準急よりも遅い区間急行も存在する 伝統の「鳩マーク」を付けた京阪特急(写真:のりえもん/PIXTA) 日本国内の列車種別は鉄道事業者によってさまざまだ。一般的な「普通」「快速」「急行」など、運行する列車の停車駅によって変わってくるものや、「回送」「試運転」などそもそも営業サービスを行っていないことを表す種別、はたまたかつての小田急「多摩急行」や20周年を迎える阪急「日生エクスプレス」という、地名や街の名前までを冠した種別・愛称も存在する。そんな数多く存在する列車種別の中で、京阪電車の種別はひときわ異彩を放っており、その種別数は11種類と私鉄随一の多さを誇っている。 日本唯一のレアな種別 淀屋橋駅0時20分発という、深夜帯に運行され、この列車のためだけに用意されている行先幕の英語表記は「Midnight Exp. (ミッドナイト エクスプレス)」。あのノンフィクション作家・沢木耕太郎氏の名作『深夜特急』を知ってか知らずか、深夜の旅に出かけようと言わんばかりの、何とも心地のいい響きだ。 この列車は2008年10月19日の中之島線開業に伴い誕生したが、実は「深夜急行」と「通勤快急」は停車駅が同じなのだ。なぜ、このようなややこしいことになっているかというと、通勤快急が大阪方面であるのに対し、深夜急行は京都方面となる。停車パターンは同じであれ、運行する時間帯・曜日も「通勤」とは離れているのでこのような珍しいネーミングになったとも考えられる。 「深夜急行」という冒険心をくすぐるような、ロマンあふれるネーミングの列車だが実際の中身はというと、京阪沿線の乗客の利便性確保のために作られており、終電間際まで働く疲れたサラリーマンやキタ・ミナミで呑んできた酔っ払いたちを夜な夜な送り届けるという、何とも生活に密着した列車だ。
乗車14日前の午前10時から列車が発車する3分前(プレミアムクラブは1分前)までプレミアムカー券を購入することができます。お出かけの日時が決まっていれば、2週間前から座席の予約ができます。 あと、空席状況は京阪電車のサイト内で確認することができます。 京阪電車HP 空席照会 以下の項目を選択、入力します。 ・乗車日時 ・列車種別(ここでは快速特急・特急・ライナーを指定します) ・乗車区間 を選んで「検索」を押します。 ※列車種別を選ばないと、乗車区間の入力ができません、ご注意ください。 プレミアムカークラブはどこから登録できるの? 京阪電車のサイトから登録ができます。 京阪電車HP プレミアムカークラブ案内 分からないことがあれば電話でも対応してくれます。 京阪プレミアムカークラブ専用ダイヤル 06-6945-0897 (平日9:00~18:00、但し12月30日から1月3日まで休業) 7. 停車駅と乗り換えのご紹介 京阪特急の途中停車駅は10駅です。1駅ずつご紹介していきます。 7-1. 淀屋橋駅 京阪特急の大阪の終点・ターミナル駅です。この駅は大阪メトロ(旧大阪市営地下鉄)御堂筋線との連絡駅となっていて、梅田駅から1駅です。 この駅の近くには大阪市中央公会堂(中之島公会堂)、大阪府立中之島図書館、日本銀行大阪支店といったレトロな建物があり、徒歩5分程度といった近さです。 7-2. 北浜駅 淀屋橋駅から1分、大阪メトロ堺筋線北浜駅との連絡駅になっています。 この駅の近くには、大阪市内最大といわれるバラ園、中之島公園芝生広場などがあり、徒歩5分です。また、橋詰の4カ所に阿(あ)と吽(うん)のライオンの石像が配置されていることから、ライオン橋の愛称で知られる難波橋(なにわばし)も徒歩1分の所にあります。 こちらが阿吽(あうん)のライオン像です。 7-3. 京阪本線 停車駅一覧、遅延・運行情報｜鉄道路線情報. 天満橋駅 淀屋橋駅から3分、大阪メトロ谷町線天満橋駅との連絡駅になっています。京阪電車中之島線との分岐駅にもなっています。 この駅の近くには、豊臣秀吉(太閤さん)が築城した大坂城があります。徒歩約20分です。 天満橋駅から京橋駅へ向かう途中で、進行方向の右側(プレミアムカーなら1人席側)に大坂城を見ることができます。 7-4. 京橋駅 淀屋橋駅から7分。JR西日本の環状線と片町線京橋駅との連絡駅になっています。JR大阪駅まで環状線ですと3駅です。 京橋駅は、京阪電車最大の乗降客のある駅で、1日約20万人が利用します。 この駅の近くには、コンサートなどが開催される大阪城ホールがあります。ただ、徒歩では道が分かりにくいので、JR環状線に乗り換えて大阪城公園駅から行かれるほうが分かりやすいでしょう。 7-5.
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ところで、快速特急「洛楽」のメリットは何だろうか。筆者が思うに、1つ目は大阪のビジネス街から京都の中心地へスムーズにアクセスできることが挙げられる。 京阪電車は大阪市内に梅田駅・難波駅のような大規模ターミナルを持たないが、淀屋橋駅で市内の大動脈といえる地下鉄御堂筋線と接続し、北浜駅・天満橋駅・京橋駅でも地下鉄に乗り換えられる。京橋駅はJR大阪環状線やJR東西線・学研都市線(片町線)との接続駅でもある。京都市内においては、祇園四条駅が繁華街に最も近い。「洛楽」は淀屋橋駅から45分で祇園四条駅に着く。この所要時間(平日9時台)は、祇園四条駅から徒歩数分の場所に河原町駅がある阪急京都線の特急(梅⽥~河原町間)とそれほど変わらない。 2つ目のメリットは運賃が比較的安いことだ。JRで大阪~京都間を移動すると、運賃は560円。京都駅から市街地へ地下鉄に乗り換える必要もある。一方、京阪電車を使えば、淀屋橋~祇園四条間の運賃は410円だ。ただし、阪急京都線梅田~河原町間よりは10円高い。 大阪~京都間において、競合他社との比較で「速達性に劣る」といわれることもある京阪電車だが、快速特急「洛楽」は速達性でも十分勝負できる列車といえるだろう。 ※本記事は掲載時点の情報であり、最新のものとは異なる場合があります。予めご了承ください。
出町柳駅 淀屋橋駅から56分。京阪電車の京都側の終点・ターミナル駅です。叡山電車出町柳駅との連絡駅になっています。八瀬、大原、鞍馬、貴船などへ行かれる時はこの駅で叡山電車に乗り換えます。 この駅の近くには葵祭を例祭とする下賀茂神社や京都御所のある京都御苑などがあります。 特急の停車駅については京阪電車のホームページでも確認できます。 京阪電車HP 路線図 サイトにアクセスし、下にスクロールしていくと「停車駅のご案内」という所があります。小さくて見にくいのですが、そこにある「拡大する」をクリックすると大きな画像で見ることができます。 ここでは特急の停車駅だけでなく、すべての駅が書かれていますから、乗り換えなど分かりやすいのではないでしょうか。 8.
東大塾長の山田です。 このページでは、 数学 B 数列の「等差数列」について解説します 。 今回は 等差数列の基本的なことから,一般項,等差数列の和の公式とその証明 まで,具体的に問題(入試問題)を解きながら超わかりやすく解説していきます。 また,参考として調和数列についても解説しています。 ぜひ勉強の参考にしてください! 1. 等差数列とは? まずは,等差数列の定義を確認しましょう。 等差数列 隣り合う2項の差が常に一定の数列のこと。 例えば,数列 1, 4, 7, 10, 13, 16, \( \cdots \) は,初項1に次々に3を加えて得られる数列です。 1つの項とその隣の項との差は常に3で一定です。 このような数列を 等差数列 といい,この差(3)を 公差 といいます。 したがって,等差数列 \( {a_n} \) の公差が \( d \) のとき,すべての自然数 \( n \) について次の関係が成り立ちます。 等差数列の定義 \( a_{n+1} = a_n + d \) すなわち \( a_{n+1} – a_n = d \) 2. 等差数列の一般項 2. 等差数列の一般項トライ. 1 等差数列の一般項の公式 数列 \( {a_n} \) の第 \( n \) 項 \( a_n \) が \( n \) の式で表されるとき,これを数列 \( {a_n} \) の 一般項 といいます。 等差数列の一般項は次のように表されます。 なぜこのような式なるのかを,必ず理解しておきましょう。 次で解説していきます。 2. 2 等差数列の一般項の導出 【証明】 初項 \( a \),公差 \( d \) の等差数列 \( {a_n} \) の第 \( n \) 項は次の図のように表される。 第 \( n \) 項は,初項 \( a_1 = a \) に公差 \( d \) を \( (n-1) \) 回加えたものだから,一般項は \( \large{ \color{red}{ a_n = a + (n-1) d}} \) となる。 2. 3 等差数列の一般項を求める問題(入試問題) 【解答】 この数列の初項を \( a \),公差を \( d \) とすると \( a_n = a + (n-1) d \) \( a_5 = 3 \),\( a_{10} = -12 \) であるから \( \begin{cases} a + 4d = 3 \\ a + 9d = -12 \end{cases} \) これを解くと \( a = 15 \),\( d = -3 \) したがって,公差 \( \color{red}{ -3 \cdots 【答】} \) 一般項は \( \begin{align} \color{red}{ a_n} & = 15 + (n-1) \cdot (-3) \\ \\ & \color{red}{ = -3n + 18 \cdots 【答】} \end{align} \) 2.
調和数列【参考】 4. 1 調和数列とは? 数列 \( {a_n} \) において,その逆数を項とする数列 \( \displaystyle \left\{ \frac{1}{a_n} \right\} \) が等差数列をなすとき,もとの数列 \( {a_n} \) を 調和数列 といいます。 つまり \( \displaystyle \color{red}{ \frac{1}{a_{n+1}} – \frac{1}{a_n} = d} \) (一定) 【例】 \( \displaystyle 1, \ \frac{1}{3}, \ \frac{1}{5}, \ \frac{1}{7}, \ \cdots \) は 調和数列 。 この数列の各項の逆数 \( 1, \ 3, \ 5, \ 7, \ \cdots \) は,初項1,公差2の等差数列であるから。 4. 等差数列の一般項の未項. 2 調和数列の問題 調和数列に関する問題の解説もしておきます。 \( \left\{ a_n \right\}: 30, \ 20, \ 15, \cdots \) が調和数列であるから, \( \displaystyle \left\{ \frac{1}{a_n} \right\}: \frac{1}{30}, \ \frac{1}{20}, \ \frac{1}{15}, \cdots \) は等差数列となる。 \( \displaystyle \left\{ \frac{1}{a_n} \right\} \) の初項は \( \displaystyle \frac{1}{30} \),公差は \( \displaystyle \frac{1}{20} – \frac{1}{30} = \frac{1}{60} \) であるから,一般項は \( \displaystyle \frac{1}{a_n} = \frac{1}{30} + (n-1) \cdot \frac{1}{60} = \frac{n+1}{60} \) したがって,数列 \( {a_n} \) の一般項は \( \displaystyle \color{red}{ a_n = \frac{60}{n+1} \cdots 【答】} \) 5. 等差数列まとめ さいごに今回の内容をもう一度整理します。 等差数列まとめ 【等差数列の一般項】 初項 \( a \),公差 \( d \) の等差数列 \( {a_n} \) の一般項は ( 第 \( n \) 項) =( 初項) +(\( n \) -1) ×( 公差) 【等差数列の和の公式】 初項 \( a \),公差 \( d \),末項 \( l \),項数 \( n \) の等差数列の和を \( S_n \) とすると \( \displaystyle \large{ \color{red}{ S_n = \frac{1}{2} n (a + l)}} \) \( \displaystyle \large{ \color{red}{ S_n = \frac{1}{2} n \left\{ 2a + (n-1) d \right\}}} \) 以上が等差数列の解説です。 和の公式は,公式を丸暗記するというよりは,式の意味を理解することが重要です!
この記事は最終更新日から1年以上が経過しています。内容が古くなっているのでご注意ください。 はじめに 本記事では等差数列についてご紹介します。数列は多くの中学生・高校生が苦手とする単元ですが、なぜ苦手なのか考えたことはありますか? それは、公式を暗記するだけで意味を説明することができないからです。その結果、前提が変わったり、平方数などの見慣れない数が出て来たりする問題に太刀打ちできなくなってしまいます。 数列はセンター試験でほぼ毎年出題される、非常に重要な単元です。 そこでこの記事では、もっとも初歩である「等差数列」を題材に、公式の意味や問題の解き方を説明していきます。 数列が苦手だったために志望校に落ちてしまった…なんてことがないよう、しっかり勉強しましょう! 等差数列とは? 等差数列の一般項の求め方. 「等差数列とはなにか」ということがきちんと理解できていれば、あとで紹介する公式は自然に導けるので、覚える必要がありません。反対に、これが理解できていない限り、等差数列をマスターすることは絶対にできません。 数学のどんな単元においても、定義は非常に大事です。きちんと理解しましょう! 等差数列とは「はじめの数に、一定の数を足し続ける数列」 簡単にいえば、等差数列とは「はじめの数に、一定の数を足し続ける数列」です。 たとえば、 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20… この数列は、はじめの数(2)に、一定の数(3)を足し続けていますね。こういったものが等差数列です。 一定の数を足し続けているわけですから、隣同士の項(2と5、14と17など)はその一定の数(3)だけ開いているわけです。 これが、「等差数列」、つまり「差が等しい数列」と呼ばれる所以です。 等比数列と何がちがう? 等差数列と一緒によく出てくるのが等比数列ですが、等差数列とは何が違うのでしょうか。 等差数列とは「はじめの数に、一定の数を足し続ける数列」、 一方、 等比数列とは「はじめの数に、一定の数をかけ続ける数列」 です。 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128… この数列は、はじめの数(2)に、一定の数(2)をかけ続けていますね。こういったものが等比数列です。 等差数列と等比数列は見間違えやすいので、常に注意してください。 等差数列の公式の意味を説明!
4 等差数列の性質(等差中項) 数列 \( a, \ b, \ c \) が等差数列ならば \( b – a = c – b \) ゆえに \( 2b = a+c \) このとき,\( b \) を \( a \) と \( c \) の 等差中項 といいます。 \( \displaystyle b = \frac{a + c}{2} \) より,\( b \) は \( a \) と \( c \) の 相加平均 になります。 3. 等差数列の和 次は等差数列の和について解説していきます。 3. 等差数列の一般項と和 | おいしい数学. 1 等差数列の和の公式 等差数列の和の公式 3. 2 等差数列の和の公式の証明 まずは具体的に 「初項 1 ,公差2 ,項数10 の等差数列の和S 」 を求めることを考えてみましょう。 次のように,ますSを並べ,その下に和の順序を逆にしたものを並べます。 そして辺々を足します。 すると,「2S=20が10個分」となるので \( 2S = 20 \times 10 \) ∴ \( \displaystyle \color{red}{ S} = \frac{1}{2} \times(20 \times 10) \color{red}{ = 100} \) と求めることができました。 順序を逆にしたものと足し合わせることで,和が同じ数字が項の数だけ出てくるので,数列の和を求めることができます! この考え方で,一般化して等差数列の和を求めてみましょう。 初項 \( a \),末項 \( l \),項数 \( n \) の等差数列の和を \( S_n \) とすると 右辺は,\( a + l \) を \( n \) 個加えたものなので \( 2 S_n = n (a+l) \) ∴ \( \displaystyle \color{red}{ S_n = \frac{1}{2} n (a + l)} \cdots ① \) また,\( l \) は第 \( n \) 項なので \( l = a + (n-1) d \) これを①に代入すると \( \displaystyle \color{red}{ S_n = \frac{1}{2} n \left\{ 2a + (n-1) d \right\}} \) が得られます。 よって公式②は①を変形したものです。 3. 3 等差数列の和を求める問題 それでは,公式を使って等差数列の和を求める問題にチャレンジしてみましょう。 (1) は初項・公差がわかっているので,公式①で一発です。 (2) は初項1,公差3,末項100とわかりますが, 項数がわかりません 。 まずは項数を求めてから,公式で和を求めます 。 (1) 初項20,公差3,項数10より \displaystyle \color{red}{ S} & = \frac{1}{2} \cdot 10 \left\{ 2 \cdot 20 + (10-1) \cdot 3 \right\} \\ & \color{red}{ = 335 \cdots 【答】} (2) 初項1,公差3であるから,末項100が第 \( n \) 項であるとすると \( 1 + (n-1) \cdot 3 = 100 \) ∴ \( n = 34 \) よって,初項1,末項100,項数34の等差数列の和を求めると \displaystyle \color{red}{ S} & = \frac{1}{2} \cdot 34 (1 + 100) \\ & \color{red}{ = 1717 \cdots 【答】} 等差数列の和の公式の使い分け 4.
ちなみに1つ1つ地道に足していくのは今回はナシです。 ここで、前後ひっくり返した式を用意してみましょう。つまり、 S = 1 + 3 + 5 + 7 +9+11+13+15+17① S =17+15+13+11+9+ 7 + 5 + 3 + 1 ② ①と②の縦にそろっている数(1と17、3と15など)の和がすべて18になっているのに気づきましたか? ①+②をすると、 2S =18+18+18+18+18+18+18+18+18 =18×9 となるのがわかります。この18×9とはつまり、 [初項と末項を足した数]×[項数] です。 つまり、この数列では、 2S = [初項と末項を足した数]×[項数] ∴S = ½ ( [初項と末項を足した数]×[項数]) となるわけです。 そして、この「S = ½ ( [初項と末項を足した数]×[項数])」はすべての等差数列で使えます。一般化した例で考えてみましょう。 ※この説明は「... 」が入っている時点で数学的に厳密ではありません。興味のある方は数学的に厳密な証明を考えてみてください。シグマを使うやり方、項数が偶数である場合と奇数である場合に分けるやり方などがあります。 等差数列の問題を解いてみよう では、等差数列の公式をさらったところで、問題に取り組んでみましょう。