二項定理・多項定理はこんなに単純! 二項定理に苦手意識を持っていませんか?
二項定理にみなさんどんなイメージを持っていますか? なんか 累乗とかCとかたくさん出てくるし長くて難しい… なんて思ってませんか? 確かに数2の序盤で急に長い公式が出てくるとびっくりしますよね! 今回はそんな二項定理について、東大生が二項定理の原理や二項定理を使った問題をわかりやすく解説していきます! 二項定理の原理自体はとっても単純 なので、この記事を読めば二項定理についてすぐ理解できますよ! 二項定理とは?複雑な公式も簡単にわかる! 二項定理とはそもそもなんでしょうか。 まずは公式を確認してみましょう! 【二項定理の公式】 (a+b) n = n C 0 a 0 b n + n C 1 ab n-1 + n C 2 a 2 b n-2 +….. + n C k a k b n-k +….. + n C n-1 a n-1 b+ n C n a n b 0 このように、二項定理の公式は文字や記号だらけでわかりにくいですよね。 (ちなみに、C:組合せの記号の計算が不安な方は 順列や組合せについて解説したこちらの記事 で復習しましょう!) そんな時は実際の例をみてみましょう! 例えば(x+2) 4 を二項定理を用いて展開すると、 (x+2) 4 =1・x 0 ・2 4 +4・x 1 ・2 3 +6・x 2 ・2 2 +4・x 3 ・2 1 +1・x 4 ・2 0 =16+32x+24x 2 +8x 3 +x 4 となります。 二項定理を使うことで累乗の値が大きくなっても、公式にあてはめるだけで展開できます ね! 二項定理の具体的な応用方法は練習問題でやるとして、ここでは二項定理の原理を学んでいきましょう! 原理がわかればややこしい二項定理の公式の意味もわかりますよ!! それでは再び(x+2) 4 を例に取って考えてみましょう。 まず、(x+2) 4 =(x+2)(x+2)(x+2)(x+2)と書き換えられますよね? この式を展開するということは、4つある(x+2)から、それぞれxか2のいずれかを選択して掛け合わせたものを全て足すということです。 例えば4つある(x+2)のなかで全てxを選択すればx 4 が現れますよね? 二項定理とは？東大生が公式や証明問題をイチから解説！｜高校生向け受験応援メディア「受験のミカタ」. その要領でxを3つ、2を1つ選択すると2x 3 が現れます。 ここでポイントとなるのが、 xを三つ、2を一つ選ぶ選び方が一通りではない ということです。 四つの(x+2)の中で、どれから2を選ぶかに着目すると、(どこから2を選ぶか決まれば、残りの3つは全てxを選ぶことになりますよね。) 上の図のように4通りの選び方がありますよね?
これで二項定理の便利さはわかってもらえたと思います 二項定理の公式が頭に入っていれば、 \((a+b)^{\mathrm{n}}\)の展開に 怖いものなし!
=6(通り)分余計にカウントしているので6で割っています。 同様にBは(B1, B2), (B2, B1)の、2! =2通り、Cは4! =24(通り)分の重複分割ることで、以下の 答え 1260(通り)//となります。 二項定理と多項定理の違い ではなぜ同じものを含む順列の計算を多項定理で使うのでしょうか? 上記の二項定理の所でのab^2の係数の求め方を思い出すと、 コンビネーションを使って3つの式からa1個とb2個の選び方を計算しました。 $$_{3}C_{2}=\frac {3! }{2! 1! }$$ 多項定理では文字の選び方にコンビネーションを使うとややこしくなってしまうので、代わりに「同じものを並べる順列」を使用しています。 次に公式の右側を見てみると、各項のp乗q乗r乗(p+q+r=n)となっています。 これは先程同じものを選んだ場合の数に、条件を満たす係数乗したものになっています。 (二項定理では選ぶ項の種類が二個だったので、p乗q乗、p +q=nでしたが、多項定理では選ぶ項の種類分だけ◯乗の数は増えて行きます。) 文字だけでは分かりにくいかと思うので、以下で実例を挙げます。 多項定理の公式の実例 実際に例題を通して確認していきます。 \(( 2x^{2}+x+3)^{3}において、x^{3}\)の係数を求めよ。 多項定理の公式を使っていきますが、場合分けが必要な事に注意します。 (式)を3回並べてみましょう。 \((2x^{2}+x+3)( 2x^{2}+x+3)( 2x^{2}+x+3)\) そして(式)(式)(式)の中から、x^3となるかけ方を考えると「xを3つ」選ぶ時と、 「2x 2 を1つ、xを1つ、3を1つ」選ぶ時の2パターンあります。 各々について一般項の公式を利用して、 xを3つ選ぶ時は、 $$\frac {3! }{3! 0! 0! 二項定理とは?公式と係数の求め方・応用までをわかりやすく解説. }× 2^{0}× 1^{3}× 3^{0}=1$$ 「2x 2 を1つ、xを1つ、3を1つ」選ぶ時は、 $$\frac {3! }{1! 1! 1! }\times 2^{1}\times 1^{1}\times 3^{1}=36$$ 従って、1+36=37がx^3の係数である//。 ちなみに、実際に展開してみると、 \(8x^{6}+12x^{5}+42x^{4}+37x^{3}+63x^{2}+27x+27\) になり、確かに一致します!
不成就日について疑問が多いQ&Aを一挙ご紹介! 不成就日は気にしない？大安や一粒万倍日との相性は？. 不成就日は仏滅や赤口よりも凶であると言われる人もいますが、... 吉日と重なったらどうなる? これは人によって大きく意見が割れています。 1つ目は不成就日のほうが凶日としてのパワーが強いので問答無用で、凶日になるという考え方です。 2つ目は 大安 などの吉日とぶつかったらプラスとマイナスが相殺されるので普通の日になるという考え方です。 3つ目は吉日が基本的にパワーはあると考えているので、吉日と重なったら問答無用でプラスになるという考え方です。 この3つともどの程度の暦注を用いて考えているのかで大きく変わってくるのでその面でも取っても厄介なのです。 たとえば 六曜 と不成就日しか知らないという場合は、大安や 友引 と不成就日がぶつかったパターンだけ考えればいいのですが、他にも色んな暦注を知っている場合は色々と大変になってしまいます。 普通の吉日をプラス1と考えるのか、六曜のプラスは2と考えるのかで変わってきますので、判断が難しくなります。 大安 がプラス1、 寅の日 がプラス1、 天恩日 がプラス1、不成就日がマイナス1ならばこれでプラス2となりますが、不成就日が全部を帳消しする存在と考えている人はプラスマイナスゼロとなります。 結局はとらえ方次第なので、プラスになる考え方が理想なのです。 例えば、一粒万倍日で 仏滅 という日があるとします。 仏滅を気にしなければ 一粒万倍日 で吉日と考えることができるようになります。 不成就日に入籍や結婚式はしてもいい? これも判断が難しいです。 不成就日について知っている人は、問答無用で「友引と被ってもさけた方が良い」と記載していますが、この不成就日は結構マイナーなので気にしない方がいいという意見もあるのです。 六曜的に友引や大安で不成就日が重なったとしても気にすることなく入籍や結婚式をあげていいでしょう。 風習として六曜を気にする人は今でもそれなりにいますが、不成就日を意識して行動している人はネット上で情報を色々と集めてみた限りかなり少なく見えましたので、六曜を優先した方が良いです。 逆に、一粒万倍日や天赦日だけど仏滅や 赤口 になっているというケースならば結婚式はやらない方が良いでしょう。 六曜を優先している人も多いので一粒万倍日や 天赦日 という名前を出されても「知らない」と否定される可能性が高いのです。 なので、周りの人達から何かを言われたくないという考え方をしている人は、まず六曜を優先した方が良いです。 逆に入籍といった他の人達に影響がほとんどないようなイベントを行う場合は、六曜の吉日や不成就日が重なっていた場合自分にとって都合の良い考え方で動くと良いでしょう。 結局は誰がどのように受け入れているのかで変わってくるのがこの、暦注や選日となりますので大がかりな冠婚葬祭以外は自分たちを中心に考えて行動すれば良いのです。 引っ越しはしても大丈夫?
不成就日についてたくさんご紹介しましたが、仏滅と同様の凶日であまり気にする人がいないです。 どうしても気になる人は延期など日付をずらせる場合にはずらすようにしましょう。