4^2)\) に従うから、 \(Z = \displaystyle \frac{X − 69}{0. 4}\) とおくと、\(Z\) は標準正規分布 \(N(0, 1)\) に従う。 よって \(\begin{align}P(Z \geq 70) &= P\left(Z \geq \displaystyle \frac{70 − 69}{0. 4}\right)\\&= P(Z \geq 2. 5 − p(2. 4938\\&= 0. 0062\end{align}\) したがって、\(1\) 万個の製品中の不良品の予想個数は \(10, 000 \times 0. 0062 = 62\)(個) 答え: \(62\) 個 以上で問題も終わりです! 正規分布はいろいろなところで活用するので、基本的な計算問題への対処法は確実に理解しておきましょう。 正規分布は、統計的な推測においてとても重要な役割を果たします。 詳しくは、以下の記事で説明していきます! 母集団と標本とは?統計調査の意味や求め方をわかりやすく解説! 信頼区間、母平均・母比率の推定とは?公式や問題の解き方
また、正規分布についてさらに詳しく知りたい方は こちら をご覧ください。 (totalcount 73, 282 回, dailycount 1, 164回, overallcount 6, 621, 008 回) ライター: IMIN 正規分布
正規分布 正規分布を標準正規分布に変形することを、 標準化 といいます。 (正規分布について詳しく知りたい方は 正規分布とは? をご覧ください。) 正規分布を標準化する式 確率変数\(X\)が正規分布\(N(μ, σ^2)\)に従うとき、 $$ Z = \frac{X-μ}{σ} $$ と変換すると、\(Z\)は標準正規分布\(N(0, 1)\)(平均0, 分散1)に従います。 標準正規分布の確率密度関数 $$ f(X) = \frac{1}{\sqrt{2π}}e^{-\frac{x^2}{2}}$$ 正規分布を標準化する意味 標準正規分布表 をご存知でしょうか?下図のようなものです。何かとよく使うこの表ですが、すべての正規分布に対して用意するのは大変です(というか無理です)。そこで、他の正規分布に関しては標準化によって標準正規分布に直してから、標準正規分布表を使います。 正規分布というのは、実数倍や平行移動を同じものと考えると、一種類しかありません。なので、どの正規分布も標準化によって、標準正規分布に変換できます。そういうわけで、表も 標準正規分布表 一つで十分なのです。 標準化を使った例題 例題 とある大学の男子について身長を調査したところ、平均身長170cm、標準偏差7の正規分布に従うことが分かった。では、身長165cm~175cmの人の数は全体の何%占めるか? 解説 この問題を標準化によって解く。身長の確率変数をXと置く。平均170、標準偏差7なので、Xを標準化すると、 $$ Z = \frac{X-170}{7} $$ となる。よって \begin{eqnarray}165≦X≦175 &⇔& \frac{165-170}{7}≦Z≦\frac{175-170}{7}\\\\&⇔&-0. 71≦Z≦0. 71\end{eqnarray} であるので、標準正規分布が-0. 71~0. 71の値を取る確率が答えとなる。 これは 標準正規分布表 より、0. 5223と分かるので、身長165cm~175cmの人の数は全体の52. 23%である。 ちなみに、この例題では身長が正規分布に従うと仮定していますが、身長が本当に正規分布に従うかの検証を、 【例】身長の分布は本当に正規分布に従うのか!? で行なっております。興味のある方はお読みください。 標準化の証明 初めに標準化の式について触れましたが、どうしてこのような式になるのか、証明していきます。 証明 正規分布の性質を利用する。 正規分布の性質1 確率変数\(X\)が正規分布\(N(μ, σ^2)\)に従うとき、\(aX+b\)は正規分布\(N(aμ+b, a^2σ^2)\)に従う。 性質1において\(a = \frac{1}{σ}, b= -\frac{μ}{σ}\)とおけば、 $$ N(aμ+b, a^2σ^2) = N(0, 1) $$ となるので、これは標準正規分布に従う。また、このとき $$ aX+b = \frac{X-μ}{σ} $$ は標準正規分布に従う。 まとめ 正規分布を標準正規分布に変換する標準化についていかがでしたでしょうか。証明を覚える必要まではありませんが、標準化の式は使えるようにしておきたいところです。 余力のある人は是非証明を自分でやってみて、理解を深めて見てください!
さて、連続型確率分布では、分布曲線下の面積が確率を示すので、確率密度関数を定積分して確率を求めるのでしたね。 正規分布はかなりよく登場する確率分布なのに、毎回 \(f(x) = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{− \frac{(x − m)^2}{2\sigma^2}}\) の定積分をするなんてめちゃくちゃ大変です(しかも高校レベルの積分の知識では対処できない)。 そこで、「 正規分布を標準化して、あらかじめ計算しておいた確率(正規分布表)を利用しちゃおう! 」ということになりました。 \(m\), \(\sigma\) の値が異なっても、 縮尺を合わせれば対応する範囲の面積(確率)は等しい からです。 そうすれば、いちいち複雑な関数を定積分しないで、正規分布における確率を求められます。 ここから、正規分布の標準化と正規分布表の使い方を順番に説明していきます。 正規分布の標準化 ここでは、正規分布の標準化について説明します。 さて、\(m\), \(\sigma\) がどんな値の正規分布が一番シンプルで扱いやすいでしょうか?
5\) となる \(P(Z \geq 0) = P(Z \leq 0) = 0. 5\) 直線 \(z = 0\)(\(y\) 軸)に関して対称で、\(y\) は \(z = 0\) で最大値をとる \(P(0 \leq Z \leq u) = p(u)\) は正規分布表を利用して求められる 平均がど真ん中なので、面積(確率)も \(y\) 軸を境に対称でわかりやすいですね!
栃木が最下位ということにネット上で驚きや疑問の声が上がっているほか、自治体関係者からも「ランキングは魅力の実態を十分に反映していない」といった意見が出ています。 田中さん「自分たちの魅力が消費者に伝わっていないことをしっかりと認識すべきだと思います。消費者視点の結果である、このランキングをしっかりと受け止め、各地域で活性化のための指標として活用していただきたいと思います」 Q. 2021年以降も継続する予定でしょうか。調査方法や発表方法を見直す可能性は。 田中さん「来年以降も続ける予定です。調査方法は基本的に変更しませんが、例年、調査項目の一部を時世に合わせて少しずつ変更しています」 栃木県の見解は? 栃木県はランキング最下位をどう捉えているのでしょうか。県とちぎブランド戦略室の担当者に聞きました。 Q. 「都道府県魅力度ランキング」の結果をどのように捉えていますか。 担当者「この調査は『地域ブランド調査』という84項目からなるもので、『魅力度』は84項目の一つにすぎません。『魅力度』の他にも、『観光意欲度』や『居住意欲度』『産品購入意欲度』などの調査項目がありますが、メディアでほとんど報じられず、『魅力度』の順位だけが注目され、これが各都道府県の総合的な評価のように多くの人が誤解しています。この結果が、栃木県の魅力の実態を十分反映しているとは考えていません」 Q. 「2020年までに25位以内」を目標にしていたようですが、県にとって、このランキングは重要なのでしょうか。 担当者「2015年に県の『ブランド取り組み方針』を策定するにあたり、当時はブランド関連指標で、全国比較が可能な指標がよいと考え、魅力度順位25位を目標にしました。しかし、外部の有識者から、『魅力度順位』では観光誘客や県産品の販売、移住定住の促進など県の活性化との因果関係が検証できないことから、より具体的で客観的な指標を設定すべきだとの意見が出ました。 今後は、より適正な指標の設定について検討するとともに、この調査結果についてはブランドに関するさまざまな調査の一つとして受け止め、順位を上げることに特化した取り組みは行いません」 Q. 県別魅力度ランキング. 栃木県の強みについて教えてください。また、新型コロナウイルスの流行後、都内から栃木県への移住を検討する人は増えているのでしょうか。 担当者「栃木県には、中禅寺湖や華厳(けごん)の滝、那須高原といった貴重で美しい自然があり、世界遺産の日光東照宮などを含めて日光国立公園に指定されています。また、温泉(鬼怒川温泉、塩原温泉等)、『宇都宮餃子』、収穫量日本一のイチゴといったおいしい食べ物などの魅力的な地域資源もあります。このほか、内閣府が10月14日に発表した『県民経済計算』(2017年度)で、栃木県は1人当たりの県民所得が全国3位となるなど、魅力と実力を兼ね備えた県だと思います。 栃木県には、首都圏に隣接した地理的優位性や恵まれた住環境があり、コロナ禍において、東京都の移住相談窓口における相談が増えています。相談者と県内市町村担当者とがオンラインでより具体的な相談ができるよう、新たにオンライン相談事業に取り組むなど事業の充実を図っています」 Q.
株式会社ブランド総合研究所は、このたび住民による幸福度、生活満足度、満足度、定住意欲度など、地域の持続性を調べるために、「第2回都道府県SDGs調査2020」を実施しました。この調査は、インターネットを利用して2020年6月12日から29日まで実施し、全国の都道府県から約340人ずつ、計15, 991人からの回答を得ました。 愛着度1位は北海道。"実直で粘り強い"岩手県は急上昇 愛着度が最も高かったのは昨年と同様に北海道。居住者に対し「愛着がありますか」と聞いたところ、58. 2%が「とても愛着がある」、29. 2%が「やや愛着がある」と答えるなど、87. 4%が、北海道に愛着があると答えた。一方、「全く愛着がない」は2. 9%、「あまり愛着がない」は2. 2%と、愛着がないと回答した人は5%程度という結果だった。 次に高かったのは沖縄県で、昨年に続いて2位。54. 2%が「とても愛着がある」、25. 8%が「やや愛着がある」と答えた。3位は福岡県で、昨年の6位から上昇した。 4位となった岩手県は前年36位からの急上昇で、点数にして6. 3点の伸びを見せた。コロナ禍において、47都道府県の中で感染者ゼロを最も長く維持していたことが全国的に注目され、達増拓也知事が「実直で粘り強い県民性」と評するなど、「まじめ」「すなお」「人柄がよい」などの長所をメディアで指摘され、県民が再認識する機会があったことで、県への愛着の増加にもつながったのではないだろうか。 また、5位の長野県(昨年11位)、6位の静岡県(昨年17位)のほか、前年からの伸びが大きかったのは、16位の香川県(昨年37位で3. 8点上昇)、22位の鳥取県(昨年44位で5. 1点上昇)、32位の栃木県(昨年45位で3. 県民からの愛着、1位は北海道（2年連続）。岩手県が急上昇して4位に｜地域ブランドNEWS. 2点上昇)など。また、前年の調査では47位だった茨城県は41位へと上昇した。 各都道府県の住民に対し、「(あなたの居住している)都道府県に愛着がありますか」という設問に対し、「とても愛着がある」、「やや愛着がある」「どちらでもない」、「あまり愛着がない」、「全く愛着がない」の中から選んでもらった。その結果を、それぞれ100点、75点、50点、25点、0点の比重で加重平均したものを「愛着度」とした。 47都道府県の平均 47都道府県平均では、37. 9%が「とても愛着がある」、36. 0%が「やや愛着がある」と答えるなど、7割以上が「愛着がある」と答えた。ただし、「とても愛着がある」の割合は前年結果の39.
地域ブランド調査2020の調査結果のうち、調査項目「魅力度」をはじめとする市区町村に関する結果の一部をご紹介いたします。 主要項目結果 地域ブランド調査では、各地域名称に対して84項目の調査項目を設けています。そのうちの1項目である「魅力度」を説明変数とし、各地域がどのような側面から"魅力的"と評価されているかを他の調査項目結果から説明する構成となっています。市区町村結果では魅力度上位50市町について、魅力度に加え、認知度、居住意欲度、観光意欲度の結果を紹介します。 最も魅力度が高かったのは京都市で点数は51. 9点。2017年以来3年振り3回目の1位となりました。同市は、認知度で2位と高い周知性に加え、観光意欲度で3位、居住意欲度で5位と高い評価を得ています。また、地域資源評価のうち歴史に関連する項目の評価が突出して高いのも特徴です。 市区町村結果では都道府県と異なり、周知性(認知度等)の面で地域間に大きな差があります。上位では、屋久島町(鹿児島県)などで他上位市よりも認知度は低くなっているものの、魅力度では上位に入っている地域がみられます。 1000市区町村の結果から、魅力度を従属変数、今回紹介した3項目(認知度、居住意欲度、観光意欲度)を独立変数とした重回帰分析を行うと、決定係数(修正R二乗)は0. 9474と非常に高い値となっています。また、特に観光意欲度が魅力度に影響を与えており(標準偏回帰係数0. 6834)、次いで認知度(同0. 1904)、居住意欲度(同0. 県別魅力度ランキング 2018. 1692)が影響を与えているという結果となっています。 なお、都道府県ごとの結果をみると、上位50位以内に北海道内の市が8市入っており最多となっています。北海道は都道府県別結果でも最も魅力度が高くなっています。次いで多かったのは神奈川県で5市町が50位以内に入っています。 【魅力度上位50位市区町村の主要項目結果】 魅力度について(スコア算出元の回答者割合) 魅力度を算出する際に用いた「とても魅力的」、「やや魅力的」の回答者割合を紹介します※。 最も魅力度の高かった京都市は「とても魅力的」が33. 5%、「やや魅力的」が36. 9%で回答者のうち70. 4%が同市を"魅力的"と回答しています。魅力度2位の函館市は「とても魅力的」が25. 8%、「やや魅力的」が51. 1%と「とても魅力的」の回答者割合は京都市よりも少なくなっていますが、同市を"魅力的"と回答した合計割合は76.