この記事は最終更新日から1年以上が経過しています。内容が古くなっているのでご注意ください。 はじめに 一見複雑そうな等比数列。 分数や文字がたくさん出てくるし、計算ミスはしやすいしと、苦手意識を持っているかもしれません。 ですが、実際等比数列は、大学受験レベルなら問題のバリエーションもそこまで多くないのです。図形問題のようにひらめきを必要とするというよりも、「与えられた情報をいかに整理して使うか」を大事とする単元です。なので、基本をきちんと理解し、量をこなせば確実に成績は上がります。 この記事では、等比数列の一般項や和を求める公式を証明したあとに、大学入試でよく出題される問題の解き方を解説していきます。 等比数列をマスターして、確実な得点源にしましょう! 等比数列とは「同じ数をかけ続ける数列」 まず、「等比数列とは何なのか」ということについて説明します。 等比数列の定義を説明! ①2, 4, 8, 16, 32… ②1, 3, 9, 27, 81… 上の数列をみてください。 ①は初項2に2をどんどんかけていった数列で、②は初項1に3をどんどんかけていった数列ですね。(初項とは、数列の最初の項のことです) このように、「初項にある一定の数をかけ続けていった数列」を、等比数列といいます。 ちなみにこの「一定の数」のことを、「公比」と呼びます。記述問題の解答を書く際に使えるので、覚えておいてください。 「初項」「公比」だけを押さえれば一般項は求められる いま、等比数列とは「初項にある一定の数をかけ続けていった数列」といいました。 つまり、初項と公比だけわかれば、何番目に何の数があるかがわかるのです! 公式集｜数列｜おおぞらラボ. この、「何番目に何の数があるかわかる」式を、「一般項」といいます。 たとえば 3, 6, 12, 24, 48… という、初項3、公比2の等比数列があるとします。 この等比数列の一般項は で(この式の導き方はあとで扱います)、例えば数列の中の7番目の数を知りたい場合、上の式にn=7を代入すればわかるのです! ちなみに7番目の数は、 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192 より、192です。 上の一般項の式に実際にn=7を代入してみると、 より、192が出てきました! さて、一般項の式を求める方法を説明します。 同じ「3, 6, 12, 24, 48... 」の数列で考えていきましょう。 初項と公比は、数列を見ればすぐわかりますね。ここでは初項は3, 公比は2です。 では、一般項、つまりn番目の項に達するためには、何回2をかければいいのでしょうか。 上の図をみてください。 n番目の数を出すには、公比を(n-1)回かける必要があります。間の数は木の数よりも1つ少ないという、植木算と同じですね。 以上より、一般項、つまりn番目の項は「初項3に公比2をn-1回かけた数」なので、 となります!
例題と練習問題 例題 (1)等比数列 $\{a_{n}\}$ で第 $5$ 項が $\dfrac{1}{2}$,第 $8$ 項が $-4$ のとき,この数列の一般項を求めよ. (2)等比数列 $3, \ -6, \ 12, \cdots$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S$ を求めよ. (3)初項から第 $3$ 項までの和,第 $6$ 項までの和がそれぞれ $-18$,$126$ であるような等比数列の初項を求めよ. 講義 上の公式を使う練習です.
どうもです。早大政経卒高崎の塾講師吉永豊文です。 等差数列の和についてのお話ですね。 等差数列の和の公式には二つありました。 S(n)={2a(1)+d(nー1)}×n/2 と={a(1)+a(n)}×n/2 ですね。 この一番目の公式を暗記してしまっている方、いらっしゃるかもしれません。 でも、私はこの公式はあまりオススメしないのです。 よくわからない式ですからね。 二番目の公式のa(n)にa(1)+d(n-1)を代入すれば出てきますね。 ですから、覚えるのでしたら、二番目の公式だけを覚えておけば十分です。 さて、二番目の公式も {a(1)+a(n)}×n/2 のままでは、少々分かりづらいです。 ここをきちんと理解していきましょう! そして、ここで中学校で習う平均値の公式を思い出していただきましょう。 平均値、合計、人数、で式を作ってみましょう。 そうですね 平均値=合計/人数 さて、これをどう使っていくのか 初項が4、公差が2の等差数列を考えます 一項ずつ並べていきます。全体の平均値を考えてください。 2項で 4→6 平均値=(4+6)/2=5 3項で 4→6→8 平均値=(4+6+8)/3=6 4項で 4→6→8→10 平均値=7 5項で 4→6→8→10→12 平均値=8 何かお気付きになったでしょうか? 等差数列は間が同じ数列です。 ここで、それぞれ、はじめの項と最後の項の平均値を出してみましょう! 2項で 4と6 平均値=5 3項で 4と8 平均値=6 4項で 4と10 平均値=7 5項で 4と12 平均値=8 となっています。どうでしょうか? はじめの平均値と同じですね!! 公差とは？1分でわかる意味、一般項、n項、等差数列との関係. そうなのです。 等差数列全体の平均値=初項と最後の項の平均値 という性質があるのです。 次回は、これを公式に結びつけていきましょう!! 一つ前の記事 等差と等比の絡み 次の記事 等差の和に絡んだ問題 ******************** 早大政経卒吉永豊文が教える少人数徹底指導の塾 群馬県高崎市八島町107-507(〒370-0849) 全ての授業を私が教えておりますので、講師によるムラもなく安心です。 このブログからお越しいただいた塾生の方も、夏休み中、頑張って成績向上していただきました。 資料請求、無料体験授業等、お問合せ 携帯: 090-4131-7410 e-mail: 偏差値40代から、群大医学部(医)、数学20代から岩手医科大 (医) に合格しております。 塾生の体験談集はこちらにあります 料金、場所の詳細はこちらにあります すぐに模試の成績の上がる問題はコチラ 主な目次集はコチラにあります!
その通り、いやだよな。でもこれはnを使えば、一つの式で答えられるんだ! nというのは1でも300でも1000でも、どんな数にでも変身できますよ!という記号だ!どの数にでも変身できるから、$a_1$ も$a_{300}$ も$a_{1000}$も、同じ式で表せるということ。それが$a_n$だ! どんな数にでもなれるなんて、nってすごいね! 「どんな数も」というのは、「一般的に」と言いかえることができて、a_nは一般項と名付けられていることも覚えておこう! 戦略02 具体的な解説で、コツをつかもう! 2-1等差数列って何? 等差数列 とは、となり合う数字どうしの差が常に同じになるような、数字の並び方のことです。 たとえば差が3だったら、1, 4, 7, 10…みたいになるぞ! これを数学っぽく表現すると、 $a_{n+1}-a_n=d$ となります。 nとn+1はとなりどうしで、その差が一定ってことね! 等差数列がどんなものかわかったら、次は一般項の求め方だ! 一般項を求めるために必要な情報は2つ、 初項 と 公差 です。 $a_1$と$d$のことだ! 等差数列は同じ数を何回も足していく(引いていく)という規則があるような数列ですから、出発点と足していく数がわかればいいのです!そして一般項は… $a_n=a_1+(n-1)d$ 2-2等比数列 等比数列 とは、となり合う数字どうしを割ると、その商(割り算の答え)が同じになるような数字の並び方のことです。 要するに同じ数を何回もかけているということだ! 同じ数を何回もかけるといえば、例えば$3×3×3×3$を私たちは$3^4$ と表現しますよね。これを考えれば、一般項は累乗の形「◯の◯乗」という形になることが予想できますね! 一般項求めるために必要なのは、今回はなに〜? 等差数列と似ているが、初項と公比($a_1$と$r$)だ! 一般項は、 $a_n=a_1・r^{n-1}$ 等差数列と等比数列は、数列の勉強にとって一番の基礎と言っても過言ではない!きちんと理解ができるようになるまで、教科書を読んだり問題集を解いたりしよう!以下の記事を参考にしよう! 2-3. シグマ(数列の和) うち、この Σ ってのマヂで無理なんだけど〜!ちょー拒絶反応がでる! 等差数列の和公式覚え方, 等差数列とは？一般項や等差数列の和の公式とその覚え方 … – Gther. 確かに難しそうに感じるが、一度理解してしまえば次第に使いこなせるようになるぞ!公式の暗記だけでは問題を解くことにつながらないから、しっかりと理解できるようになろう!
タイプ: 教科書範囲 レベル: ★ 等差数列 を終えたら次は等比数列です. こちらも同様に一般の参考書等で扱ってない内容を載せていますので,是非読んで問題を解いてみてください. 等比数列の導入と一般項 数列の中で,比が等しい数列のことを等比数列といいます.その比を 公比 といい,英語でratioというので,よく $r$ と表します.以下の図のようになります. $n$ 番目である $a_{n}$ がこの数列の 一般項 になります. $a_{n}$ を求めるには,上の赤い箇所をすべて掛ければいいので,等比数列の一般項は以下になります. ポイント 等比数列の一般項 (基本) $\displaystyle a_{n}=a_{1}\cdot r^{n-1}$ しかし,$a_{n}$ を求めるために,わざわざ $a_{1}$ から掛けねばならない理由はありません. 上の図のように,途中の $k$ $(1 \leqq k \leqq n)$ 番目から掛け始めてもいいわけです.間は $n-k$ 個なので,一般項の公式を書き換えます. 等比数列の一般項(途中からスタートOK) $\boldsymbol{a_{n}=a_{k} \cdot r^{n-k}}$ ここの $k$ には $n$ 以下の都合のいい自然数を代入できます. $k=1$ を代入したのが,$\displaystyle a_{n}=a_{1}\cdot r^{n-1}$ になります.例えば $5$ 番目がわかっている場合は,$\displaystyle a_{n}=a_{5}\cdot r^{n-5}$ を使えば速いですね. 等比数列の和 等比数列の和を考えます.$n$ 個の和を $S$ とし,すべて $a_{1}$ と $r \ (r\neq 1)$ で表現します. $S=a_{1}+a_{1}r+a_{1}r^{2}+\cdots+a_{1}r^{n-1}$ これの全体を $r$ 倍して,1つ右にずらして引きます. そうすると以下のように,間がすべて消えます. 和が出ましたね. 教科書にある公式は2通り表記があって,数学が苦手な人は,どちらで覚えた方がいいのか困惑してしまいます. (数学Ⅲの 無限等比級数 との関連も考え)上の公式のみで教えています.日本人は日本語で覚えた方がいいでしょう. 等比数列の和 $S$ $\displaystyle S=\dfrac{初項-末項 \times 公比}{1-公比}$ 必ずしも初項は $a_{1}$,末項が $a_{n}$ とは限らず,はじめの数と終わりの数でもいいです.
シータ これは公式を覚えてスラスラと解けて欲しいな 公式を覚えたから計算ならできそう!
ここで、解答中に出てきた疑問。 公式が $2$ つあるけど、結局どちらを使えばいいの? これについてですが、そもそも$$1-rとr-1$$の違いって何ですか? そう、 「符号が違う」 だけですよね!
女性が気になる恋愛のアレコレを、男性たちに2択アンケート調査。結果をもとに、恋愛コラムニストの神崎桃子さんが男心を分析します。今回は「追う恋と追われる恋」にまつわるアンケート。 「追う恋」と「追われる恋」どっちがしたい? あなたはこれまで、「追う恋」と「追われる恋」どっちをしてきたかしら? 「全然タイプじゃなかったけど、彼が熱心にアプローチしてくるから付き合ってみたら、すごく大事にされて今めっちゃくちゃ幸せ♡」という女性もいれば、 「自分から好きになる恋愛ばかりしてきたけど、いつも失敗に終わってる。やっぱり女性が追いかける恋は幸せになれないのかも……」と苦い思いをしている女性もいるでしょう。 「女性は追うより追われるほうがいい」「男性は女性に追われると逃げる」 なんてよく言うもの……。 今回はそのあたりについて、男性たちに探りを入れてみるよ! Q. 「追う恋」と「追われる恋」どっちがしたい? 追う恋:55. 6% 追われる恋:44. これが令和男子の本音。「追う恋」VS「追われる恋」男子100人の理想は？（CanCam.jp） - Yahoo!ニュース. 4% ※有効回答数126件 「追うほうがいい」と答えた男性が若干多めという結果に……。 この回答は「追う側を選んだ男性」は追うことのメリットを、「追われる側がいいと選んだ男性」は追うことのデメリットを感じているといえそう。 では、リアルな男性の声に耳を傾けてみよう! 「追う恋がしたい」派 自分から好きになった女性を手に入れたい ・「追っているほうが確実に自分が大好きなタイプなので、そちらでないと意味がなく感じるから」(38歳/その他/クリエイティブ職) ・「自分が好きになった人を追いかけるほうがいい。好きでもない人から追われても疲れるだけだから」(37歳/電機/技術職) 男性の狩猟本能の欲求を満たすには、やはり追われるよりも追うほうがいいんだろうね。自分好みの獲物を捕らえたいのかも。 女性なら、仮に相手の外見が好みでなかったとしても、その人の熱意に揺り動かされれば「男性として見る」ことができる。 でも男性って、自分の中の恋愛対象の線引きはなかなか崩さないよね。出会って初っ端に抱く「恋愛対象としてアリかナシか」ってやつ(笑)。 だから男性は、 自分の好みじゃない女性からしつこく言い寄られてもなびかない。 それどころか、タイプじゃない女性に何度もアプローチされると逃げ出したくなる。 男性は女性とちがってシビア。仕事関係や同僚なら仕方なくとも、自分の興味や性的関心がわきそうにない女性と2人で会うことは避けたがるんじゃない?
男性から追われる恋 。 女性なら誰もが憧れるシチュエーションではないでしょうか。 恋愛をするといつも自分ばかり追いかけてしまって、悲しい思いをしていませんか? 今回の記事では、そんな女性たちにぜひ読んでもらいたい、 追われる女性の特徴や魅力について解説していきます 。 これであなたも立場逆転! 男性から追いかけられる魅力たっぷりな女性になっちゃいましょう。 「追われる恋」と「追う恋」はどっちが幸せ?
はたして「女性は追いかけるほうがいいのか、追われるほうがいいのか」となると……好きな相手が草食系の場合は、女性からガツガツ追いかけていいってことだけはまちがいないね(笑)。 それ以外はやっぱり、 男性が追いかけたほうがうまくいくことが多い。 恋愛コラムニスト・神崎桃子がこれまで見てきた"追う恋をしている女性たち"は、自分の好きという想いが強すぎて、なんでも彼優先で物事を考えてしまい、ほかのことがなおざりになってしまっていたりする……。 それに、女性が追う恋は不安が募って相手の言動が気になり、何かと詮索しすぎてしまうからね。で、男性から「ウザい」とか「めんどくさい」って引かれちゃうんだよ。 もし、あなたが追いかける恋をしているなら、 自分を見失っていないかどうか考えてみて。 人を愛するのは素晴らしいけど、彼ばかり見て、自分のことが見えてない状態なら大問題!
男性の本音。「追う恋」と「追われる恋」どっちがいいいの? 「女性は追う恋よりも追われる恋の方が幸せになれる」なんてよく耳にしますよね。好きな人が振り向いてくれるのも嬉しいですが、愛情を注いでくれる追われる恋愛の方が上手くいくのかな…とも思うもの。 そこで今回は男性はどう思っているのか調査。「女性のことを追いかけたい派か、追われたい派か」ご紹介していきます。 【アンケート結果】上手くいった恋愛の相手との出会いの場所は? 追う恋と追われる恋。「追われたい」男性の本音とは ｜ Tips ｜ omotte magazine from ANNIVERSAIRE｜記念日にまつわるマガジン. Q. 追いたい派?追われたい派? 完全に追いかけたい派 8% どちらかといえば追いかけたい派 39% どちらかといえば追いかけられたい派 42% 完全に追いかけられたい派 11% 僅差ではありますが、53%の方が「追いかけられたい」と回答。なんと男性の半数以上が追われる恋を望んでいるようです。では、女性に「追われ」て嬉しい言動はどのようなものなのか詳しく見てみましょう。 Q. どう追われるのが嬉しい?
ちょっと恋愛対象外かも。男子がデートに誘いにくい女性の特徴10個 会う頻度はどれくらいがベスト?20代の恋愛観