2016/4/15 2019/8/15 高校範囲を超える定理など, 定義・定理・公式など この記事の所要時間: 約 5 分 12 秒 コーシー・シュワルツの不等式とラグランジュの恒等式 以前の記事「 コーシー・シュワルツの不等式 」の続きとして, 前回書かなかった別の証明方法を紹介します. コーシー・シュワルツの不等式 コーシー・シュワルツの不等式は次のような不等式です. ・\((a^2+b^2)(x^2+y^2)\geqq (ax+by)^2\) 等号は\(a:x=b:y\)のときのみ ・\((a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\geqq(ax+by+cz)^2\) 等号は\(a:x=b:y=c:z\)のときのみ ・\((a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)\geqq(a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n)^2\) 等号は\(a_1:x_1=a_2:x_2=\cdots=a_n:x_n\)のときのみ 但し, \(a, b, c, x, y, z, a_1, \cdots, a_n, x_1, \cdots, x_n\)は実数. コーシー=シュワルツの不等式. 利用する例などは 前回の記事 を参照してください. 証明. 1. ラグランジュの恒等式の利用 ラグランジュの恒等式 \[\left(\sum_{k=1}^n a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^n b_k^2\right)=\left(\sum_{k=1}^n a_kb_k \right)^2+\sum_{1\leqq k
このことから, コーシー・シュワルツの不等式が成り立ちます. 2. 帰納法を使う場合 コーシー・シュワルツの不等式は数学的帰納法で示すこともできます. \(n=2\)の場合については上と同じ考え方をして, (a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)-(a_1b_1+a_2b_2)^2 &= (a_1^2b_1^2+a_1^2b_2^2+a_2^2b_1^2+a_2^2b_2^2)\\ & \quad-(a_1^2b_1^2+2a_1a_2b_1b_2+a_2^2b_2^2)\\ &= a_1^2b_2^2-2a_1a_2b_1b_2+a_2^2b_1^2\\ &= (a_1b_2-a_2b_1)^2\\ &\geqq 0 から成り立ちます. 次に, \(n=i(\geqq 2)\)のときに成り立つと仮定すると, \left(\sum_{k=1}^i a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^i b_k^2\right)\geqq\left(\sum_{k=1}^i a_kb_k\right)^2 が成り立ち, 両辺を\(\displaystyle\frac{1}{2}\)乗すると, 次の不等式になります. コーシー＝シュワルツの不等式 - Wikipedia. \left(\sum_{k=1}^i a_k^2\right)^{\frac{1}{2}}\left(\sum_{k=1}^i b_k^2\right)^{\frac{1}{2}}\geqq\sum_{k=1}^i a_kb_k さて, \(n=i+1\)のとき \left(\sum_{k=1}^{i+1}a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^{i+1}b_k^2\right)&= \left\{\left(\sum_{k=1}^i a_k^2\right)+a_{i+1}^2\right\}\left\{\left(\sum_{k=1}^i b_k^2\right)+b_{i+1}^2\right\}\\ &\geqq \left\{\left(\sum_{k=1}^ia_k^2\right)^{\frac{1}{2}}\left(\sum_{k=1}^ib_k^2\right)^{\frac{1}{2}}+a_{i+1}b_{i+1}\right\}^2\\ &\geqq \left\{\left(\sum_{k=1}^i a_kb_k\right)+a_{i+1}b_{i+1}\right\}^2\\ &=\left(\sum_{k=1}^{i+1}a_kb_k\right)^2 となり, 不等式が成り立ちます.
コーシー・シュワルツの不等式 $a,b,x,y$ を実数とすると \begin{align} (ax+by)^2\leqq(a^2+b^2)(x^2+y^2) \end{align} が成り立ち,これを コーシー・シュワルツの不等式(Cauchy-Schwarz's inequality) という. 等号が成立するのは a:b=x:y のときである. 暗記コーシー・シュワルツの不等式の証明-2変数版- 上のコーシー・シュワルツの不等式を証明せよ.また,等号が成立する条件も確認せよ. (右辺) $-$ (左辺)より &(a^2+b^2)(x^2+y^2)-(ax+by)^2\\ &=(a^2x^2+b^2x^2+a^2y^2+b^2y^2)\\ &-(a^2x^2+2abxy+b^2y^2)\\ &=b^2x^2-2(bx)(ay)+a^2y^2\\ &=(bx-ay)^2\geqq0 等号が成立するのは, $(bx − ay)^2 = 0$ ,すなわち $bx − ay = 0$ のときであり,これは のことである. $\blacktriangleleft$ 比例式 暗記コーシー・シュワルツの不等式の証明-3変数版- $a,b,c,x,y,z$ を実数とすると & (ax+by+cz)^2\\ \leqq&(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) が成り立つことを証明せよ. また,等号が成り立つ条件も求めよ. (右辺) $-$ (左辺)より & a^2(y^2+z^2)+b^2(x^2+z^2)\\ &\quad+c^2(x^2+y^2)\\ &\quad-2(abxy+bcyz+acxz)\\ &=a^2y^2-2(ay)(bx)+b^2x^2\\ &\quad+a^2z^2-2(az)(cx)+c^2x^2\\ &\quad+b^2z^2-2(bz)(cy)+c^2y^2\\ &=(ay-bx)^2+(az-cx)^2\\ &\quad+(bz-cy)^2\geqq 0 等号が成立するのは, $(ay-bx)^2=0, ~(az-cx)^2=0, $ $~(bz-cy)^2=0$ すなわち, $ ay-bx=0, ~az-cx=0, $ $~bz-cy=0$ のときであり,これは a:b:c=x:y:z \end{align} のことである. $\blacktriangleleft$ 比例式 一般の場合のコーシー・シュワルツの不等式に関しては,付録 一般の場合のコーシー・シュワルツの不等式 を参照のこと.
/\overrightarrow{n} \) となります。 したがって\( a:b=x:y\) です。 コーシ―シュワルツの不等式は内積の不等式と実質同じです。 2次方程式の判別式による証明 ややテクニカルですが、すばらしい証明方法です。 私は感動しました! \( t\)を実数とすると,次の式が成り立ちます。この式は強引に作ります! (at-x)^2+(bt-y)^2≧0 \cdots ② この式の左辺を展開して,\( t \) について整理すると &(a^2+b^2)t^2-2(ax+by)t\\ & +(x^2+y^2) ≧0 左辺を\( t \) についての2次式と見ると,判別式\( D \) は\( D ≦ 0 \) でなければなりません。 したがって &\frac{D}{4}=\\ &(ax+by)^2-(a^2+b^2)(x^2+y^2)≦0 これより が成り立ちます。すごいですよね! 等号成立は②の左辺が0になるときなので (at-x)^2=(bt-y)^2=0 x=at, \; y=bt つまり,\( a:b=x:y\)で等号が成立します。 この方法は非常にすぐれていて,一般的なコーシー・シュワルツの不等式 {\displaystyle\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)}{\displaystyle\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)}\geq{\displaystyle\left(\sum_{i=1}^n a_ib_i\right)^2} \] の証明にも威力を発揮します。ぜひ一度試してみてほしいと思います。 「数学ってすばらしい」と思える瞬間です!
今回は、 「佐久長聖の野球部の監督」 についてお伝えして行きます。 2015年の甲子園では、様々なスター選手が登場し、その中からドラフト指名された選手も多く居ましたね。 それだけ激戦が繰り広げられたという事で、今年の甲子園も嫌が応にも注目が集まります(^O^) そこで注目されやすいのは、最後まで勝ち進む可能性の有る強豪校ですよね? そこで紹介するのは、長野県勢屈指の強豪校である佐久長聖野球部の監督についてです。 ここの監督は、全国でも有名中の有名な監督なので、既に知っている方は多いかも知れませんね。 スポンサーリンク 佐久長聖の藤原監督の輝かしい実績とは? 佐久長聖野球部に2012年に就任したのが、既に名将として知られている藤原弘介氏です。 佐久長聖は不祥事によって監督が解任し、野球部の命運を藤原氏に託したのだとか。 どうして藤原監督となったのかというと、それは確固たる実績が有ったからです!! 藤原監督は、PL学園時代に監督として春と夏に三度の甲子園出場を果たしました。 そして、2006年の春には、現メジャーリーガーの前田健太選手を擁して、ベスト4という快挙を成し遂げています(;゚Д゚)! 【名曲】佐久長聖 PL応援歌 「ウィニング・ビクトリー」継承 2016夏のブラバン甲子園 高校野球応援歌 - YouTube. つまり、あのマエケンを育てた監督という事ですね! !そして、2008年の夏に監督を辞任し、 2012年にオファーの有った佐久長聖の野球部監督へと就任しています。 これだけの実績を持っている監督が来てくれたら、野球部としても嬉しいですよね(*´∀`*) 前田健太見たいな選手が、もしかしたら誕生するかも知れませんしね!! 佐久長聖野球部で監督が目指す野球とは? 佐久長聖は間違いなく強豪校と言えますが、その強さを更に引き立てて来たのが藤原監督です。 藤原監督が目指したのは、PL学園時代から変わらぬ「考える野球」というものです。 「野球とはただ打って、投げて、走るだけじゃない」との藤原監督の言葉に有る様に、 とにかくワンプレイワンプレイで良く考えて、今の能力をもっと引き出すという事らしいのです( ´ω`)フム 例えば、ヒット性の当たりでも、「自分の能力ならば二塁まで行けるかも知れない」と考えられたら、積極的な走塁技術も生まれていきます。 その逆も有って、「自分の能力ならば、二塁まで狙うのは厳しい」と考えられたら、確実な走塁にも繋がりますしね。 常に練習から考えていく事で、本番でも慌てず動じずポテンシャルが発揮できるという訳なんですね(*´∀`*) あの前田健太が常に堂々としている感じは、まさにその指導が有ってこそなのかも知れません(笑) 感想 佐久長聖の強さの秘密というのは、藤原監督のPL仕込みの指導が合ってこそ何ですね(^O^) 逆にPLが最近は勢いが無いのも、藤原監督が抜けた性な感じが有りますよね(^_^;) こんな記事もよく読まれています!
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長野の強豪として例年強いチームを仕上げてくる佐久長聖ですが、2020春に野球部へ加入したメンバーにも注目です。 攻守に柱となれる選手が集まっているため、これからも長野の優勝争いには食い込んでくるでしょうね…! この記事では、佐久長聖の2020新入生から注目選手をピックアップしてみました。 参考: 高校野球の2020新入生を特集【最新】全国の注目選手を高校別まとめ 佐久長聖の2020新入生メンバーの注目【投手・捕手】 投手の注目選手 佐久長聖の2020新入生から、まずはバッテリーのメンバーを見ていきましょう。 投手で注目したいのが 佐久長聖中学出身の中島優太投手 です。 中学ではエースとしてマウンドに上がっており、2019夏の全国大会出場にも大きく貢献しました。 緩急を上手に使えるピッチングは高校でも投手陣の柱になれると思いますし、主に二番を打つなどバッティングでも期待したいメンバーですね! 捕手の注目選手 続いて捕手のメンバーからは、 生駒ボーイズ出身の寺川裕也選手 です。 三番・キャッチャーで出場するなど中軸を打っていた右の強打者で、中学3年時には主将も務めて全国大会に出場。 どっしりとした体格から強肩を活かしたスローイングも素晴らしく、佐久長聖でも攻守の要となって活躍してくれることに期待ですね! 小学時代は阪神タイガースジュニアのメンバーにも選出されて五番を打ち、早くから大舞台を経験していた選手です。 また 羽曳野ボーイズ出身の南原光治選手 も期待のメンバーです。 中学では三番・キャッチャーでプレーするなど中軸を打っていた左打者で、力強いスイングの持ち主だけに高校でも打力には注目したいところ。 ガッチリした体格で強肩も兼ね備えていますから、いかにしてポジションを勝ち取るかが非常に楽しみですね!