0 通風 手の小指がひどく腫れました。通風持ちなので通風も疑いましたが、いつも右足親指なのと小指の腫れが尋常では無く、痛みもかなりひどいので、骨の異常も考えて整形外科を受診しました。かなり時間がかかって診察 レ... 来院時期: 2021年06月 投稿時期: 続きを読む 2人中1人 が、この口コミが参考になったと投票しています。 すいれん933(本人・30歳代・女性) 自分の骨折や子供の指のケガなどで通いました。 きれいで静か(?
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現在の場所: ホーム / 線形代数 / ジョルダン標準形とは?意義と求め方を具体的に解説 ジョルダン標準形は、対角化できない行列を擬似的に対角化(準対角化)する手法です。これによって対角化不可能な行列でも、べき乗の計算がやりやすくなります。当ページでは、このジョルダン標準形の意義や求め方を具体的に解説していきます。 1.
【解き方③のまとめ】 となるベクトル を2つの列ベクトルとして,それらを束にして行列にしたもの は,元の行列 をジョルダン標準形に変換する正則な変換行列になる.すなわち が成り立つ. 実際に解いてみると・・・ 行列 の固有値を求めると (重解) そこで,次の方程式を解いて, を求める. (1)より したがって, を満たすベクトル(ただし,零ベクトルでないもの)は固有ベクトル. そこで, とする. 次に(2)により したがって, を満たすベクトル(ただし,零ベクトルでないもの)は解のベクトル. [解き方③の2]・・・別の解説 線形代数の教科書,参考書によっては,次のように解説される場合がある. はじめに,零ベクトルでない(かつ固有ベクトル と平行でない)「任意のベクトル 」を選ぶ.次に(2)式によって を求めたら,「 は必ず(1)を満たす」ので,これら の組を解とするのである. …(1') …(2') 前の解説と(1')(2')の式は同じであるが,「 は任意のベクトルでよい」「(2')で求めた「 は必ず(1')を満たす」という所が,前の解説と違うように聞こえるが・・・実際に任意のベクトル を代入してみると,次のようになる. とおくと はAの固有ベクトルになっており,(1)を満たす. この場合,任意のベクトルは固有ベクトル の倍率 を決めることだけに使われている. 例えば,任意のベクトルを とすると, となって が得られる. 初め慣れるまでは,考え方が難しいが,慣れたら単純作業で求められるようになる. 【例題2. 2】 次の行列のジョルダン標準形を求めて, を計算してください. のとき,固有ベクトルは よって,1つの固有ベクトルは (解き方①) このベクトル と1次独立なベクトル を適当に選び となれば,対角化はできなくても,それに準ずる上三角化ができる. ゆえに, ・・・(**) 例えば1つの解として とすると, ,正則行列 , ,ジョルダン標準形 に対して となるから …(答) 前述において,(解き方①)で示した答案は,(**)を満たす他のベクトルを使っても,同じ結果が得られる. (解き方②) となって,結果は等しくなる. (解き方③) 以下は(解き方①)(解き方②)と同様になる. (解き方③の2) 例えば とおくと, となり これを気長に計算すると,上記(解き方①)(解き方②)の結果と一致する.
ジョルダン標準形の求め方 対角行列になるものも含めて、ジョルダン標準形はどのような正方行列でも求めることができます。その方法について確認しましょう。 3. ジョルダン標準形を求める やり方は、行列の対角化とほとんど同じです。例として以下の2次正方行列の場合で見ていきましょう。 \[\begin{eqnarray} A= \left[\begin{array}{cc} 4 & 3 \\ -3 & -2 \\ \end{array} \right] \end{eqnarray}\] まずはこの行列の固有値と固有ベクトルを求めます。計算すると固有値は1、固有ベクトルは \(\left[\begin{array}{cc}1 \\-1 \end{array} \right]\) になります。(求め方は『 固有値と固有ベクトルとは何か?幾何学的意味と計算方法の解説 』で解説しています)。 この時点で、対角線が固有値、対角線の上が1になるという性質から、行列 \(A\) のジョルダン標準形は以下の形になることがわかります。 \[\begin{eqnarray} J= \left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right] \end{eqnarray}\] 3.
両辺を列ベクトルに分けると …(3) …(3') そこで,任意の(ただし,後で求まるベクトル とは1次独立でなければならない)ベクトル を選び,(3)で定まる を求めると固有ベクトルになって(2)を満たしているので,これと独立にもう1つ固有ベクトル を定めるとよい. 例えば, とおくと, となる. (1')は次の形に書ける と1次独立となるように を選ぶと, このとき, について, だから は正則になる. 変換行列は解き方①と同じではないが,n乗の計算を同様に行うと,結果は同じになる 【例題2. 2】 次の行列のジョルダン標準形を求めください. (略解:解き方③) 固有方程式は三重解 をもつ これに対応する固有ベクトルを求める これを満たすベクトルは独立に2つ選べる これらと独立にもう1つベクトル を定めるために となるベクトル を求める. 正則な変換行列 として 【例題2. 3】 次の行列のジョルダン標準形を求めて,n乗を計算してくださいください. (三重解) 次の形でジョルダン標準形を求める 正則な変換行列は3つの1次独立なベクトルを束にしたものとする 次の順に決める:任意の(ただし,後で求まるベクトル とは1次独立でなければならない)ベクトル を選び,(3')で定まる を求める.さらに(2')で を定める:(1')は成り立つ. 例えば となる. 以上がジョルダン標準形である n乗は次の公式を使って求める 【例題2. 4】 変換行列を求める. 任意のベクトル (ただし,後で求まるベクトル とは1次独立でなければならない)を選び となる を求めて,この作業を繰り返す. 例えば,次のように定まる. …(#1) により さらに …(#2) なお …(#3) (#1)は …(#1') を表している. (#2)は …(#2') (#3)は …(#3') (#1')(#2')(#3')より変換行列を によって作ると (右辺のジョルダン標準形において,1列目の は単独,2列目,3列目の の上には1が付く) に対して,変換行列 ○===高卒~大学数学基礎メニューに戻る... (PC版)メニューに戻る
2019年5月6日 14分6秒 スポンサードリンク こんにちは! ももやまです!
2】【例2. 3】【例2. 4】 ≪3次正方行列≫ 【例2. 1】(2) 【例2. 1】 【例2. 2】 b) で定まる変換行列 を用いて対角化できる.すなわち 【例2. 3】 【例2. 4】 【例2. 5】 B) 三重解 が固有値であるとき となるベクトル が定まるときは 【例2. 4. 4】 b) 任意のベクトル (ただし,後で求まるベクトル とは1次独立でなければならない)を選び 【例2. 2】 なお, 2次正方行列で固有値が重解 となる場合において,1次独立な2つのベクトル について が成り立てば,平面上の任意のベクトルは と書けるから, となる.したがって となり,このようなことが起こるのは 自体が単位行列の定数倍となっている場合に限られる. 同様にして,3次正方行列で固有値が三重解となる場合において,1次独立な3つのベクトル について が成り立てば,空間内の任意のベクトルは と書けるから, これらが(2)ⅰ)に述べたものである. 1. 1 対角化可能な行列の場合 与えられた行列から行列の累乗を求める計算は一般には難しい.しかし,次のような対角行列では容易にn乗を求めることができる. そこで,与えられた行列 に対して1つの正則な(=逆行列の存在する)変換行列 を見つけて,次の形で対角行列 にすることができれば, を計算することができる. …(*1. 1) ここで, だから,中央の掛け算が簡単になり 同様にして,一般に次の式が成り立つ. 両辺に左から を右から を掛けると …(*1. 2) このように, が対角行列となるように変形できる行列は, 対角化可能 な行列と呼ばれ上記の(*1. 1)を(*1. 2)の形に変形することによって, を求めることができる. 【例1. 1】 (1) (2) に対して, , とおくと すなわち が成り立つから に対して, , とおくと が成り立つ.すなわち ※上記の正則な変換行列 および対角行列 は固有ベクトルを束にしたものと固有値を対角成分に並べたものであるが,その求め方は後で解説する. 1. 2 対角化できる場合の対角行列の求め方(実際の計算) 2次の正方行列 が,固有値 ,固有ベクトル をもつとは 一次変換 の結果がベクトル の定数倍 になること,すなわち …(1) となることをいう. 同様にして,固有値 ,固有ベクトル をもつとは …(2) (1)(2)をまとめると次のように書ける.
ジョルダン標準形の意義 それでは、このジョルダン標準形にはどのような意義があるのでしょうか。それは以下の通りです。 ジョルダン標準形の意義 固有値と固有ベクトルが確認しやすくなる。 対角行列と同じようにべき乗の計算ができるようになる。 それぞれ解説します。 2. 1.