ホーム 数 B 数列 2021年2月19日 数列に関するさまざまな記事をまとめていきます。 気になる公式や問題があれば、ぜひ詳細記事を参考にしてくださいね! 数列とは? 数列とは、数の並びのことです。 多くの場合、ある 規則性 をもった数の並びを扱います。 初項・末項・一般項 数列のはじめの数を初項、最後の項を末項といいます。 また、規則性をもつ数列であれば、一般化した式で任意の項(第 \(n\) 項)を表現でき、これを「一般項」と呼びます。 (例) \(2, 5, 8, 11, 14, 17, 20\) 規則性:\(3\) ずつ増えていく 初項:\(2\) 末項:\(20\) 一般項:\(3n − 1\) 数列の基本 3 パターン 代表的な規則性をもつ次の \(3\) つの数列は必ず押さえておきましょう。 等差数列 隣り合う項の差が等しい数列です。 等差数列とは?和の公式や一般項の覚え方、計算問題 等比数列 隣り合う項の比が等しい数列です。 等比数列とは?一般項や等比数列の和の公式、シグマの計算問題 階差数列 隣り合う項の差を並べた新たな数列を「階差数列」といいます。 一見規則性のない数列でも、階差数列を調べると規則性が見えてくる場合があります。 階差数列とは?和の公式や一般項の求め方、漸化式の解き方 数列の和(シグマ計算) 数列の和を求めるときは、数の総和を求めるシグマ \(\sum\) の記号をよく使います。 よく出る和の計算には、シグマ \(\sum\) を用いた公式があるので一通り理解しておきましょう! 【受験数学】漸化式一覧の解法｜Mathlize. シグマ Σ とは?記号の意味や和の公式、証明や計算問題 その他の数列 その他、応用問題として出てくる数列や、知っておくべき数列を紹介します。 群数列 ある数列を一定のルールで群に区切ってできる新たな数列のことを「群数列」といいます。 群数列とは?問題の解き方やコツ(分数の場合など) フィボナッチ数列 前の \(2\) 項を足して次の項を得る数列を「フィボナッチ数列」といい、興味深い性質をもつことから非常に有名です。 フィボナッチ数列とは?数列一覧や一般項、黄金比の例 漸化式とは? 漸化式とは、数列の規則性を隣り合う項同士の関係で示した式です。 漸化式とは?基本型の解き方と特性方程式などによる変形方法 漸化式の解法 以下の記事では、全パターンの漸化式の解法をまとめています。 漸化式全パターンの解き方まとめ!難しい問題を攻略しよう 漸化式の応用 漸化式を利用したさまざまな応用問題があります。 和 \(S_n\) を含む漸化式 漸化式に、一般項 \(a_n\) だけではなく和 \(S_n\) を含むタイプの問題です。 和 Sn を含む漸化式!一般項の求め方をわかりやすく解説!
1 式に番号をつける まずは関係式に番号をつけておきましょう。 \(S_n = −2a_n − 2n + 5\) …① とする。 STEP. 2 初項を求める また、初項 \(a_1\) はすぐにわかるので、忘れる前に求めておきます。 ①において、\(n = 1\) のとき \(\begin{align} S_1 &= −2a_1 − 2 \cdot 1 + 5 \\ &= −2a_1 + 3 \end{align}\) \(S_1 = a_1\) より、 \(a_1 = −2a_1 + 3\) よって \(3a_1 = 3\) すなわち \(a_1 = 1\) STEP. 漸化式 階差数列 解き方. 3 項数をずらした式との差を得る さて、ここからが考えどころです。 Tips 解き始める前に、 式変形の方針 を確認します。 基本的に、①の式から 漸化式(特に \(a_{n+1}\) と \(a_n\) の式)を得ること を目指します。 \(a_{n+1} = S_{n+1} − S_n\) なので、\(S_{n+1}\) の式があれば漸化式にできそうですね。 ①の式の添え字部分を \(1\) つ上にずらせば(\(n \to n + 1\))、\(S_{n+1}\) の式ができます。 方針が定まったら、式変形を始めましょう。 ①の添え字を上に \(1\) つずらした式(②)から①式を引いて、左辺に \(S_{n+1} − S_n\) を得ます。 ①より \(S_{n+1} = −2a_{n+1} − 2(n + 1) + 5\) …② ② − ① より \(\begin{array}{rr}&S_{n+1} = −2a_{n+1} − 2(n + 1) + 5\\−) &S_n = −2a_n −2n + 5 \\ \hline &S_{n+1} − S_n = −2(a_{n+1} − a_n) − 2 \end{array}\) STEP. 4 Snを消去し、漸化式を得る \(\color{red}{a_{n+1} = S_{n+1} − S_n}\) を利用して、和 \(S_{n+1}\), \(S_n\) を消去します。 \(S_{n+1} − S_n = a_{n+1}\) より、 \(a_{n+1} = −2(a_{n+1} − a_n) − 2\) 整理して \(3a_{n+1} = 2a_n − 2\) \(\displaystyle a_{n+1} = \frac{2}{3} a_n − \frac{2}{3}\) …③ これで、数列 \(\{a_n\}\) の漸化式に変形できましたね。 STEP.
タイプ: 難関大対策 レベル: ★★★★ 難易度がやや高く,教えるのも難しいタイプです. $f(n)$ を取り急ぎ階比数列と当サイトでは呼ぶことにします. 例題と解法まとめ 例題 2・8型(階比型) $a_{n+1}=f(n)a_{n}$ 数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ. $a_{1}=2$,$a_{n+1}=\dfrac{n+2}{n}a_{n}$ 講義 解法ですがなんとか, $\boldsymbol{n}$ のナンバリングの対応が揃うように変形します(ここが慣れが必要で難しい). 今回は両辺 $(n+1)(n+2)$ で割ると $\dfrac{a_{n+1}}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{a_{n}}{n(n+1)}$ となり,右辺の $n$ のナンバリングを1つ上げたものが左辺になります. 上で $b_{n}=\dfrac{a_{n}}{n(n+1)}$ とおくと $b_{n+1}=b_{n}$ となるので,$b_{n}$,$a_{n}$ の順に一般項を出せます. 【数値解析入門】C言語で漸化式で解く - Qiita. 解答 両辺 $(n+1)(n+2)$ で割ると ここで $b_{n}=\dfrac{a_{n}}{n(n+1)}$ とおくと $b_{n+1}=b_{n}=b_{n-1}=\cdots=b_{1}=\dfrac{a_{1}}{1\cdot2}=1$ となるので $a_{n}=n(n+1)b_{n}$ $\therefore \ \boldsymbol{a_{n}=n(n+1)}$ 解法まとめ $a_{n+1}=f(n)a_{n}$ の解法まとめ ① なんとか $\boldsymbol{n}$ のナンバリングの対応が揃うように変形します $g(n+1)a_{n+1}=p \cdot g(n)a_{n}$ ↓ ② $b_{n}=g(n)a_{n}$ とおいて,$\{b_{n}\}$ の一般項を出す. ③ $\{a_{n}\}$ の一般項を出す. 練習問題 練習 (1) $a_{1}=2$,$na_{n+1}=\dfrac{1}{3}(n+1)a_{n}$ (2) $a_{1}=\dfrac{7}{2}$,$(n+2)a_{n+1}=7na_{n}$ (3) $a_{1}=1$,$a_{n}=\left(1-\dfrac{1}{n^{2}}\right)a_{n-1}$ $(n\geqq 2)$ 練習の解答
再帰(さいき)は、あるものについて記述する際に、記述しているものそれ自身への参照が、その記述中にあらわれることをいう。 引用: Wikipedia 再帰関数 実際に再帰関数化したものは次のようになる. tousa/recursive. c /* プロトタイプ宣言 */ int an ( int n); printf ( "a[%d] =%d \n ", n, an ( n)); /* 漸化式(再帰関数) */ int an ( int n) if ( n == 1) return 1; else return ( an ( n - 1) + 4);} これも結果は先ほどの実行結果と同じようになる. 引数に n を受け取り, 戻り値に$an(n-1) + 4$を返す. これぞ漸化式と言わんばかりの形をしている. 私はこの書き方の方がしっくりくるが人それぞれかもしれない. 等比数列 次のような等比数列の$a_{10}$を求めよ. \{a_n\}: 1, 3, 9, 27, \cdots これも, 普通に書くと touhi/iterative. c #define N 10 an = 1; an = an * 3;} 実行結果は a[7] = 729 a[8] = 2187 a[9] = 6561 a[10] = 19683 となり, これもあっている. 再帰関数で表現すると, touhi/recursive. c return ( an ( n - 1) * 3);} 階差数列 次のような階差数列の$a_{10}$を求めよ. \{a_n\}: 6, 11, 18, 27, 38\cdots 階差数列の定義にしたがって階差数列$(=b_n)$を考えると, より, \{b_n\}: 5, 7, 9, 11\cdots となるので, これで計算してみる. ちなみに一般項は a_n = n^2 + 2n + 3 である. kaisa/iterative. Senior High数学的【テ対】漸化式 ８つの型まとめ 筆記 - Clear. c int an, bn; an = 6; bn = 5; an = an + bn; bn = bn + 2;} a[7] = 66 a[8] = 83 a[9] = 102 a[10] = 123 となり, 一般項の値と一致する. 再帰で表現してみる. kaisa/recursive. c int bn ( int b); return 6; return ( an ( n - 1) + bn ( n - 1));} int bn ( int n) return 5; return ( bn ( n - 1) + 2);} これは再帰関数の中で再帰関数を呼び出しているので, 沢山計算させていることになるが, これくらいはパソコンはなんなくやってくれるのが文明の利器といったところだろうか.
これは等比数列の特殊な場合と捉えるのが妥当かもしれない. とにかく先に進もう. ここで等比数列の一般項は
初項 $a_1$, 公比 $r$ の等比数列 $a_{n}$ の一般項は
a_{n}=a_1 r^{n-1}
である. これも自分で 証明 を確認されたい. 階差数列の定義は, 数列$\{a_n\}$に対して隣り合う2つの項の差
b_n = a_{n+1} - a_n
を項とする数列$\{b_n\}$を数列$\{a_n\}$の階差数列と定義する. 階差数列の漸化式は, $f(n)$を階差数列の一般項として, 次のような形で表される. a_{n + 1} = a_n + f(n)
そして階差数列の 一般項 は
a_n =
\begin{cases}
a_1 &(n=1) \newline
a_1 + \displaystyle \sum^{n-1}_{k=1} b_k &(n\geqq2)
\end{cases}
となる. これも 証明 を確認しよう. ここまで基本的な漸化式を紹介してきたが, これらをあえて数値解析で扱いたいと思う. 基本的な漸化式の数値解析
等差数列
次のような等差数列の$a_{100}$を求めよ. \{a_n\}: 1, 5, 9, 13, \cdots
ここではあえて一般項を用いず, ひたすら漸化式で第100項まで計算することにします. tousa/iterative. c
#include
今回はC言語で漸化式と解く. この記事に掲載してあるソースコードは私の GitHub からダウンロードできます. 必要に応じて活用してください. Wikipediaに漸化式について次のように書かれている. 数学における漸化式(ぜんかしき、英: recurrence relation; 再帰関係式)は、各項がそれ以前の項の関数として定まるという意味で数列を再帰的に定める等式である。 引用: Wikipedia 漸化式 数学の学問的な範囲でいうならば, 高校数学Bの「数列」の範囲で扱うことになるので, 知っている人も多いかと思う. 漸化式の2つの顔 漸化式は引用にも示したような, 再帰的な方程式を用いて一意的に定義することができる. しかし, 特別な漸化式において「 一般項 」というものが存在する. ただし, 全ての漸化式においてこの一般項を定義したり求めることができるというわけではない. 基本的な漸化式 以下, $n \in \mathbb{N}$とする. 一般項が簡単にもとまるという点で, 高校数学でも扱う基本的な漸化式は次の3パターンが存在する 等差数列の漸化式 等比数列の漸化式 階差数列の漸化式 それぞれの漸化式について順に書きたいと思います. 等差数列の漸化式は以下のような形をしています. $$a_{n+1}-a_{n}=d \;\;\;(d\, は定数)$$ これは等差数列の漸化式でありながら, 等差数列の定義でもある. この数列の一般項は次ののようになる. 初項 $a_1$, 公差 $d$ の等差数列 $a_{n}$ の一般項は $$ a_{n}=a_1+(n-1) d もし余裕があれば, 証明 を自分で確認して欲しい. 漸化式 階差数列型. 等比数列の漸化式は a_{n+1} = ra_n \;\;\;(r\, は定数) 等差数列同様, これが等比数列の定義式でもある. 一般に$r \neq 0, 1$を除く. もちろん, それらの場合でも等比数列といってもいいかもしれないが, 初項を$a_1$に対して, 漸化式から $r = 0$の場合, a_1, 0, 0, \cdots のように第2項以降が0になってしまうため, わざわざ, 等比数列であると認識しなくてもよいかもしれない. $r = 1$の場合, a_1, a_1, a_1, \cdots なので, 定数列 となる.
→櫻井翔の彼女は北川景子?目撃情報やフライデー画像の真相! 櫻井翔の彼女は綾瀬はるか? 二人の熱愛が噂にあがったのは2013年頃。紅白歌合戦の司会を務めたことで急接近したとされています。 二人交際についてスクープされないまま月日は流れ、そんな中、綾瀬はるかさんと松坂桃李さんの熱愛が2015年に報じられます。 このため櫻井翔さんと綾瀬はるかさんの熱愛の噂は収束しますが、2016年3月に綾瀬はるかさんと松坂桃李さんの破局報道が流れ噂が再燃してしまいます。 二人は本当に交際をしていたのでしょうか?真相はコチラです。 →櫻井翔の彼女は綾瀬はるか?二人のなれ初めや結婚の可能性は? 櫻井翔の彼女は一般人女性? 櫻井翔さんの彼女は一般人女性だとする噂も後を絶えません。 お相手の名前は「よし美」「みれい」「吉岡えりな」などの名前が次々に上がっていて、職業が「フェラーリの店員」といった情報や奥菜恵似といった情報も上がってきています。 かなり情報が錯綜しているので整理して順番に検証した結果はコチラです! →櫻井翔の彼女よしみの正体が判明!他の一般人女性との熱愛も? 櫻井翔の現在の彼女は小川彩佳?スキャンダル画像で確定! 現在、櫻井翔さんと一番結婚に近いと言われているのが、テレビ朝日のアナウンサー小川彩佳さんです。 二人の交際は2017年2月25日の「NEWポストセブン」で報じられ、各種スポーツ新聞にも一面で大きく報じられました。 週刊誌には小川彩佳さんをテレビ局に送る櫻井翔さんの姿や、小川彩佳さんのマンションのベランダでタバコを吸っている櫻井翔さんの姿が写真付きで報じられています。 通常、この手の熱愛報道に対してジャニーズ事務所がコメントを出すことはありませんが、今回は 親しい友達です という異例のコメントが出されています! 「#井上真央」のTwitter検索結果 - Yahoo!リアルタイム検索. さらに小川彩佳さんがテレビ朝日に対して真剣交際であることを伝えているという情報も上がってきています。 ❝小川彩佳さんがテレビ朝日側に「櫻井さんと真剣にお付き合いさせていただいています」と報告している❞ 引用元:【櫻井翔と報ステ小川彩佳アナの熱愛発覚、ほかのジャニタレの場合と異なるファンの反応(週刊女性PLIME)】 ここまで来ると、もう結婚はカウントダウンなのではないでしょうか。 近い内に何か大きなニュースが飛び込んできそうな予感ですね! →櫻井翔の彼女は小川彩佳アナ!二人のなれ初めや結婚の可能性は?
→相葉雅紀と彼女の水川あさみの復縁は番宣?二人に意外な共通点が! 相葉雅紀の現在の彼女は元ホステスの一般女性? 現在、相葉雅紀さんの彼女が元ホステスの一般人女性であるとする噂が上がってきています。 週刊誌などで報じられたことが無い情報ですが、ネットニュースではこのように報じられています。 ❝「現在のお相手は一般人女性ではないかと噂されています。 しかし相手が一般人女性となると、単なる火遊びでは済まされない場合も❞ 引用元:【相葉雅紀 過去に水川あさみらとの報道出るも今のお相手は一般人女性? (livedoorNEWS)】 元ホステスの一般人女性とは一体誰なのか?詳細はコチラです。 →相葉雅紀の彼女は元ホステスの一般人?結婚の可能性アリ? 更に詳しい相葉雅紀さんの熱愛情報はこちら! 後半に続きます! 松本潤の彼女は現在誰?歴代元カノも総まとめ! 株式会社シネバザール・キャスティング分室. 松本潤さんには誰もが知る彼女がいますが、それ以外にも大物女優との交際が多数噂にあがっています。 しかし、なかなか長くは続かなないケースが多いようですね。そんな松本潤さんの恋愛遍歴をご紹介していきます。 松本潤の彼女は仲間由紀恵? 松本潤さんに初めて出た本格的な熱愛説の相手が仲間由紀恵さん。 松本潤さんと仲間由紀恵さんは2002年4月のドラマ「ごくせん」で共演しています。 二人の仲はとても良かったようで、撮影終わりにスタッフの車で一緒に帰ったり、仲間由紀恵さんの、自宅マンション前で目撃されたりしていました。 また、当時松本潤さんはこのような報道もされています。 ❝「キレイなお姉さんが好き。共演者に惚れっぽいという傾向もある」という松本潤さんに対してジャニーズ事務所の次期後継者の藤島ジュリー景子さんから「バレないように」と釘を刺されていた❞ 引用元:【(週刊女性PRIME)】 一部では売り出し中だった嵐の松本潤さんと視聴率の女王と言われた仲間由紀恵さんとの、カップリングを番宣に使っただけでという噂も上がっています。 熱愛番宣の効果があったのか、ドラマ「ごくせん」は長期に渡ってシリーズ化され、映画化もされるヒット作となりました。 しかし、二人の熱愛については他にも交際を伺わせるような情報があがってきているんですよね…。 →松本潤の彼女は仲間由紀恵?2013年に熱愛がフライデーされた? 松本潤の彼女は鈴木えみ? 松本潤さんは2007年頃に鈴木えみさんとの交際が噂になりました。 鈴木えみさんはファッションモデルとして活躍し、現在は投資家として活動をしているとのこと。 二人の熱愛を報じたのはスポーツ新聞「ナイスポ」から。「ナイスポ」はその信憑性の低さが有名で現在倒産しています。 報じられた二人の熱愛。果たして真相は?
現在、テレビドラマ、映画、CMなど、様々なジャンルで活躍されている綾瀬はるかさん。 2013年には、紅白歌合戦の司会もされました。 ところが、その綾瀬はるかさんの本名は、韓国名、だと言われているそうです。 そのため、在日韓国人、なのだそうです。 本当なのでしょうか? では、本名が分かってしまう、気になる卒アル写真はどうなのでしょうか?
髪の毛のびたなぁ~。 はい。楽しみに待ちます( ´艸`)
→松本潤の彼女は鈴木えみ?なれ初めやデート現場スクープの真相! 松本潤の彼女は柴崎コウ?スキャンダル画像で確定! 2010年4月のドラマ「わが家の歴史」で共演した松本潤さんと、柴崎コウさんですが、松本潤さんの方からアプローチをかけ交際に発展したとされています。 深夜11時頃、芸能人が密会デートやお忍びで使用する、都内のダイニングバーのVIPルームで松本潤さんと柴咲コウさんを目撃したと「女性セブン」が報じています。 ❝明け方まで楽しんだ二人は別々のタクシーに乗り込み松本潤さん宅のマンションへ消えていった❞ 引用元:【女性セブン(2017年5月27日号)】 しかし、「女性セブン」のスクープによって事務所から圧力が入り二人の関係は終ることになったとされていますが、果たして真相は? →松本潤の彼女は柴咲コウ?ドラマ共演後にデート画像が流出! 松本潤の現在の彼女は井上真央?スキャンダル画像で確定! ❝松本潤さんの彼女と言えば❞というぐらいに有名な彼女は井上真央さんですよね。 二人は2005年10月のドラマ「花より男子」での共演がきっかけで交際に発展。これまで焼肉屋の個室での密会などがスクープされ、現在に至るまで関係は順調とされていました。 しかし、松本潤さんの❝セクシー女優❞との浮気が週刊文春にスクープされたことで破局したと噂に! スクープされたお相手の女性はこんな人でした。 →松本潤の二股相手は葵つかさ!井上真央とは破局している? 浮気報道に対して世間では 松本潤さん二股?私は二人を信じる 井上真央ちゃんしか認めない 松本潤さん本人から何かあるまで待ちます! 井上真央さんかわいそう など、10年以上の関係は浮気程度では壊れないと交際継続を望む声が多数上がっています。 また、井上真央さんが事務所を移籍したことで既に破局しているとの情報もありますが、持ち物などから破局はしていないとする情報も。 詳細はコチラです! 綾瀬はるかの本名は韓国名だった!?在日韓国人疑惑とは?卒アル写真は? | トクタス. →松本潤が井上真央と破局した理由は事務所移籍? 更に詳しい松本潤さんの熱愛情報はこちら! 二宮和也の彼女は現在誰?歴代元カノも総まとめ! ゲームが好きで、インドア派な二宮和也さん。親しまれやすい性格で、嵐の中でも❝愛されキャラ❞な存在ですが、こと恋愛においては度々事務所を巻き込むような事があったようです…。 二宮和也の彼女は後藤真希?スキャンダル画像で確定! 二人の熱愛が噂されたのは2000年。週刊誌に二人のデート画像がスクープされたことで発覚します。 交際は1999年とされていますが、この年といえば、後藤真希さんがモーニング娘。に入ったときでもあります。 実は後藤真希さんは大のジャニーズファン。モーニング娘。に入ったのもジャニーズタレントと少しでも近づきたいと思ったのが動機だとされています。 二人は本当に交際をしていたのでしょうか?更に詳しい情報はこちらです。 →二宮和也の彼女は後藤真希?ツーショット画像や破局理由に衝撃!
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もうすぐシルバーウィーク。 暦通りにお休みの私は明日1日頑張ると5連休。 娘達の期末テストも明日まで。 待ち遠しい連休です。 すでに頭の中がお休みモード。 「焦らない。焦らない。一休み。一休み」と懐かしいアニメの一休さんが頭の中で囁いてます。 そんな(どんな? )訳で、夕方、民主党の鳩山政権発足のニュースや、酒井法子さんの保釈のニュースを見ていたはずですが、気が付けば1時間半ほど爆睡。 レム睡眠とノンレム睡眠の1サイクルをしっかり補給しました。 おかげで、今日の嵐ちゃんはばっちり! VIP Roomのゲストは井上真央ちゃん。 嵐5人の印象は 相葉ちゃん:意外と男らしい 大野くん:お兄ちゃんにしたい ニノ:オジサンぽい 翔くん:計算高い 潤くん:道明寺 相葉ちゃんは、猛獣に果敢に挑んでいくところがかっこいい 大野くんは、いろんな才能があって自慢できるお兄ちゃん。 「お兄ちゃんって言われたことないよね」で自分で「おじいちゃん」と答えてました。 確かに、ちょっと老成したおじいちゃんぽいところがあるような…。 妙な落ち着きがそう感じさせる、とか(笑) ニノの「オジサンぽい」理由が「見た目、若さがない」でした。嵐くん達に「そんなことないでしょ」と突っ込まれても、平気な(聞いてない? )真央ちゃん。 面白かったです。 でも、初対面で「大きくなったなぁ」って言ったニノ、本当に親戚のおじさんのようですね。 私も『キッズ・ウォー』の茜ちゃんのイメージがあるので、大きくなったなぁと思いますけど、ニノにもそんなイメージがあったのでしょうか。 翔くんの計算高いは、良く言えばすごく頭がいい。先の先まで読んで計算しているイメージとか。 松島さんが「計算ミスをよくする」といって、翔くんも認めていたのが可愛かったです。 潤くんは、ドラマで一緒のときは、撮影してない時も「道明寺」だとか。 仕事熱心な潤くんらしいです。 脳内グラフの39%が 9月24日 のSPドラマ「 天国で君に逢えたら 」ぜったい見てね!、 41%が 10月24日から公開 の主演映画「 僕の初恋を君に捧ぐ 」ぜったい見てね!だった井上真央ちゃん。 映画が2%多くて、ニノに「どういう?」と聞かれて、理由は「主演だから」でした。 ドラマの方はニノと2日しか一緒でなかったそうで、ウチのニノ好き次女が変なところで安心してました。 残りの10%がゴルフ。 趣味がなくて始めたそう。 相葉ちゃんが「10年前から 趣味:釣り と言って 8年間ウソついてた」と大野くんのことを暴露。 そうか、8年分を本当にするために、今のめり込んでいる、とか?