3. 2 漸化式と極限 漸化式において平均値の定理を用いるのは、その漸化式が解けない\(x_{n+1}=f(x_n)\)で与えられていて、その数列\(x_n\)の極限を求める場合です。その場合、取る手順は以下のようになっています。 これが主な手順です。これを用いて以下の問題を解いてみましょう。(出典:東大理類) 東大の問題といえども、定石通り解けてしまいます。 それでは解答です!
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タイプ: 教科書範囲 レベル: ★★★ 平均値の定理と,その証明に必要なロルの定理の証明もします. 高校数学では平均値の定理は,問題を解く道具として扱われることが多いので,関連問題も扱います. テイラーの定理までの大まかな流れ 大学の微分においては,テイラーの定理(テイラー展開)が重要で,高校数学でもその導入として平均値の定理を扱うことになっています. 参考までに,テイラーの定理までの証明の流れを書きました. ポイント 最大値・最小値の定理は一見自明なように思えますが、証明が難しく,これさえ一旦認めればそれ以降はそこまで高難度ではないので高校生でも理解できます. このページでは,平均値の定理と,その証明に必要なロルの定理を以下で扱っていきます. ロルの定理とその証明 ロルの定理 閉区間 $[a, b]$ で連続でかつ開区間 $(a, b)$ で微分可能である関数 $f(x)$ に対して,等式 $f(a)=f(b)=0$ が成り立つならば $f'(c)=0$, $a< c< b$ を満たす実数 $c$ が存在する. $x$ 軸と平行になる微分係数をもつ(微分係数が $0$ になる) $c$ を 少なくとも1つ(上の図の場合は2つ)もつ という定理です. 数学 平均値の定理を使った近似値. $c$ の具体的な値までは教えてくれません. 証明 (ⅰ)区間 $[a, b]$ で常に $f(x)=0$ のとき $a< x< b$ を満たすすべての実数 $x$ に対して $f'(x)=0$ である.したがって,$a< x< b$ を満たす任意の実数 $c$ が条件を満たす. (ⅱ)区間 $(a, b)$ に $f(x_{0})>0$ $(a< x_{0}< b)$ を満たす実数 $x_{0}$ があるとき 関数 $f(x)$ は閉区間 $[a, b]$ で連続であるから, 最大値・最小値の定理 より,$f(x)$ が最大値をとる $c$ が $[a, b]$ 上に存在する.このとき $f(c) \geqq f(x)$,$a \leqq x \leqq b$ が成り立つ. さらに $f(x_{0})>0$ となる $x_{0}$ が $(a, b)$ 上に存在するので,$f(c) > 0$ である.$f(a)=f(b)=0$ であるから $c \neq a, b$ である.したがって $c$ は $(a, b)$ 上に存在する.この $c$ が $f'(c)=0$ を満たすことを示す.
以下では平均値の定理を使って解く問題を扱います. 例題と練習問題 例題 $ 0 < a < b $ のとき $\displaystyle a\left(\log b-\log a\right)+a-b < 0$ を示せ. 講義 2変数の不等式の証明問題 に平均値の定理が有効なことがあります(例題のみリンク先と共通です). $\boldsymbol{f(a)-f(b)}$ の形が見えたら平均値の定理 による解法が楽で有効な手立てとなることが多いです. 解答 $f(x)=\log x$ とおくと,平均値の定理より $\displaystyle \begin{cases}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=\dfrac{1}{c} \\ a < c < b \end{cases}$ を満たす実数 $c$ が存在.これより $\dfrac{\log b-\log a}{b-a}=\dfrac{1}{c}< \dfrac{1}{a}$ $a(b-a)$ 倍すると $\displaystyle a(\log b-\log a) < b-a$ $\displaystyle \therefore \ a(\log b-\log a)+a-b < 0$ 練習問題 練習1 $e\leqq a< b$ のとき $b(\log_{}b)^{2}-a(\log_{}a)^{2}\geqq 3(b-a)$ 練習2 (微分既習者向け) 関数 $f(x)$ を $f(x)=\dfrac{1}{2}x\left\{1+e^{-2(x-1)}\right\}$ とする.ただし,$e$ は自然対数の底である. (1) $x>\dfrac{1}{2}$ ならば $0\leqq f'(x)<\dfrac{1}{2}$ であることを示せ. (2) $x_{0}$ を正の数とするとき,数列 $\{x_{n}\}$ $(n=0, 1, \cdots)$ を $x_{n+1}=f(x_{n})$ によって定める.$x_{0}>\dfrac{1}{2}$ であれば $\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_{n}=1$ であることを示せ. 【平均値の定理】結局いつ・どう使うの？使うコツとタイミングを徹底解説 - 青春マスマティック. 練習の解答
チョコレート(カカオ70%以上) カロリー数:180kcal(30gあたり) チョコレートといえば、甘くて食べると太りやすいイメージのおやつではないでしょうか? ダイエット中の空腹は９つのおやつで乗り切る！ | キレイのネタが100個ある新・美容ブログ. しかし、カカオ70%以上のチョコレートであれば、ダイエット活動の頼もしい味方となってくれます。 カカオには体の血行をよくして代謝力を上げてくれる ポリフェノール が多く含まれているのです。 また、カカオの苦味によって食欲をおさえて食べ過ぎを防ぐこともできます。 ただ、カカオが多いチョコレートといえどカロリーは高いので、1日に口にする量は多くても板チョコの1/3ほどにしておきましょう。 18. スムージー カロリー数:37kcal(100gあたり) 野菜と果物をまぜてつくった栄養満点のスムージー。 スムージーは低カロリーかつ腹持ちに優れた飲み物のため、置き換えダイエットとしても人気があります。 そして、スムージーの最大の注目ポイントは痩せ体質にしてくれる 酵素 が含まれていることです。 身体の脂肪をためることなく燃焼させていくために、酵素はなくてはならないものです。 ダイエットだけでなく、美容や健康のためにも優秀なスムージーをおやつとして飲んでみるのはいかがでしょうか。 19. バナナ カロリー数:86kcal(100gあたり) バナナダイエットという方法が流行ったことがあるぐらい、バナナは痩せたいときにピッタリの果物です。 バナナには食物繊維が多く含まれるため腹持ちがよく、脂肪燃焼を助けるビタミンBやカリウムも含まれています。 カロリーも低めで、1本食べるぐらいなら100kcalにもなりません。 糖質が高めなバナナですが、バナナの糖分は血糖値が上がりにくい果糖が主なので、血糖値の上昇をそれほど気にしなくてもいいのもうれしいところです。 20. キウイ カロリー数:53kcal(100gあたり) キウイはカロリーの低さや腹持ちのよさに優れた果物です。 栄養価も高く、食物繊維やカリウムが多く含まれています。 特に、キウイはビタミンCを多く含むため、ダイエットだけでなく美容のためにも効果的なのもうれしいポイントです。 21.
わらび餅をカロリーオフする食べ方は手作りが一番 「カロリーや糖質量をなんとかしてわらび餅を食べたい!」という方におすすめのカロリーオフする食べ方は、何と言っても手作りが一番。作ってほしいのは疑似わらび餅だ。糖質の塊であるわらび餅粉をサイリウムに置き換えて作るのである。サイリウムとはインドオオバコの種皮を粉末にしたもので、その主成分は炭水化物でなく、水溶性の食物繊維。カロリーは100g換算でもわずか5. 9kcalしかない。水を含むとゲル状になって、わらび餅粉の代用品となるため、カロリーオフするのに最適だ。 また、海藻とマメ科の種子を原材料としたゲル化剤であるアガーも、疑似わらび餅を作るのに役立つ。近年流行している水ゼリーを作り、きなこをまぶして食すとよい。よりカロリーオフするためには、砂糖を糖質ゼロの甘味料に置き換えよう。 そのほか、どうしても市販のわらび餅を食べたくなったときには、付属の黒蜜をかけないという食べ方がよいだろう。黒蜜はわずか5gでも10kcal(糖質2. 5g)もあるので、気をつけてほしい。 おすすめ商品 市販のわらび餅には約170~200kcalものカロリーがあることから、ダイエット中のお菓子として選択するのはよいとは言えない。見た目や食感から、ゼリーなどと同じように考えないように気をつけよう。ただし、わらび餅でも手作りするのなら話は別。食材を置き換えるなどして手軽に低カロリーなわらび餅を作ってみよう。 この記事もCheck! 公開日: 2019年4月16日 更新日: 2020年8月 3日 この記事をシェアする ランキング ランキング
干し芋ダイエットを効果的に行うなら間食をしたい時が最適ですが、気になるカロリーは?ダイエット中は食物繊維不足ももなりますので干し芋を食べることで便秘対策にもなります。 干し芋をダイエット にうまく活用するにはどうしても間食したい時におすすめです。甘いものを少し食べたい時にお菓子などを食べてしまうと、またすぐに食べたくなりますが、干し芋だとしっかり噛む必要もあり、腹持ちも良いので、ダイエット中の間食におすすめです。 干し芋ダイエットとは? 今回、ご紹介するダイエットは一般的なダイエット方法とは異なる上に、あまりにも簡単すぎるので驚かれる方も多いかもしれません。 そのダイエット方法は、干し芋ダイエットというものです。 え、干し芋でダイエット?と思われますよね。干し芋は美味しくてやみつきになる人も多い食べ物です。 ご存じのとおり、干し芋とは、さつまいもを乾燥させたものです。 栄養豊富で食物繊維もたっぷりと含まれたこの干し芋を、小腹が空いたときやおやつ、間食として取り入れるのが干し芋ダイエットなのです。 あまりに簡単すぎてダイエットという感じがしませんよね。スーパーでも簡単に手に入る干し芋を使ったダイエット方法を、これからご紹介していきます。 さつまいもダイエットの効果と方法 干し芋ダイエットの効果とは?