補足 特性方程式を解く過程は,試験の解答に記述する必要はありません。 「\( a_{n+1} = 3a_n – 4 \) を変形すると \( \color{red}{ a_{n+1} – 2 = 3 (a_n – 2)} \)」と書いてしまってOKです。 3.
三項間漸化式: a n + 2 = p a n + 1 + q a n a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n の3通りの解法と,それぞれのメリットデメリットを解説します。 特性方程式を用いた解法 答えを気合いで予想する 行列の n n 乗を求める方法 例題として, a 1 = 1, a 2 = 1, a n + 2 = 5 a n + 1 − 6 a n a_1=1, a_2=1, a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_n を解きます。 特性方程式の解が重解になる場合は最後に補足します。 目次 1:特性方程式を用いた解法 2:答えを気合いで予想する 行列の n n 乗を用いる方法 補足:特性方程式が重解を持つ場合
この記事では、「漸化式」とは何かをわかりやすく解説していきます。 基本型(等差型・等比型・階差型)の解き方や特性方程式による変形など、豊富な例題で一般項の求め方を説明しますので、ぜひこの記事を通してマスターしてくださいね! 漸化式とは?
6 【\( a_n \)の係数にnがある場合①】\( a_{n+1} = f(n) a_n+q \)型 今回の問題では,左辺の\( a_{n+1} \) の係数が \( n \) で,右辺の \( a_n \) の係数が \( (n+1) \) でちぐはぐになっています。 そこで,両辺を \( n(n+1) \) で割るとうまく変形ができます。 \( n a_{n+1} = 2(n+1)a_n \) の両辺を \( n(n+1) \) で割ると \( \displaystyle \frac{a_{n+1}}{n+1} = 2 \cdot \frac{a_n}{n} \) \( \displaystyle \color{red}{ \frac{a_n}{n} = b_n} \) とおくと \( b_{n+1} = 2 b_n \) \displaystyle b_n & = b_1 \cdot 2^{n-1} = \frac{a_1}{1} \cdot 2^{n-1} \\ & = 2^{n-1} \( \displaystyle \frac{a_n}{n} = 2^{n-1} \) ∴ \( \color{red}{ a_n = n \cdot 2^{n-1} \cdots 【答】} \) 3.
今回は、等差数列・等比数列・階差数列型のどのパターンにも当てはまらない漸化式の解き方を見ていきます。 特殊解型 まず、おさえておきたいのが \(a_{n+1}=pa_n+q\) \((p≠1, q≠0)\) の形の漸化式。 等差数列 ・ 等比数列 ・ 階差数列型 のどのパターンにも当てはまらないので、コツを知らないと苦戦する漸化式です。 Tooda Yuuto この漸化式を解くコツは「 \(a_n\) から引くことで等比数列 \(b_n\) に変形できる数 \(x\) 」を見つけることにあります。 たとえば、\(a_1=2\), \(a_{n+1}=3a_n-2\) という漸化式の場合。 数列にすると \(2, 4, 10, 28\cdots\) という並びになり、一般項を求めるのは難しそうですよね。 しかし、この数列の各項から \(1\) を引くとどうでしょう? \(1, 3, 9, 27, \cdots\) で、初項 \(1\), 公比 \(3\) の等比数列になっていることが分かりますよね。 等比数列にさえなってしまえばこちらのもの。 等比数列の一般項の公式 に当てはめることで、ラクに一般項を求めることができます。 一般項が \(a_n=3^{n-1}+1\) と求まりましたね。 さて、 「 \(a_n\) から引くことで等比数列 \(b_n\) に変形できる数 \(x\) 」さえ見つかれば、簡単に一般項を求められることは分かりました。 では、その \(x\) はどうすれば見つかるのでしょうか?
例題 次の漸化式で表される数列 の一般項 を求めよ。 (1) , (2) ① の解き方 ( : の式であることを表す 。) ⇒ は の階差数列であることを利用します。 ② を解くときは次の公式を使いましょう。 ③ を用意し引き算をします。 例 の階差数列を とすると 、 ・・・・・・① で のとき よって①は のときも成立する。 ・・・・・・② ・・・・・・③ を計算すると ・・・・・・④ ②から となりこれを④に代入すると、 数列 は、初項 公比 4 の等比数列となるので 志望校合格に役立つ全機能が月額2, 178円(税込)!! 志望校合格に役立つ全機能が月額2, 178円(税込)! !
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