小中高校の数学教育活動に携わって20年になる。全国各地の学校に出向き、出前授業などをしてきた。その際、生徒から様々な質問を受けるが、大人が答えられなかったり、間違って答えたりするものも少なくない。子供のころに習った簡単なことでも、長い間に忘れてしまっているのだ。勉強の仕方に原因があることもある。今回は、そんな算数の問題の中からいくつか紹介しよう。 電卓でどんな数でも√を何度も押すとなぜ1になるの? 円周率は小数点にすると無限に続く 10年ほど前、静岡市内のある小学校で出前授業をしたときのことである。アンケートを取らせていただいたところ、6年生から興味深い質問があった。 「でんたくに√っていう記号があるけどなんですか。どんな数でも√をずっとやれば1になるのはなぜですか」 これは、たとえば81に対して、次々と正の平方根をとっていくと、9、3、1. 73…となって1に収束すること。あるいは0. 00000001に対して、次々と正の平方根をとっていくと、0. 0001、0. 01、0. 1、0. 316…となって1に収束すること、などを意味している。 どうしてこうなるのか。答えられる大人はかなり少ないと思う。大学の数学の範囲で説明できるが、電卓で遊んでいてそのことを発見した小学生のセンスには驚かされる。 「円周りつは、およそでなく何ですか?」というのもあった。ほとんどの大人は円周率の近似値3. 『GHS NIGHT APEX LEGENDS ～ELLYを倒したら10万円～EPISODE2』超豪華ゲストと一般参加チームが激突！：時事ドットコム. 14を知っているものの、円周率の定義をすぐ答えられる人は多くない。そんな質問をいきなり子供からされても返答に困り、「円周÷直径」をすっかり忘れていることに気付かされる。そこを突いた鋭い質問には感服した次第である。 実際、その後、学生を含む多くの大人の方々に「 円周率は何ですか。その定義(約束)を述べていただけますか 」と質問してみた。すると、「えっ、3. 14じゃないですか」という答えが多く、正解の「円周÷直径」が思いのほか少なかったのである。 ほかにも、大人が間違ったり説明できなかったりする問題がある。
そうなのか? どんなに数学が嫌いだった人でも、この結論には違和感を持つのではないでしょうか。もちろん私も同じです。すなわち、数学の本質は「計算」ではないということです。そこで、私の答えを1行で述べることにします。 数学とは、コトバの使い方を学ぶ学問。 この「コトバ」とは、もちろんあなたが認識する「言葉」と同義です。 わかっています。おそらくあなたは、「言葉の使い方を学ぶのは国語では?」という疑問を持ったことでしょう。もちろん、言葉の使い方を学ぶのは国語という見方も正しいのですが、私は数学もコトバの使い方を学ぶために勉強するものだと考えています。 こちらの記事は編集者の音声解説をお楽しみいただけます。popIn株式会社の音声プログラムpopIn Wave(最新3記事視聴無料)、またはオーディオブック聴き放題プラン月額750円(初月無料)をご利用ください。 popIn Wave
コジマです。 入試や採用の面接で、 「円周率の定義を説明してください」 と聞かれたらどのように答えるだろうか 彼のような答えが思いついた方、それは 「坂本龍馬って誰ですか?」と聞かれて「高知生まれです」とか「福山雅治が演じていました」とか答えるようなもの 。 いずれも正しいけれども、ここで答えて欲しいのは「円周率とはなんぞや」。坂本龍馬 is 誰?なら「倒幕のために薩長同盟を成立させた志士です」が答えだろう。 では、 円周率 is 何? ｢円周率とは何か｣と聞かれて｢3.14です｣は大間違いである それでは答えになっていない | PRESIDENT Online（プレジデントオンライン）. そんなに難しくないよ といっても、それほどややこしい話ではない。 円周率とは、 円の円周と直径の比 である。これだけ。 「比」が分かりづらかったら「円周を直径で割ったもの」でもいいし、「直径1の円の円周の長さ」としてもいいだろう。 円は直径が2倍になると円周も2倍になるので、この比は常に等しい。すべての円に共通の数字なので、円の面積の公式にも含まれるし、三角関数などとの関連から幾何学以外にも登場する。 計算するのは大変 これだけ知っていれば面接は問題ないのだが、せっかくなので3. 14……という数字がどのように求められるのかにも触れておこう。 定義のシンプルさとは裏腹に、 円周率を求めるのは結構難しい 。そもそも、円周率は 無限に続く小数 なので、ピッタリいくつ、と値を出すことはできない。 円周率を求めるためには、 円に近い正多角形の周の長さ を用いるのが原始的で分かりやすい方法である。 下の図のように、 円に内接する正6角形 の周の長さは円よりも短い。 正12角形 も同じく円よりも短いが、正6角形よりは長い。 頂点の数を増やしていけば限りなく円に近い正多角形になる ので、円周の長さを上手に近似できる、という寸法だ。 ちなみに、有名な大学入試問題 「円周率が3. 05より大きいことを証明せよ。」(東京大・2003) もこの方法で解ける。正8角形か正12角形を使ってみよう。 少し話題がそれたが、 「円周率は円周と直径の比」 。これだけは覚えておきたい。 分かっているつもりでも「説明して?」と言われると言語化できない、実は分かっていない、ということはよくあるので、これを機に振り返ってみるといいかもしれない。 この記事を書いた人 コジマ 京都大学大学院情報学研究科卒(2020年3月)※現在、新規の執筆は行っていません/Twitter→@KojimaQK
円の接線の作図がむちゃくちゃめんどっ! こんにちは、この記事をかいてるKenだよー! ボタンを掛け違えてちまったね。 円の接線 って知ってる?? 「直線と円が一点で交わっていること」を「接する」っていって、 さらに、その直線のことを「接線」、直線と円がまじわっている点のことを「接点」とよぶんだったね。 今日は、この「円の接線」の作図方法を解説していくよ。テスト前に確認してみてね^^ ~もくじ~ 円の接線の作図問題にみられる2つのパターン 円周上の点をとおる接線を作図する問題 外部の点をとおる接線を作図する問題 円の接線作図は2つのパターンしかない?? 「円の接線の作図」ってヤッカイそうだよね??? だけど、コイツらは意外にシンプル。 だいたい2つの種類にわけられるるんだ。「接線が通る点」の位置がちょっと違うだけさ。 「円周上の点」を通る接線の作図 「外部の点」をとおる接線の作図 「円周上の点」を通る接線の作図では1本の接線、 「外部の点」をとおる作図では2本の接線をひくことができるよ。 今日は2つの作図方法を確認していこう。作図のために必要なアイテムは、 コンパス 定規 だよ。準備はいいねー?? 「円周上の1点」をとおる円の接線の作図 「円周上の1点をとおる」円の接線の作図 からだね。 これは教科書にものっている基本の作図方法さ。 例題で作図をじっさいにしながら確認していこう。 例題。 点Aが接線となるように、この円の接線を作図しなさい。 作図方法はたったの2ステップなんだ。 Step1. 「円の中心O」と「点A」をむすぶっ! 「円の中心」と「接線が通る線」で直線をかこう! 円周率の定義. 例題でいうと、「点O」と「点A」を定規でむすぶだけ。 線分じゃなくて直線でいいよー Step2. 点Aをとおる「直線OAの垂線」を作図するっ! さっきの直線の垂線を作図してみよう。 垂線の書き方 を参考にして、「点Aをとおる直線OAの垂線」をかいてみよう。 コンパスをガンガン使っちゃってくれ^^ この垂線が「 円Oの接線 」だよ! ってことは作図終了だ! !おめでとう^^ なぜ、垂線を作図するのかというと、 円の接線の性質のひとつに、 円の接線は、その接点を通る半径に垂直である っていうものがあるからさ。 だから、円周上の点Aをとおる「線分OAの垂線」をひいてやれば、それは接線になるんだ。 つぎは2つ目の「 外部の点をとおる作図方法 」をみていこう。 例題をみながら解説していくよ。 例題 点Aをとおる円Oの接線を作図してください。 つぎの5ステップで作図できるよー Step1.
円周率の具体的な値を 10 進数表記すると上記の通り無限に続くことが知られているが、 実用上の値として円周率を用いる分には小数点以下 4 $\sim$ 5 桁程度を知っていれば十分である. 例えば直径 10cm の茶筒の側面に貼る和紙の長さを求めるとしよう。 この条件下で $\pi=3. 14159$ とした場合と $\pi=3. 141592$ とした場合とでの違いは $\pm 0. 002$mm 程度である。 実際にはそもそも直径の測定が定規を用いての計測となるであろうから その誤差が $\pm 0. 1$mm 程度となり、 用いる円周率の桁数が原因で出る誤差より十分に大きい。 また、桁数が必要になるスケールの大きな実例として円形に設計された素粒子加速器を考える. 面接官「円周率の定義を説明してください」……できる？. このような施設では直径が 1$\sim$9km という実例がある。 仮にこの直径の測定を mm 単位で正確に行えたとし、小数点以下 7 桁目が違っていたとすると 加速器の長さに出る誤差は 1mm 程度になる. さらに別の視点として、計算対象の円(のような形状) が数学的な意味での真円からどの程度違うかを考えることも重要である。 例えば 屋久島 の沿岸の長さを考えた場合、 その長さは $\pi=3$ とした場合も $\pi=3. 14$ とした場合とではどちらも正確な長さからは 1km 以上違っているだろう。 とはいえこのような形で円周率を使う場合は必要とする値の概数を知ることが目的であり、 本来の値の 5 倍や 1/10 倍といった「桁違い」の見積もりを出さないことが重要なので 桁数の大小を議論しても意味がない。
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