l上の2点P, Qの中点をMとすると,MRが正三角形PQRの高さとなり,面積が最小となるのは,MRが最小の時である。 vec{OM}=t(0, -1, 1), vec{OR}=(0, 2, 1)+u(-2, 0, -4) とおけて, vec{MR}=(0, 2, 1)-t(0, -1, 1)+u(-2, 0, -4) となる。これが, vec{OA}=(0, -1, 1),vec{BC}=(-2, 0, -4)=2(-1, 0, -2) と垂直の時を考えて, 内積=0 より, -1-2t-4u=0, -2+2t+10u=0 で,, t=-3/2, u=1/2 よって,vec{OM}=(0, 3/2, -3/2), vec{OR}=(-1, 2, -1) となる。 MR^2=1+1/4+1/4, MR=√6/2 から,MP=MQ=(√6/2)(1/√3)=√2/2 O, P, Q の順に並んでいるものとして, vec{OP}=((-3-√2)/2)(0, -1, 1), vec{OQ}=((-3+√2)/2)(0, -1, 1) よって, P(0, (3+√2)/2, (-3-√2)/2), Q(0, (3-√2)/2, (-3+√2)/2), R(-1, 2, -1) 自宅勤務の気分転換にやりましたので,計算ミスは悪しからず。
空間とはいえ、基本的にやっていることは平面上のベクトルと同じです。 「空間だから難しい、、、」と弱気にならず、問題演習を通して空間ベクトルに慣れていきましょう!
本日は、多くの受験生が 苦手意識を持っている(であろう) 空間ベクトルの問題 です 平成30年度山梨大学(医学部) ~問題~ 一見、 難しそう に見えますが、一つ一つの意味を理解すれば、 簡単に解けるようになります まず、A・B・Cの3点が 同じ平面上にあるので、=1の式が求められ、 平面αの法線ベクトル も分かります。 (このとき動点) 原点から引かれたベクトルを、 OHベクトル と置けば、 ベクトルの平行条件 から式が立てられますね (OHベクトルは定点) 代入すると、 原点Oから点Hまでの距離 が、 法線ベクトルαの何倍かが分かります! (点Oと点Dの中点が平面α)から ODの距離が、OHベクトルの2倍です ここまで来たらあとは、代入するだけで、 簡単にDの座標が求められます 三角形OCDの面積 は、 座標を求めるときに使った成分や内積を、 平面ベクトルと同様の面積公式 に代入すれば、 すぐに求めることが出来ます 解答↓↓↓
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