こんにちは、ウチダショウマです。 今日は、数学Ⅱで最も有用な定理の一つである 「二項定理」 について、公式を 圧倒的にわかりやすく 証明して、 応用問題(特に係数を求める問題) を解説していきます! 目次 二項定理とは? まずは定理の紹介です。 (二項定理)$n$は自然数とする。このとき、 \begin{align}(a+b)^n={}_n{C}_{0}a^n+{}_n{C}_{1}a^{n-1}b+{}_n{C}_{2}a^{n-2}b^2+…+{}_n{C}_{r}a^{n-r}b^r+…+{}_n{C}_{n-1}ab^{n-1}+{}_n{C}_{n}b^n\end{align} ※この数式は横にスクロールできます。 これをパッと見たとき、「長くて覚えづらい!」と感じると思います。 ですが、これを 「覚える」必要は全くありません !! ウチダ どういうことなのか、成り立ちを詳しく見ていきます。 二項定理の証明 先ほどの式では、 $n$ という文字を使って一般化していました。 いきなり一般化の式を扱うとややこしいので、例題を通して見ていきましょう。 例題. $(a+b)^5$ を展開せよ。 $3$ 乗までの展開公式は皆さん覚えましたかね。 しかし、$5$ 乗となると、覚えている人は少ないんじゃないでしょうか。 この問題に、以下のように「 組み合わせ 」の考え方を用いてみましょう。 分配法則で掛け算をしていくとき、①~⑤の中から $a$ か $b$ かどちらか選んでかけていく、という操作を繰り返します。 なので、$$(aの指数)+(bの指数)=5$$が常に成り立っていますね。 ここで、上から順に、まず $a^5$ について見てみると、「 $b$ を一個も選んでいない 」と考えられるので、「 ${}_5{C}_{0}$ 通り」となるわけです。 他の項についても同様に考えることができるので、組み合わせの総数 $C$ を用いて書き表すことができる! 二項定理とは?公式と係数の求め方・応用までをわかりやすく解説. このような仕組みになってます。 そして、組み合わせの総数 $C$ で二項定理が表されることから、 組み合わせの総数 $C$ … 二項係数 と呼んだりすることがあるので、覚えておきましょう。 ちなみに、今「 $b$ を何個選んでいるか」に着目しましたが、「 $a$ を何個選んでいるか 」でも全く同じ結果が得られます。 この証明で、 なんで「順列」ではなく「組み合わせ」なの?
と疑問に思った方は、ぜひ以下の記事を参考にしてください。 以上のように、一つ一つの項ごとに対して考えていけば、二項定理が導き出せるので、 わざわざすべてを覚えている必要はない 、ということになりますね! 二項定理の公式を超わかりやすく証明！係数を求める問題に挑戦だ！【応用問題も解説】 | 遊ぶ数学. ですので、式の形を覚えようとするのではなく、「 組み合わせの考え方を利用すれば展開できる 」ことを押さえておいてくださいね。 係数を求める練習問題 前の章で二項定理の成り立ちと考え方について解説しました。 では本当に身についた技術になっているのか、以下の練習問題をやってみましょう! (練習問題) (1) $(x+3)^4$ の $x^3$ の項の係数を求めよ。 (2) $(x-2)^6$ を展開せよ。 (3) $(x^2+x)^7$ の $x^{11}$ の係数を求めよ。 解答の前にヒントを出しますので、$5$ 分ぐらいやってみてわからないときはぜひ活用してください^^ それでは解答の方に移ります。 【解答】 (1) 4個から3個「 $x$ 」を選ぶ(つまり1個「 $3$ 」を選ぶ)組み合わせの総数に等しいので、$${}_4{C}_{3}×3={}_4{C}_{1}×3=4×3=12$$ ※3をかけ忘れないように注意! (2) 二項定理を用いて、 \begin{align}(x-2)^6&={}_6{C}_{0}x^6+{}_6{C}_{1}x^5(-2)+{}_6{C}_{2}x^4(-2)^2+{}_6{C}_{3}x^3(-2)^3+{}_6{C}_{4}x^2(-2)^4+{}_6{C}_{5}x(-2)^5+{}_6{C}_{6}(-2)^6\\&=x^6-12x^5+60x^4-160x^3+240x^2-192x+64\end{align} (3) 7個から4個「 $x^2$ 」を選ぶ(つまり3個「 $x$ 」を選ぶ)組み合わせの総数に等しいので、$${}_7{C}_{4}={}_7{C}_{3}=35$$ (3の別解) \begin{align}(x^2+x)^7&=\{x(x+1)\}^7\\&=x^7(x+1)^7\end{align} なので、 $(x+1)^7$ の $x^4$ の項の係数を求めることに等しい。( ここがポイント!) よって、7個から4個「 $x$ 」を選ぶ(つまり3個「 $1$ 」を選ぶ)組み合わせの総数に等しいので、$${}_7{C}_{4}={}_7{C}_{3}=35$$ (終了) いかがでしょう。 全問正解できたでしょうか!
例えば 5 乗の展開式を考えると $${}_5 \mathrm{C}_5 a^5 +{}_5 \mathrm{C}_4 a^4b +{}_5 \mathrm{C}_3 a^3b^2 +{}_5 \mathrm{C}_2 a^2b^3 +{}_5 \mathrm{C}_1 ab^4 +{}_5 \mathrm{C}_0 b^5$$ と計算すればいいですね。今回は 5 つの取れる場所があります。 これで $$(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5$$ と計算できてしまいます。これを 一般的に書いたものが二項定理 なのです。 二項定理は覚えなくても良い?
この作業では、x^3の係数を求めましたが、最初の公式を使用すれば、いちいち展開しなくても任意の項の係数を求めることが出来る様になり大変便利です。 二項定理まとめと応用編へ ・二項定理では、二項の展開しか扱えなかったが、多項定理を使う事で三項/四項/・・・とどれだけ項数があっても利用できる。 ・二項定理のコンビネーションの代わりに「同じものを並べる順列」を利用する。 ・多項定理では 二項係数の部分が階乗に変化 しますが、やっていることはほとんど二項定理と同じ事なので、しっかり二項定理をマスターする様にして下さい! 実際には、〜を展開して全ての項を書け、という問題は少なく、圧倒的に「 特定の項の係数を求めさせる問題 」が多いので今回の例題をよく復習しておいて下さい! 二項定理を簡単に覚える！ 定数項・係数の求め方 | 高校数学の知識庫. 二項定理・多項定理の関連記事 冒頭でも触れましたが、二項定理は任意の項の係数を求めるだけでなく、数学Ⅲで「はさみうちの原理」や「追い出しの原理」と共に使用して、極限の証明などで大活躍します。↓ 「 はさみうちの原理と追い出しの原理をうまく使うコツ 」ではさみうちの基本的な考え方を理解したら、 「二項定理とはさみうちの原理を使う極限の証明」 で、二項定理とはさみうちの原理をあわせて使う方法を身につけてください! 「 はさみうちの原理を使って積分の評価を行う応用問題 」 今回も最後までご覧いただき、有難うございました。 質問・記事について・誤植・その他のお問い合わせはコメント欄までお願い致します!
そこで、二項定理の公式を知っていれば、簡単に求めることができます。 しかし公式丸暗記では、忘れやすい上応用も利かなくなるので理屈を理解してもらう必要があります。 二項定理の公式にC(コンビネーション)が出てくる理由 #1の右辺の各項の係数を見ると、(1、3、3、1) となっています。これはaの三乗を作るためには (a+b) (a+b) (a+b)の中からa掛けるa掛けるaを 選び出す しか無く、その 場合の数を求める為にCを使っている のです。 この場合では1通りなので(1)・(a^3)となっています。 同様に、 a 2 bの係数を考えると、(a+b) (a+b) (a+b)から、【aを2つとbを1つ】選ぶ場合の数を求めるので 3 C 2 が係数になります。 二項係数・一般項の意味 この様に、各項の係数の内、 nCkのえらび方(a, bの組み合わせの数)の部分を二項係数と呼びます 。 そして、二項定理の公式のうち、シグマの右側にあった\(nC_{k}a^{n-k}b^{k}\)のことを 一般項 と呼びます。 では、どのような式を展開した項も 二項係数のみ がその係数になるのでしょうか? 残念ながら、ある項の係数は二項係数だけでは正しく表すことができません。 なぜなら、公式:(a+b) n の aやbに係数が付いていることがあるからです。 例:(a+2b) n 下で実際に見てみましょう。 ( a+2b) 3 の式を展開した時、ab 2 の係数を求めよ 先程の式との違いはbが2bになった事だけです。 しかし、単純に 3 C 2 =3 よって3が係数 とするとバツです。何故でしょう? 当然、もとの式のbの係数が違うからです。 では、どう計算したらいいのでしょうか? 求めるのは、ab 2 の係数だから、 3つのカッコからaを1個と2bを2個を取り出す ので、その条件の下で、\(ab^{2}の係数は(1)a×(2)b×(2)bで(4)ab^{2}\)が出来ます。 そして、その選び方が 3 C 2 =3 通り、つまり式を展開すると4ab 2 が3つ出来るので \(4ab ^{2}×3=12ab ^{2} \)よって、係数は12 が正しい答えです。 二項係数と一般項の小まとめ まとめると、 (二項係数)×(展開前の 文字の係数を問われている回数乗した数)=問われている項の係数 となります。 そして、二項定理の公式のnに具体的な値を入れる前の部分を一般項と呼びます。 ・コンビネーションを使う意味 ・展開前の文字に係数が付いている時の注意 に気を付けて解答して下さい。 いかがですか?
二項定理の練習問題② 多項定理を使った係数決定問題! 実際に二項定理を使った問題に触れてみましたが、今度はそれを拡張した多項定理を使った問題です。 二項定理の項が増えるだけなので、多項定理と二項定理の基本は同じ ですよ。 早速公式をみてみると、 【公式】 最初の! がたくさんある部分は、 n C p ・ n-p C q ・ n-p-q C r を書き換えたものとなっています。 この意味も二項定理の時と同じで、「n個の中からaをp個, bをq個, cをr個選ぶ順列の総数」を数式で表したのが n C p ・ n-p C q ・ n-p-q C r なのです。 また、p+q+r=n、p≧0, q≧0, r≧0の条件は、二項定理で説明した、「選んでいく」という考えをすれば当然のこととわかります。 n個の中からaを-1個選ぶ、とかn個の中からaをn+3個選ぶ、などはありえませんよね。 この考えが 難しかったら上の式を暗記してしまうのも一つの手 ですね! それでは、この多項定理を使って問題を解いていきましょう! 問題:(1+4x+2y) 4 におけるx 2 y 2 の項の係数を求めよ。 解答:この展開式におけるx 2 y 2 の項は、一般項{n! /(p! q! r! )}・a p b q c r においてn=4、p=0、q=2、r=2、a=1、b=4x、c=2y、と置いたものであるから、各値を代入して {4! /0! ・2! ・2! }・1 0 ・(4x) 2 ・(2y) 2 =(24/4)・1・16x 2 ・4y 2 =384x 2 y 2 となる。(0! =1という性質を用いました。) したがって求める係数は384である。…(答え) やっていることは先ほどの 二項定理の問題と全く一緒 ですね! では、こちらの問題だとどうなるでしょうか? 問題:(2+x+x 3) 6 におけるx 6 の項の係数を求めよ。 まず、こちらの問題でよくあるミスを紹介します。 誤答:この展開式におけるx 6 の項は、一般項{n! /(p! q! r! )}・a p b q c r においてn=6、p=4、q=0、r=2、a=2、b=x、c=x 3 と置いたものであるから、各値を代入して {6! /4! ・0! ・2! }・2 4 ・x 0 ・(x 3) 2 =(720/24・2)・16・1・x 6 =240x 6 したがって求める係数は240である。…(不正解) 一体どこが間違えているのでしょうか。 その答えはx 6 の取り方にあります。 今回の例だと、x 6 は(x) 3 ・x 3 と(x) 6 と(x 3) 2 の三通りの取り方がありますよね。 今回のように 複数の項でxが登場する場合は、この取り方に気をつける必要があります 。 以上のことを踏まえると、 解答:この展開式におけるx 6 の項は、一般項{n!
マッチングアプリを利用していると、メッセージは続くものの 一向に会いたがらない人 に出くわすことがあります。 正直、ラインなどのメッセージではいい感じなのに、 なぜ会おうとしないのか? バレンタインに連絡なしってなぜ？放置ってひどい！タイプ別５つ | おやきたべよ。. できれば会ってみたい。 ちょっとした不安を抱えつつも、そう思いますよね。 それとも 自分は脈がないのか? と余計にわからなくなりますよね。 これらの疑問について、元会いたがらない私が解説します。 女性向けの記事です。男性向けは マッチングアプリにいるナゼか会えない女性の心理【同時進行で解決】 に書いてあります。 私について 暇チャットアプリで結婚。 会いたがらないゆえ、デートしたのは旦那ただ1人。何十人の中からメッセージを分析して旦那を選びました。 *元々恋人を作る予定もなかったため、なおのこと。 【暇チャットアプリとは?】 話すことだけを目的とし連絡先の交換や会うことは禁止されている、建前上はトークアプリ。 マッチングアプリでラインなどのメッセージは続くのに会いたがらない男の理由 本命彼女がいる 様子を見ている 価値観の問題 脈なし 説明します。 1. 本命彼女がいる マッチングアプリを使っておいてこの理由はあまり当てはまりませんが、可能性としてはゼロではないので挙げます。 *トークアプリ系では少なからずいるので。 マッチングアプリにいるナゼか会えない女性の心理【同時進行で解決】 にも書いたのですが、本命彼女がいるのにマッチングアプリをやっている理由は主に以下です。 浮気願望がある 彼女とうまくいっていない 次の候補探し 話したいだけ 浮気願望以外の理由であれば、付き合うことは不可能ではありません。 詳しくは マッチングアプリにいるナゼか会えない女性の心理【同時進行で解決】 に書いてますので、そちらを見ていただけると嬉しいです。 *会ってもらえないことが多いのは、②本命彼女とうまくいっていない③話したいだけの場合です。 2. 様子を見ている まだどんな人なのかわからない、もしくは、自分と合う人なのか様子を見ている段階ですね。 個人のキョリの詰め方や、スタンスなどが関係しています。 下記の記事に書いてある、女性に当てはまる理由と同じです。 マッチングアプリにいるナゼか会えない女性の心理【同時進行で解決】 こんにちは。 今日は以下のケースについて、私なりの考え方を述べていきます。 マッチングアプリでメッセージが続いてイイ感じの女... 3.
彼女が連絡をくれようがくれまいが、会いたい、デートしたい、最終的には結婚したい、という気持ちがないのですか? トピ内ID: 6616895082 あなたも書いてみませんか? 他人への誹謗中傷は禁止しているので安心 不愉快・いかがわしい表現掲載されません 匿名で楽しめるので、特定されません [詳しいルールを確認する]
■ カウンセリングサービス の 浅野寿和 です。いつもご覧いただきありがとうございます。 最近、少し長めのお休みを頂いて旅行に行ってきたんです。まぁ殆ど温泉ざんまいだったんですけどね。もう季節は秋だというのに、旅行先でも非常に暑い日が続き、足湯でくつろいでいるだけでも汗がじわっと滲む・・・今年の猛暑は本当に凄いんだなぁ~と再認識しました。 そして、今年は各地で水害や突風被害が多いですよね。これも猛暑の影響であるとのこと。 各地で被災されている方には、お見舞いを申し上げます。一日も早い復旧を願っております。 昨日から随分と涼しい気候になりましたが、もしかするとまだ夏は終わっていないのかもしれませんね。 ■それでは今日のテーマです。 男性は連絡がなくても不安にならないのでしょうか? このようなご質問を受けることがあるんですよね。 例えば、彼と週末に会う約束するときでも、連絡するのはいつも私から。 連絡して欲しいと言えばいつも「仕事で忙しい」。 私だったら連絡がないとやっぱり不安。けれど彼は不安じゃないんでしょうか? どうしてこうも彼から連絡してくれないんでしょう?
価値観の問題 その人が、 どのくらいで会うのが普通だと考えているか? にもよります。 特に男性の場合、女性に不安感を与えないように会うまでに時間をかけたり、ネットの情報を鵜呑みにしてしまうこともあるからです。 本気であればあるほど、臆病になってしまうのもわかりますよね。 こちらも、詳細は マッチングアプリにいるナゼか会えない女性の心理【同時進行で解決】 に書いています。 4.
私の事で言いますと、 相手に好意があって、 「連絡ほしいなぁ」「声聞きたいなぁ」「こちらから連絡しようかな?」 と心で思っているのに、 ひたすら待って、待って、待ちます。 相手が迷惑だったらどうしよう、とか、 今忙しかったらどうしよう、とか、 あれこれ考え悩んでしまい、こちらからの連絡が出来ないのです。 好意がある人から連絡が来たら本当に嬉しいですよ。 こういうタイプの女子も、少数ですがおります。 いずれにせよ、彼女自身にはっきり尋ねる方が良いのでは? トピ内ID: 3692798193 chickpea 2011年2月7日 09:29 「自然な出会い方」で知り合って一緒に出かけるようになった間柄なら 「自分からは連絡しない」というルール?に彼女がしたがっているという 可能性も考えられなくはないですし、自分から誘うことに抵抗を覚える 人なのかもしれませんが、お見合いなんですよね? マッチングアプリで会いたがらない男の理由と特徴【なぜラインだけ？】｜オカネをかけずに、暮らしを工夫するブログ. 8か月どころか、3か月も付き合う頃には「結婚を前提とした交際」か 「ご縁がなかった」かのいずれかの判断をしてもいいと思うのです。 理由はともかく、1か月以上も連絡がなくても彼女は特にトピ主さんを 心配したりしていないのでしょうか? 連絡がなくても何とも思わない人とは、結婚してもうまくはいかないと 思うのですが。 > 別に連絡が無いならそれでいい > ただひたすら連絡を待っている …後者を妻にできますか? 前者なら「もともと連絡がなくても気にならない程度に思われている」か 「この1か月の間に他に相手ができた」かのいずれかかもしれません。 トピ主さんがその彼女にこだわる理由が何かあるのでしょうか? 次に行っていいと思いますよ。 トピ内ID: 5037678082 僕の事好いてくれてるんだなぁって感じる事があるのなら、ひたすら待っている。 特に感じないのなら、連絡がないならべつにいいって思ってるのかなって、思います。 私の話ですが・・・以前お付き合いしていた人に言われました。いつも僕ばかりメールや電話をしてあなたからはいつもない。男から先に連絡するのがあたりまえじゃないよって。(かなり冷たく言われました)私はびっくり!そんなつもりなかったから。 連絡がないのは忙しいのかなって、自分からするのは悪いかなって思っていました。 トピ主さんがただ単に彼女さん発信の連絡がないのが寂しいなって思ってるのなら冗談めかして、○○さんからもメールくれたら嬉しいな~って言ってみてはどうでしょうか?