【行列式編】逆行列の求め方を画像付きで解説!
【大学数学】線形代数入門⑨(行列式:余因子展開)【線形代数】 - YouTube
行列式のn乗を求めて解答する問題があったが, その際設問の誘導に従って使用した式変形が有用であったのでここにその証明を付しておく. 参考 Proof. If $$ \mathrm{det}A\neq0, then \mathrm{det}(\mathrm{adj}A) = (\mathrm{det}A)^{n-1}. ここで, $\mathrm{det}A$(ディターミナントエー)は$A$の行列式, $\mathrm{adj}A$(アジョイントエー)は$A$の余因子行列を表す. このYouTube動画をそのまま踏襲したのでここに予め記しておきます. 行列式の性質を用いた因数分解. まず正則なn次正方行列$A$の余因子行列に対して, A\cdot\mathrm{adj}A=\mathrm{adj}A{\cdot}A=\mathrm{det}A{\cdot}I_n が成り立つ(ここで$I_n$はn次単位行列を表す). これは行列式の行と列に関する余因子展開により速やかに示される主張である. ここで証明を付すことはしないが, 入門程度の教科書にて一度証明を追った後は覚えておくと良い. 次に上式の行列式を取ると, \mathrm{det}(A\cdot\mathrm{adj}A)=\mathrm{det}A{\cdot}\mathrm{det}(\mathrm{adj}A)(\because乗法定理^{*1}) =\mathrm{det}(\mathrm{det}A{\cdot}I_n)= \mathrm{det}\left( \begin{array}{cccc} \mathrm{det}A & 0 & \ldots & 0 \cr 0 & \mathrm{det}A & \ldots & 0 \cr \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \cr 0 & 0 & \ldots & \mathrm{det}A \end{array} \right)= (\mathrm{det}A)^n $^{*1}$2つのn次正方行列の積の行列式$\mathrm{det}AB$は各行列の行列式の積$\mathrm{det}A\cdot\mathrm{det}B$に等しい(行列式の交代性と多重線形性による帰結 1). となる. 最後に両辺を$\mathrm{det}A(\neq0)$で割って求める式 \mathrm{det}(\mathrm{adj}A) = (\mathrm{det}A)^{n-1} を得る.
みなさんが思う通り、余因子展開は、超面倒な計算を伴う性質です。よって、これを用いて行列式を求めることはほとんどありません(ただし、成分に0が多い行列を扱う時はこの限りではありません)。 が、この性質は 逆行列の公式 を導く上で重要な役割を果たします。なので線形代数の講義ではほぼ絶対に取り上げられるのです。 【行列式編】逆行列の求め方を画像付きで解説! 余因子行列 行列 式 3×3. 初学者のみなさんは、ひとまず 余因子展開は逆行列を求めるための前座 と捉えておけばOKです! 余因子展開の例 実際に余因子展開ができることを確かめてみましょう。 ここでは「余因子の例」で扱ったものと同じ行列を用います。 $$先ほどの例から、2行3列成分の余因子\(A_{23}\)が\(\underline{6}\)であると分かりました。そこで、今回は2行目の成分の余因子を用いた次の余因子展開の成立を確かめます。 $$|A|=a_{21}A_{21}+a_{22}A_{22}+a_{23}A_{23}$$ まず、2行1列成分の余因子\(A_{21}\)を求めます。これは、$$ D_{21}=\left| 2&3 \\ 8&9 \right|=-6 $$かつ、「\(2+1=3\)(奇数)」より、\(\underline{A_{21}=6}\)です。 同様にすると、2行2列成分の余因子\(A_{22}\)は、\(\underline{-12}\)であることが分かります。 2行3列成分の余因子\(A_{23}\)は前半で求めた通り\(\underline{6}\)ですよね? さて、材料が揃ったので、\(a_{21}A_{21}+a_{22}A_{22}+a_{23}A_{23}\)を計算します。 \begin{aligned} a_{21}A_{21}+a_{22}A_{22}+a_{23}A_{23}&=4*6+5*(-12)+6*6 \\ &=\underline{0} \end{aligned} $$これがもとの行列の行列式\(|A|\)と同じであることを示すため、\(|A|\)を頑張って計算します(途中式は無視して構いません)。 |A|=&1*5*9+2*6*7*+3*4*8 \\ &-3*5*7-2*4*9-1*6*8 \\ =&45+84+96-105-72-48 \\ =&\underline{0} $$先ほどの結果と同じく「0」が導かれました。よって、もとの行列式と同じであること、つまり余因子展開が成立することが確かめられました。 おわり 今回は逆行列を求めるために用いる「余因子」について扱いました。次回は、 逆行列の一般的な求め方 について扱いたいと思います!
余因子行列のまとめと線形代数の記事 ・特に3×3以上の行列の余因子行列を作る際は、各成分の符号や行列式の計算・転置などの際のミスに要注意です。 ・2or3種類ある逆行列の作り方は、もとの行列によって最短で計算できる方法を選ぶ(少し慣れが必要です)が、基本はやはり拡大係数行列を使ったガウスの消去法(掃き出し法)です。 これまでの記事と次回へ 2019/03/25現在までの線形代数に関する全19記事をまとめたページです。 「 【ブックマーク推奨!】線形代数を0から学ぶ解説記事まとめ【更新中】 」 今回も最後までご覧いただき、有難うございました。 「スマナビング!」では、読者の皆さんのご意見や、記事のリクエストの募集を行なっています。 ご質問・ご意見がございましたら、ぜひコメント欄にお寄せください。 いいね!やB!やシェア、Twitterのフォローをしていただけると大変励みになります。 ・その他のお問い合わせ、ご依頼に付きましては、お問い合わせページからご連絡下さい。
余因子行列と応用(線形代数第11回) <この記事の内容>:前回の「 余因子の意味と計算と余因子展開の方法 」に引き続き、"余因子行列"という新たな行列の意味・作り方と、それを利用して"逆行列"を計算する方法など『具体的な応用法』を解説していきます。 <これまでの記事>:「 0から学ぶ線形代数:解説記事総まとめ 」からご覧いただけます。 余因子行列とは はじめに、『余因子行列』とはどういった行列なのかイラストと共に紹介していきます。 各成分が余因子の行列を考える 前回、余因子を求める方法を紹介しましたが、その" 余因子を行列の要素とする行列"のことを言います 。(そのままですね!)
退職給付会計において、企業年金制度と退職一時金制度に関する当期末の負債として、連結財務諸表の貸借対照表に計上されるものであり、次のように算出される。 なお、退職給付に係る負債がマイナスとなる場合、すなわち企業年金実施の場合で年金資産が退職給付債務を上回る場合は「退職給付に係る資産」となり、貸借対照表に資産として計上される。 <企業年金制度を実施している場合> 退職給付に係る負債 = 退職給付債務 − 年金資産 <退職一時金制度を実施している場合> 退職給付に係る負債 = 退職給付債務
ホーム サービス 企業会計ナビ ライブラリー セミナー 採用情報 2017. 07. 19 Question 会社の退職給付制度は確定給付型企業年金制度と一時金制度との2つから構成されており、それぞれ退職給付債務を計算したところ、年金制度については退職給付に係る資産(個別上は前払年金費用)、一時金制度は退職給付に係る負債(個別上は退職給付引当金)がそれぞれ計上されることになりました。 このような場合に、貸借対照表上の表示をどのようにすべきかご教示ください。 Answer 複数の退職給付制度を採用していることにより生じた退職給付に係る資産(個別上は前払年金費用)と退職給付に係る負債(個別上は退職給付引当金)を貸借対照表上相殺表示できるかどうかについては、明確な定めはありません。 ただし、以下の①と②等を勘案すると、両者は相殺せず、両建てで表示すべきものと考えます。 ① 退職給付に係る資産(個別上は前払年金費用)と退職給付に係る負債(個別上は退職給付引当金)は、計算上相殺できないこと ② 年金制度の場合には、外部に実際に拠出されたものである(=資金確保済み)のに対し、一時金制度は内部での引当(=資金を確保したというよりは、計算上の認識)であること
① 退職給付に係る負債又は退職給付に係る資産に関する一時差異の取扱い ② 子会社株式等の取得に伴い認識したのれん又は負ののれんに係る繰延税金負債又は繰延税金資産の取扱い 文中、意見に関する部分は、私見であることを申し添える。 連結財務諸表における退職給付に係る負債に関する繰延税金資産又は退職給付に係る資産に関する繰延税金負債については、次のように会計処理する(税効果適用指針42項)。 ○記事全文をご覧いただくには、プレミアム会員としてのログインが必要です。 ○プレミアム会員の方は下記ボタンからログインしてください。 ○プレミアム会員のご登録がお済みでない方は、下記ボタンから「プレミアム会員」を選択の上、お手続きください。 ○一般会員の方は、下記ボタンよりプレミアム会員への移行手続きができます。 ○非会員の皆さまにも、期間限定で閲覧していただける記事がございます(ログイン不要です)。 こちらから ご覧ください。