\text{(通り)} \end{align*} n個のものを並べる順列の総数はn!通りですが、これは n個のものがすべて異なるときの総数 です。 もし、n個の中に同じものがp個、q個、r個、……ずつ含まれているとすれば、順列の総数n!通りの中には、 重複する並べ方 が含まれています。 たとえば、p個が同じものであれば、 p個の並べ方p!通り を重複して数え上げている ことになります。 同じ種類ごとに重複する並べ方を求め、その 重複ぶんを 1通り にしなければなりません 。この重複ぶんの扱いさえ忘れなければ、同じものを含む順列の総数を簡単に求めることができます。 一般に、 n個の中に同じものがp個、q個、r個、……ずつある とき、その並べ方の総数は以下のように表されます。 同じものを含む順列の総数 $n$ 個の中に同じものが $p$ 個、$q$ 個、$r$ 個、……ずつあるとき、その並べ方の総数は &\quad \frac{n! }{p! \ q! 同じ もの を 含む 順列3133. \ r!
順列といえど、同じものが含まれている場合はその並び順は考慮しません。 並び順を無視し組み合わせで考えるというのが、同じものを含む順列の考え方の基礎になりますので覚えておきましょう。 【確率】場合の数と確率のまとめ
同じものを含む順列では、次のように場合の数を求めます。 【問題】 \(a, a, a, b, b, c\) の6個の文字を1列に並べるとき,並べ方は何通りあるか。 $$\begin{eqnarray}\frac{6! }{3! 2! 1! }=60通り \end{eqnarray}$$ なぜ同じものの個数の階乗で割るのでしょうか? また、 この公式は組み合わせCを使って表すこともできます。 この記事を通して、「公式のなぜ」について理解を深めておきましょう。 また、記事の後半には公式を利用した問題の解き方についても解説しているので、ぜひご参考ください! なぜ?同じ順列を含む公式 なぜ同じものの個数の階乗で割らなければならないのでしょうか。 \(a, a, b\) の3個の文字を1列に並べるときを例に考えてみましょう。 同じ文字 \(a\) が2個あるわけなんですが、これがすべて違うものだとして並べかえを考えると、次のようになります。 3個の文字の並べかえなので、\(3! =6\)通りとなりますね。 しかし、実際には \(a\) は同じ文字になるので、3通りが正しい答えとなります。 ここで注目していただきたいのが、 区別なし ⇒ 区別ありにはどのような違いがあるかです。 区別なしの文字列に含まれている 同じ文字を並べかえた分 だけ、区別ありの場合の数は増えているはずです。 つまり、今回の例題では \(a\) が2個分あるので、\(\times 2! \) となっています。 次に、これを逆に考えてみると 区別あり ⇒ 区別なしのときには、\(\div2! 同じものを含む順列 問題. \) されている ってことになりますね。 よって、場合の数を求める計算式は次のようになります。 つまり、同じ文字を含む順列を考える場合のイメージとしては、 まずはすべてが違うものだとして、階乗で並べかえを考える。 次に、同じ文字として考え、同じ並びになっているものを省いていく。 その省き方が、同じ文字の個数の階乗で割ればよい。 という流れになります。 なぜ同じ文字の個数で割らなければならないの? という疑問に対しては、 \(n! \) という計算では「区別あり」の場合の数しか求めることができません。 そのため、 同じ文字の個数の階乗で割ることによって、ダブりを省く必要があるから です。 というのがお答えになりますね(^^) ちょっと、難しいお話ではあるんだけどイメージは湧いたかな?
\\[ 7pt] &= 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \\[ 7pt] &= 24 \text{(個)} 計算結果から、異なる4つの数字を使ってできる4桁の整数は全部で24個です。 例題2 $1 \, \ 2 \, \ 2 \, \ 4$ の $4$ つの数字を使ってできる $4$ 桁の整数の個数 例題2では、 同じ数字が含まれる ので、 同じものを含む順列 になります。 例題1の4つの数字のうち、 3が2に変わった と考えます。例題1で求めた4!個の整数の中から、 重複する個数を除きます 。 たとえば、以下のような整数が重複するようになります。 重複ぶんの一例 例題 $1$ の $1234 \, \ 1324$ が、例題 $2$ ではともに $1224$ になる。 例題1では、2と3の並べ方が変わると異なる整数になりましたが、例題2では同じ整数になります。 2と3の並べ方は2!通りあので、4つの数字の並べ方4!通りのそれぞれについて、2!通りずつ重複していることが分かります。 例題2の解答例 $1 \, \ 2 \, \ 2 \, \ 4$ の $4$ つの数字を並べる順列の総数 $4! $ のそれぞれについて、$2$ つの $2$ の並べ方 $2! $ 通りずつが重複するので \quad \frac{4! 同じ もの を 含む 順列3135. }{2! } &= \frac{4 \cdot 3 \cdot 2! }{2! }
杉咲花(撮影・蔦野裕) 杉咲 「私は本作を通して、人は1人では生きられないこと、映画は1人では作れないことを改めて感じました。共演者やスタッフ、本作に関わってくださったすべての方、皆さん全員が良い作品を作りたいと思ったからこそできた映画だと思います。何より、岩田さんに本当に助けていただきました。ハードなスケジュールの中、ご自分もきついはずなのにいつも大丈夫?と声をかけてくださって。私にはもう岩田さんが樹にしか見えなくて。樹を演じたのが岩田さんだったからこそ、私も最後までつぐみを演じ切ることができたと思ってます」 岩田 「全部そうだよね。どのシーンも、つぐみが杉咲さんだったからこそ描けたと思います」 岩田 「最近、焼き肉屋で食べたシメの冷麺がマジ、パーフェクトでした。それまでの肉の油っこさをうち消して、さっぱりした気分で店を出るという…完璧ですよね(笑)」 杉咲 「いいですね! 私も食べ物なんですけど…韓国の大食いユーチューバーの人の動画を見て自分も食べたくなって、トッポギとヤンニョムチキンを作ったんです。すっごくおいしく、パーフェクトにできました(笑)!」 最後に本作を楽しみにしている読者にメッセージを。 岩田 「この作品には、障がいと向き合う一つの生き方が描かれています。本作を通して、もし自分や身近な人だったら自分はどう行動するだろうかと少しでも想像してもらえるような映画になっていたらいいなと思います。重すぎず、真摯にそういう部分を伝えることができたら最高ですね」 杉咲 「どんなことがあっても大切な相手を思い続ける…つぐみはそれだけで進んでいる人で、私にはそれがすごく輝いて見えました。そんなつぐみの姿から、大切なことを気づかせてもらえる作品になっているのではないかなと思います」 (本紙・秋吉布由子) 『パーフェクトワールド 君といる奇跡』 監督:柴山健次 出演:岩田剛典、杉咲花他/1時間42分/松竹配給/10月5日(金)より全国公開 © 2018「パーフェクトワールド」製作委員会
岩田 :その時の感情で出る表情なので、そう受け取っていただけていたら良かったなって思います。そんなに「こうやろう!」と思って演じていたわけではなかったです。 ──杉咲さんは、そんな岩田さんの笑顔をどう捉えていましたか? 杉咲 :私は、ちょっと苦しい時とか、笑ってしまう時があるんです。だから、すごく先輩(樹)の気持ちがわかるというか。だからこそ見ていて切なくもなりますし、共感できましたね。 ──今作では、恋愛・障がい・仕事・家族など、さまざまな壁や試練にぶつかるシーンがありましたが、お2人は壁や試練にぶつかった時、どう乗り越えていきますか? 岩田 :相談できる相手がいたら、相談しますね。でも、最終的には自分に自信をつけることしか無いかなって思うんです。結局、相談してもそのアドバイスから"より自分に自信を持てるまで"にしていかなきゃいけない。自分で考えていても、何か行動を起こしたとしても、何かしらそこに向かうまでには、ある程度「行ける!」って自信が1ミリでも無いと。僕は"行けないタイプ"なので。僕の乗り越え方は"自信をつけること"ですね。 ──杉咲さんはいかがですか? 杉咲 :母親とかに相談します。でも、"自分の直感を信じること"もあります。結構そういう直感を"信じたい"と思っています。 岩田剛典×杉咲花サイン入りチェキプレゼント! 岩田剛典×杉咲花サイン入りチェキ 岩田剛典×杉咲花のサイン入り2ショットチェキを抽選で1名様にプレゼント。以下、応募フォームから必要事項を明記してください。詳しくはプレゼント概要ページをチェック。 映画『 パーフェクトワールド 君といる奇跡』は10 月5 日(金)より全国公開 映画『パーフェクトワールド 君といる奇跡』 ©2018「パーフェクトワールド」製作委員会 (C)2018「パーフェクトワールド」製作委員会 (C)有賀リエ/講談社 取材:矢部紗耶香/写真:ナカムラヨシノーブ
岩田 :"仕事に生きているところ"に共感出来ました。「このチャンス1回きりで、逃したらもう次が無いんだ」っていうセリフとか。すべて自分次第で、自分の先が決まっていくんだって思っているところ。近しいことを自分も思うので「わかるなー」と。そういうセリフは、すんなりと出てくる感じもありました。 ──杉咲さんから見て、岩田さんご自身と"樹"が似ていると感じた部分はありましたか? 杉咲 :"仕事に対してストイックなところ"はとても似ているというか。本番がはじまった時の、1つのシーンを撮ってるときの"集中力"がすごくて。観覧車のシーンのときとか、中が本当に狭かったので、スタッフさんも限られた人数しか入れない中でいろんなカットを撮らなければならないので、本当に「何周したか!」というくらい観覧車に乗り続けて(笑)。でも、すごく大事なシーンでした。私はすぐ集中力が切れてしまう方なのですが、岩田さんは"樹"としてそこに居てくださいました。ご自身が映ってないときも、本番と同じ熱量で私に向き合ってくださいました。それにはすごく助けていただきましたし、尊敬するところでもあります。 岩田 :あれは・・・キツかったですね(笑)。もうやりたくないよね、あれは(笑)。 ──岩田さんは普段から集中力ある方なんですか? 岩田 :自分ではあんま思わないですけど・・・でも、あのシーンは長回しで一連でワンカット・ワンカット抑えていて。あと、回想シーンなのでひたすら喋るんですよね。ずーっと喋り続ける中で、感情の起伏もある。あの撮影の日は、(現場に)来るのもすごく緊張していたので、集中はしてたかも。でも正直、何周もするんで、どこかで集中力は切れてますよね(笑)。 杉咲 :他にも、美姫先輩(雪村美姫役:大政絢)の結婚式を見るシーンがあるのですが、あのシーンも実は違う方向を見なきゃいけなくて。だから、何でもないところを見てリアクションしなきゃいけなくて。 岩田 :"木"とか見てたよね(笑)。 杉咲 :先輩(岩田)の目には美姫先輩が居るようにしか見えなくて「すごいなー」と思ってました。 岩田 :それは別に僕がすごいわけではないと思う(笑)。 ──岩田さんから見て、杉咲さんと"つぐみ"が似ていると思った部分はありますか? 岩田 :真っ直ぐな女性なので、そのピュアな感じとかがハマってたと思います。スタッフさんとかに対しての"やさしい気遣い"とかも素晴らしいんですよね。そういう細かなところまで気付ける人間性とか、優しさとか。"川奈"(つぐみ)も"樹"のために、裏で無理をして自分のことを追い込んじゃうみたいなところとか、その真っ直ぐさみたいなところですかね。自分(杉咲)が大変なスケジュールの現場の中で、しっかりスタッフさんのケアもしていて。 杉咲 :ありがとうございます。 岩田 :ただ、年齢のことを最初すごく気にされていたんですけど、社会人の役がはじめてで、「こんなに年が離れてる社会人の役はじめてだ」って。でも、そんなこと全然感じなかったですね。 ──大人っぽい感じが出てましたよね。 杉咲 :ほんとですか?