東大塾長の山田です。 このページでは、 「 剰余の定理 」について解説します 。 今回は 「剰余の定理」の公式と証明 に加え、 「剰余の定理と因数定理の違い」 についても解説しています。 さいごには剰余の定理を利用する練習問題も用意しているので、ぜひ最後まで読んで勉強の参考にしてください! 1. 剰余の定理とは? それではさっそく 剰余の定理 について解説していきます。 1. 1 剰余の定理(公式) 剰余の定理は、余りを求めるときにとても便利な定理 です。 具体例は次の通りです。 【例】 整式 \( P(x) = x^3 – 3x^2 + 7 \) を \( x – \color{red}{ 1} \) で割った余りは \( P(1) = \color{red}{ 1}^3 – 3 \cdot \color{red}{ 1}^2 + 7 = 4 \) \( x + 2 \) で割った余りは \( P(-2) = (-2)^3 – 3 \cdot (-2)^2 + 7 = -13 \) このように、 剰余の定理を利用することで、実際に多項式の割り算を行わなくても、余りをすぐに求めることができます 。 1. 2 剰余の定理の証明 なぜ剰余の定理が成り立つのか、証明をしていきます。 剰余の定理の証明はとてもシンプルです。 よって、\( \color{red}{ P(\alpha) = R} \) となり、証明ができました。 2. 整式の割り算，剰余定理 | 数学入試問題. 【補足】割る式の1次の係数が1でない場合 割る式の \( x \) の係数が1でない場合の余り は、次のようになります。 補足 整式 \( P(x) \) を1次式 \( (ax+b) \) で割ったときの余りは \( \displaystyle P \left( – \frac{b}{a} \right) \) 整式 \( P(x) = x^3 – 3x^2 + 7 \) を \( 2x + 1 \) で割った余り \( R \) は \( \displaystyle R = P \left( – \frac{1}{2} \right) = \frac{49}{8} \) 3. 【補足】剰余の定理と因数定理の違い 「剰余の定理と因数定理の違いがわからない…」 と混同されてしまうことがあります。 剰余の定理の余りが0 の場合が、因数定理 です 。 余りが0ということは、 \( P(x) = (x- \alpha) Q(x) + 0 \) ということなので、両辺に \( x= \alpha \) を代入すると \( P(\alpha) = 0 \) が得られます。 また、「\( x- \alpha \) で割ると余りが0」\( \Leftrightarrow \)「\( x- \alpha \) で割り切れる」\( \Leftrightarrow \)「\( x- \alpha \) を因数にもつ」ということです。 したがって、因数定理 が成り立ちます。 3.
(2) $P(x)$ を $x-1$ で割ったときの商を $Q_{1}(x)$,$x+9$ で割ったときの商を $Q_{2}(x)$,$(x-1)(x+9)$ で割ったときの商を $Q_{3}(x)$ 余りを $ax+b$ とすると $\begin{cases}P(x)=(x-1)Q_{1}(x)+7 \\ P(x)=(x+9)Q_{2}(x)+2 \\ P(x)=(x-1)(x+9)Q_{3}(x)+ax+b\end{cases}$ 1行目と3行目に $x=1$ を代入すると $P(1)=7=a+b$ 2行目と3行目に $x=-9$ を代入すると $P(-9)=2=-9a+b$ 解くと $a=\dfrac{1}{2}$,$b=\dfrac{13}{2}$ 求める余りは $\boldsymbol{\dfrac{1}{2}x+\dfrac{13}{2}}$ 練習問題 練習 整式 $P(x)$ を $x-2$ で割ると余りが $9$,$(x+2)^{2}$ で割ると余りが $20x+17$ である.$P(x)$ を $(x+2)(x-2)$ で割ったときと,$(x+2)^{2}(x-2)$ で割ったときの余りをそれぞれ求めよ. 練習の解答
ただし,負の整数 −M を正の整数 m で割ったときの商を整数 −q ,余りを整数 r とするとき, r は
−M=m(−q)+r (0≦r
数学IAIIB 2020. 07. 31 ここでは剰余の定理と恒等式に関する問題について説明します。 割り算の基本は「割られる式」「割る式」「商」「余り」の関係式です。 この関係式から導かれるのが「剰余の定理」です。 大学入試では,剰余の定理と恒等式の考え方を利用する問題が出題されることがよくあります。 様々な問題を解くことで,数学力をアップさせましょう。 剰余の定理 ヒロ まずは剰余の定理を知ることから始めよう。 剰余の定理 多項式 $f(x)$ を $x-a$ で割ったときの余りは $f(a)$ である。 ヒロ 剰余の定理の証明をしておこう。 【証明】 $f(x)$ を $x-a$ で割ったときの商を $Q(x)$,余りを $r$ とおくと, \begin{align*} f(x)=(x-a)Q(x)+r \end{align*} と表すことができる。$x=a$ を代入すると \begin{align*} &f(a)=(a-a)Q(a)+r \\[4pt]&r=f(a) \end{align*} よって,$f(x)$ を $x-a$ で割ったときの余りは $f(a)$ である。
【入試問題】 n を自然数とし,整式 x n を整式 x 2 −2x−1 で割った余りを ax+b とする.このとき a と b は整数であり,さらにそれらをともに割り切る素数は存在しないことを示せ. (京大2013年理系) (解説) 一般に n の値ごとに商と余りは異なるので,これらを Q n (x), a n x+b n とおく. 以下,数学的帰納法によって示す. (Ⅰ) n=1 のとき x 1 を整式 x 2 −2x−1 で割った余りは x だから a 1 =1, b 1 =0 これらは整数であり,さらにそれらをともに割り切る素数は存在しない. (Ⅱ) n=k (k≧1) のとき, a k, b k は整数であり,さらにそれらをともに割り切る素数は存在しないと仮定すると x k =(x 2 −2x−1)Q k (x)+a k x+b k ( a k, b k は整数であり,さらにそれらをともに割り切る素数は存在しない)とおける 両辺に x を掛けると x k+1 =x(x 2 −2x−1)Q k (x)+a k x 2 +b k x この式を x 2 −2x−1 で割ったとき第1項は割り切れるから,余りは残りの項を割ったものになる. a k x 2 −2x−1) a k x 2 +b k x a k x 2 −2a k x−a k (2a k +b k)x+a k したがって a k+1 =2a k +b k b k+1 =a k このとき, a k, b k は整数であるから, a k+1, b k+1 も整数になる. もし, a k+1, b k+1 をともに割り切る素数 p が存在すれば a k+1 =2a k +b k =A 1 p b k+1 =a k =B 1 p となり a k =B 1 p b k =A 1 p−2B 1 p=(A 1 −2B 1)p となって, a k, b k をともに割り切る素数は存在しないという仮定に反する. したがって, a k+1, b k+1 をともに割り切る素数は存在しない. (Ⅰ)(Ⅱ)から,数学的帰納法により示された. 【類題4. 1】 n を自然数とし,整式 x n を整式 x 2 +2x+3 で割った余りを ax+b とする.このとき a と b は整数であり, a を3で割った余りは1になり, b は3で割り切れることを示せ.
ドアチェーンの取付け方法 ドアチェーンは、ほかの鍵に比べて自分でも簡単に取付けられる。いろいろなタイプのドアチェーンがあるが、基本的にはどれも取付け方は共通している。 ドアチェーンの取付け方の基本 まず、自分の家のドアが金属製なのか木製なのか確認しよう。玄関ドアの素材に合わせたドアチェーンを購入することだ。 金属製の場合には、ピアスビスを利用するか電気ドリルで穴をあけてからビス止めをする。木製の玄関ドアには、ドライバーを使ってできるだけ太めのネジでしっかり止めるようにするのがポイントだ。 まずは、ドア枠側にチェーンの付いた金具を取付けよう。次にチェーンを受け金具に入れて、少したるみがあるくらいに調整してドア側に受け金具を固定すれば完成だ。 4.
今回は玄関用の防犯アイテムをご紹介しましたが、空き巣などの侵入に備えるには窓用の防犯対策も必須です。補助錠とあわせて窓用防犯ブザーも設置し、安全性を強化しておきましょう。以下の記事では、さまざまな窓に対応できる商品を紹介しています。ぜひ、こちらもチェックしてみてくださいね。 まとめ 今回は玄関補助錠をご紹介しましたが、これだ!というものは見つかりましたか? いいものが見つかったら、ご近所や大切な人にもぜひ教えてあげてください。防犯対策には、1軒だけでなく地域揃って行うとより効果的ですよ。 JANコードをもとに、各ECサイトが提供するAPIを使用し、各商品の価格の表示やリンクの生成を行っています。そのため、掲載価格に変動がある場合や、JANコードの登録ミスなど情報が誤っている場合がありますので、最新価格や商品の詳細等については各販売店やメーカーよりご確認ください。 記事で紹介した商品を購入すると、売上の一部がmybestに還元されることがあります。
わたる 主に東京の湾岸エリアに生息しているが、中国、タイ、インドネシアなどでの発見情報もあり、その実態は定かではない。仲間うちでは「おっちゃん」と呼ばれることも。
教えて!住まいの先生とは Q マンションドアに付いている チェーンロック 夜 就寝中かけていますか? 私は 昼間お掃除の時は チェーンを マンションドアに付いている チェーンロック 夜 就寝中かけていますか? 私は 昼間お掃除の時は チェーンをかけドアを開けますが 就寝時は地震などが起きた時の事を思うと不安で かけられません。ご意見お聞かせ下さい。 質問日時: 2005/11/14 22:11:41 解決済み 解決日時: 2005/11/19 17:27:32 回答数: 5 | 閲覧数: 2038 お礼: 0枚 共感した: 0 この質問が不快なら ベストアンサーに選ばれた回答 A 回答日時: 2005/11/14 22:18:39 就寝時?もちろんかけてます。 地震がおきたら、多分チェーンロックが付いているようなドアなら、チェーンロックが外れないくらいドアがひずむのなら、チェーンロックして無くてもドアは開きませんから、玄関からは逃げられないでしょう。 つまり、地震より普段の防犯対策のほうが重要じゃないかなあ? ナイス: 0 この回答が不快なら 回答 回答日時: 2005/11/15 12:36:30 できればかけたほうがいいですね。 泥棒は怖いです。 ((;゜Д゜)ガクガクブルブル 回答日時: 2005/11/14 23:38:52 家にいる時は、必ずかけています。 もちろん、就寝時にも。 防犯上、していた方がいいのでは。。。 回答日時: 2005/11/14 23:23:33 家にいるときは必ず掛けてます。 帰宅後かぎを掛け忘れても、チェーンを掛けることは手が覚えています。 地震のときに慌てて外に逃げ出すのも危険です。チェーンをはずす余裕を持てる様心の準備をしておきたいですね。 回答日時: 2005/11/14 22:32:35 チェーンかけます。大地震が起きるより、泥棒に入られる方が確率はたかいですし、その方が不安です。 Yahoo! 実は簡単に開く!?U字ロックやドアチェーンの意外な落とし穴 | CHINTAI情報局. 不動産で住まいを探そう! 関連する物件をYahoo! 不動産で探す