1 (viii) より である限り となる が存在し、しかもそのような の属する剰余類はただ1つに定まることがわかる。特に となる の属する剰余類は乗法に関する の逆元である。これを であらわすことがある。このとき である。 また特に、法が素数のとき、0以外の剰余類はすべて逆元をもつので、この剰余系は(有限)体をなす。
初等整数論/フェルマーの小定理 で、フェルマーの小定理を用いて、素数を法とする剰余類の構造を調べたので、次に、一般の自然数を法とする合同式について考えたい。まず、素数の冪を法とする場合について考え、次に一般の法について考える。 を法とする合同式について [ 編集] を法とする剰余類は の 個ある。 ならば である。よってこのとき任意の に対し となる が一意的に定まる。このような剰余類 は の形に一意的に書けるから、ちょうど 個存在する。 一方、 が の倍数の場合、 となる が存在するかも定かでない。例えば などは解を持たない。 とおくと である。ここで、つぎの3つの場合に分かれる。 1. のとき よりこの合同式はすべての剰余類を解に持つ。 2. のとき つまり であるが より、この合同式は解を持たない。 3. 初等整数論/合同式 - Wikibooks. のとき は よりただ1つの剰余類 を解に持つ。しかし は を法とする合同式である。よって、これはちょうど 個の剰余類 を解に持つ。 次に、合同方程式 が解を持つのはどのような場合か考える。そもそも が解を持たなければならないことは言うまでもない。まず、正の整数 に対して より が成り立つことから、次のことがわかる。 定理 2. 4. 1 [ 編集] を合同方程式 の解とする。このとき ならば となる がちょうど1つ定まる。 ならばそのような は存在しないか、 すべての に対して (*) が成り立つ。 数学的帰納法より、次の定理がすぐに導かれる。 定理 2. 2 [ 編集] を合同方程式 の解とする。 を整数とする。 このとき ならば となる はちょうど1つ定まる。 例 任意の素数 と正の整数 に対し、合同方程式 の解の個数は 個である。より詳しく、各 に対し、 となる が1個ずつある。 中国の剰余定理 [ 編集] 一般の合成数を法とする場合は素数冪を法とする場合に帰着される。具体的に、次のような問題を考えてみる。 問 7 で割って 6 余り、13 で割って 12 余り、19 で割って 18 余る数はいくつか? 答えは、7×13×19 - 1 である。さて、このような問題に関して、次の定理がある。 定理 ( w:中国の剰余定理) のどの2つをとっても互いに素であるとき、任意の整数 について、 を満たす は を法としてただひとつ存在する。(ここでの「ただひとつ」というのは、互いに合同なものは同じとみなすという意味である。) 証明 1 まず、 のときを証明する。 より、一次不定方程式に関する 定理 1.
4 [ 編集] と素因数分解する。 を法とする既約剰余類の個数は である。 ここで現れた を の オイラー関数 (Euler's totient) という。これは 円分多項式 の次数として現れたものである。 フェルマー・オイラーの定理 [ 編集] 中国の剰余定理から、フェルマーの小定理は次のように一般化される。 定理 2. 5 [ 編集] を と互いに素な整数とすると が成り立つ。 と互いに素な数で 1 から までのもの をとる。 中国の剰余定理から である。 はすべて と互いに素である。さらに、これらを で割ったとき余りはすべて異なっている。 よって、これらは と互いに素な数で 1 から までのものをちょうど1回ずつとる。 したがって、 である。積 も と互いに素であるから 素数を法とする場合と同様 を と互いに素な数とし、 となる最小の正の整数 を を法とする の位数と呼ぶ。 位数の法則 から が成り立つ。これと、フェルマー・オイラーの定理から位数は の約数であることがわかる(この は、多くの場合、より小さな値をとる関数で置き換えられることを 合成数を法とする剰余類の構造 で見る)。
5. 1 [ 編集] が奇素数のとき、位数が となる剰余類 が存在する。さらに を法とする剰余類で と互いに素なものは と一意的にあらわせる。 の場合はどうか。 であるから、 の位数は である。 であり、 を法とする剰余類で 8 を法として 1, 3 と合同であるものの個数は 個である。したがって、次の事実がわかる: のとき、位数が となる剰余類 が存在する。さらに を法とする剰余類で 8 を法として 1, 3 と合同であるものは と一意的にあらわせる。 に対し は 8 を法として 7 と合同な剰余類を一意的に表している。同様に に対し は 8 を法として 5 と合同な剰余類を一意的に表している。よって2の冪を法とする剰余類について次のことがわかる。 定理 2. 2 [ 編集] のとき、位数が となる剰余類 が存在する。さらに を法とする剰余類は と一意的にあらわせる。 以上のことから、次の定理が従う。 定理 2. 初等整数論/べき剰余 - Wikibooks. 3 [ 編集] 素数冪 に対し を ( または のとき) ( のとき) により定めると で割り切れない整数 に対し が成り立つ。そして の位数は の約数である。さらに 位数が に一致する が存在する。 一般の場合 [ 編集] 定理 2. 3 と 中国の剰余定理 から、一般の整数 を法とする場合の結果がすぐに導かれる。 定理 2. 4 [ 編集] と素因数分解する。 を の最小公倍数とすると と互いに素整数 に対し ここで定義した関数 をカーマイケル関数という(なお と定める)。定義から は の約数であるが、 ( は奇素数)の場合を除いて は よりも小さい。
(i)-(v) は多項式に対してもそのまま成り立つことが容易にわかる。実際、例えば ならば となる整数係数の多項式 が存在するから が成り立つ。 合同方程式とは、多項式 とある整数 における法について、 という形の式である。定理 2. 1 より だから、 まで全て代入して確かめてみれば原理的には解けるのである。 について、各係数 を他の合同な数で置き換えても良い。特に、法 で割り切れるときは、その項を消去しても良い。この操作をしたとき、 のとき、この合同式を n 次といい、 合同式 が n 次であることの必要十分条件は となる多項式 の中で最低次数のものが n 次であることである。そのような の最高次、つまり n 次の係数は で割り切れない(割り切れるならば、その係数を消去することで、さらに低い次数の、 と合同な多項式がとれるからである)。 を素数とすると、 が m 次の合同式で、 が n 次の合同式であるとき は m+n 次の合同式である。実際 となるように m次の多項式 と n 次の多項式 をとれば となる。ここで の m+n 次の係数は である。しかし は m 次の合同式で、 は n 次の合同式だから は で割り切れない。よって も で割り切れない(ここで法が素数であることを用いている)。よって は m+n 次の合同式である。 これは素数以外の法では一般に正しくない。たとえば となる。左辺の 1 次の係数同士を掛けると 6 を法として消えてしまうからである。 素数を法とする合同方程式について、以下の基本的な事実が成り立つ。 定理 2. 2 (合同方程式の基本定理) [ 編集] 法 が素数のとき、n 次の合同式 は高々 n 個の解を持つ。もちろん解は p を法として互いに不合同なものを数える。より強く、n 次の合同式 が互いに不合同な解 を持つならば、 と因数分解できる(特に である)。 n に関する数学的帰納法で証明する。 のときは と合同な 1次式を とおく。 であるから 定理 1. 8 より、 が と合同になるような が を法として、ただひとつ存在する。すなわち、 はただひとつの解を有する。そしてこのとき となる。 より定理は正しい。 n-1 次の合同式に対して定理が正しいと仮定し、 を n 次の合同式とする。 より となる多項式 が存在する。 より を得る。上の事実から は n-1 次の合同式である。 は素数なのだから、 定理 1.
初めから大きい額は稼げない 趣味を副業にすると、はじめやすいというメリットはありますが、だからといってすぐに稼げるわけではありません。 実績がないと案件を得ることも難しいため、 始めから大きな収入を得られる可能性は低い といえるでしょう。 案件紹介サイトを利用して効率的に仕事を得たり、オンラインスクールに通って自分のスキルに磨きをかけたりと、副業を成功させるためのコツや努力が必要です。 注意点2. まずは「楽しく続ける」ことを大切にする 副業をはじめるときは、まずは 楽しく続けられるかどうかを優先してスタートしてみるとよい でしょう。 あくまで副業であり趣味ですので、楽しくなければ続けるモチベーションは保てません。 好きでやっていた「趣味」が、副業にしたことで「義務」になってしまうと、もう元のように楽しめなくなってしまいます。 趣味を好きでい続けるためにも、楽しくやることを大切にしましょう。 注意点3. 本業の会社で副業が禁止されているのであれば、副業はできない 本業で勤める会社の就業規則で副業が禁止されている場合、副業できません。 なぜなら、 就業規則をやぶってしまうと懲戒処分を受ける可能性がある からです。 副業の内容や度合いによっては解雇など重い処分がくだされる可能性もあり、会社に内緒で副業してもリスクしかないと覚えておきましょう。 関連記事: 副業禁止は絶対?考えられるリスクと安全に副収入を得る方法 まとめ 趣味で収入を得るチャンスはある 自分自身が楽しみながら続けられる『趣味』を選ぶ
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著者によれば、それを見つけるためのコツは"重なるところを最初からは「探しにいかない」"ということなのだとか。 理由はシンプルで、つまり探しにいこうとすると発想が広がりにくくなってしまうからです。そこで重なるところを探すのは最後にして、まずはそれぞれ探ってみることが大切。 なお心の奥を探るには、自分の心に「上手な質問」をすることが重要。 それは以下の3つだそうです。 (1) お金をもらわなくても、つい「自然とやってしまう」ワクワクすることはなんですか? (2) これまでたくさんのお金や時間を使ってきた「大好きなこと」はなんですか? (3) 「誰の」「どんな悩み」を解決している自分を想像すると、ワクワク・ドキドキしますか? (70ページより抜粋) これらの質問について考えてみれば、自分のなかの本質に近づけるようになるのだというのです。(69ページより) 「得意なこと」を見つける4つのポイント 好きなことと並行して「得意なこと」も探るべきですが、本当に得意なことは自分で自覚しづらいもの。しかし、そこを見つけることにもコツがあるのだそうです。 「他者の反応を思い出す」「他者と冷静に比較してみる」というように、"他者の視点"を取り入れるべきだという考え方。 4つのポイントを確認してみましょう。 (1) 人からよく「感謝されること」「ほめられること」「すごいね! と言われること」はなんですか? (2) 人から「お金を払うからやってほしい」と頼まれることはなんですか? (3) 人より詳しいこと(知識・経験)はなんですか? (4) 人より簡単にできてしまうことはなんですか? (74〜75ページより抜粋) なお 得意なことを探す質問は、「自分のことをよく知っている人に聞いてみる」のが効果的 だそう。 そして、これら 「好き」と「得意」を組み合わせて「ビジネスのアイデア」をつくるべき だということです。(74ページより) * 本書は、お金について考えるために大切な「備える」「稼ぐ」「使う」「貯める」「増やす」という5つの視点に基づく構成となっています。 しかも、どの章からでも読めるため、読者は自分に必要な部分だけを読むことができるのです。 お金の不安からは、つい目を背けたくなるもの。しかし見ないでいると、知らないうちに大きくなっていくものでもあります。 だからこそ、1項目を30分で理解できるような工夫が盛り込まれた本書を活用し、お金の不安を解消したいところです。 あわせて読みたい Source: きずな出版 Photo: 印南敦史
〈達人Profile〉ぷれぜん仙人さん 大手電機メーカー勤務。35歳。経営企画部に在籍し、10年間事業計画の立案に携わる。2013年5月より『ココナラ』でスキル販売の副業を始め、最高副業月収30万円。近く独立を予定。 [Before] 文章と写真をただ並べた印象が強く、目を引かない依頼主のプレゼン資料。これを添削! [After] ポイントが目立ち、その内容も頭に入ってきやすい。〝勝てる資料〟の仕上がりにリピーター多数。
クラウドソーシング・BASE・タイムチケットなど今では 個人のネット副業 をやるのに便利なサービスもどんどんと増えてきましたね。 今回は 「好きなことを仕事にする方法」 を18種類まとめてみたので、趣味でお小遣い稼ぎをしたい人は、ぜひご参考までに。 こちらもCHECK ブログ収益を公開してみた【現在350万/月】 続きを見る おすすめの副業51選!稼げる在宅ワークをランキングしてみた【2021年版】 続きを見る クラウドソーシングサービスを使って稼ぐ方法 ネット副業といえばクラウドソーシングサービス。 ブログ記事の執筆・Web制作・ロゴ制作・テキスト入力・翻訳 などあらゆる家できる仕事を取り扱っています。 在宅で副業をするならとりあえず登録しておくと便利! ちなみに日本最大の クラウドワークス が案件数も多くておすすめ。 クラウドワークスとは?副業の探し方・評判・仕事内容を完全解説【2021年】 続きを見る タイムチケットで時間を売って稼ぐ方法 タイムチケット はあなたの時間を「30分」や「60分」で売ることができるサービス。 どんなものがあるかと言うと、 ・プロフィール写真の撮影します! ・一人飲みに付き合います! ・エクセルの使い方教えます! ・英語の翻訳やります! ・雑談付き合います! など、かなり多様な売り方がされています。 好きなことのレクチャーやスキルの活用がサイドビジネスになるかもしれませんね。 最近は ココナラ の方が勢いがあるので、ココナラメインの方がいいかも! タイムチケット副業は稼げるの?経験者の口コミ評判をまとめてみた! 続きを見る ネットショップでスキルや商品を売って稼ぐ方法 BASE を使えばすぐに自分のネットショップを作ることができます。 自分で作ったハンドメイドグッズ・作品を売ることも出来れば、自分の知識やスキルを販売することもできます。 上記のタイムチケットのように ・海外留学の相談乗ります! ・恋愛相談乗ります! ・あなたの写真を撮影します!