ガス・照明付きです。防犯カメラ付きで防犯面も安心です。 大東建託リーシング株式会社 新発田店 1階 4. 9 万円 /2, 000円 無/1ヶ月/-/-
1K 32. 43m² お気に入りに登録 詳細を見る 新築物件ですインターネット使用料無料・都市ガス・照明付きです。防犯カメラ付きで防犯面も安心です。 大東建託リーシング株式会社 新発田店 所在地 新潟県新潟市北区白新町3丁目14-17 交通 JR白新線 豊栄駅 徒歩8分 築年数/階数 1年 / 2階建 間取り図 階 賃料/管理費等 敷金/礼金/保証/敷引・償却 間取り 専有面積 お気に入り 詳細 1階 5. 5 万円 /- 1ヶ月/1ヶ月/-/-
1LDK 34. 58m² お気に入りに登録 詳細を見る 豊栄駅近物件、築浅1LDK。オートロック、宅配ボックス付き。 アパマン情報館木戸店 株式会社マンションセンター 所在地 新潟県新潟市北区白新町1丁目3912- 交通 JR白新線 豊栄駅 徒歩4分 築年数/階数 3年 / 5階建 間取り図 階 賃料/管理費等 敷金/礼金/保証/敷引・償却 間取り 専有面積 お気に入り 詳細 1階 5. 85 万円 /- 5. 85万円/5. 85万円/-/-
1LDK 38. 新潟市北区 3万円以下の賃貸 物件一覧 【goo 住宅・不動産】｜賃貸住宅[賃貸マンション・アパート・賃貸一戸建て・賃貸一軒家]で部屋探し. 21m² お気に入りに登録 詳細を見る 家具家電付き&ネット無料の1LDK!豊栄駅まで徒歩4分♪ 株式会社リビングギャラリー 新潟北店 所在地 新潟県新潟市北区白新町1丁目10-6 交通 JR白新線 豊栄駅 徒歩1分 築年数/階数 4年 / 2階建 掲載物件 2件 表示しない 間取り図 階 賃料/管理費等 敷金/礼金/保証/敷引・償却 間取り 専有面積 お気に入り 詳細 1階 即入居可 5. 3 万円 /- 1ヶ月/1ヶ月/-/-
1LDK 31. 21m² お気に入りに登録 詳細を見る 新潟医療福祉大学の学生様にオススメの、女性限定アパート。 アパマン情報館木戸店 株式会社マンションセンター 1階 即入居可 5. 3 万円 /- 5. 3万円/5. 3万円/-/-
1LDK 31. 2m² お気に入りに登録 詳細を見る 豊栄駅まで徒歩1分の立地です。女性限定のアパートです。 株式会社リビングギャラリー 新潟北店 所在地 新潟県新潟市北区木崎 交通 バス 競馬場入口下車 徒歩5分 JR白新線 豊栄駅 バス7分 競馬場入口下車 徒歩5分 築年数/階数 3年 / 3階建 間取り図 階 賃料/管理費等 敷金/礼金/保証/敷引・償却 間取り 専有面積 お気に入り 詳細 3階 7 万円 /5, 000円 無/1ヶ月/-/-
2LDK 58. 4km
新潟交通バス(新潟市)/太陽の村前 徒歩3分
2006年08月(築15年)
木造(2×4)新潟市の賃貸・不動産・お部屋探しのことなら | 三和商事
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木造
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