問題での相加相乗平均の使い方 公式が証明できたところで、公式を使って問題を解いてみましょう。 等号が成立する条件をきちんと示そう まずはこの問題を解いてみてください。 【問題1】x>0のとき、 の最小値を求めなさい。 【解説2】 問題を眺めていて、相加相乗平均が使えそうだな…と思う箇所はありませんか? そう、 ここです! 相加平均 相乗平均 調和平均 加重平均 ２乗平均. 相加相乗平均の不等式により、 と答えようとしたあなた、それを答案に書くと、大幅に減点されるでしょう。 x+1/x≧2 という式は、単に「2以上になる」と言っているだけで、「2が最小値である」とは一言も言っていません。つまり、最小値が3である可能性もあるわけです。 ですから、x+1/x=2、つまり等号成立条件を満たすxが存在することを証明しないと、(x+1/x)の最小値が2だから(x+1/x)+2の最小値が4〜なんてことは言えないのです。 における等号成立条件は、a=bでした。 つまり今回の等号成立条件は、 x=1/x ⇔x²=1かつx>0 ⇔x=1 となり、x+1/x=2を満たすxが存在することを示すことができました。 これを書いて初めて、最小値の話を持ち出すことができます。 この等号成立条件は書き忘れて大減点をくらいやすいところですので、くれぐれも注意してください。 【問題2】x>0のとき、 の最小値を求めなさい。 【解説2】x>0より、相加相乗平均の不等式を用いて、 等号成立条件は、 2/x=8x ⇔x²=¼ ⇔x=½ (∵x>0) よって、求める最小値は8である。 打ち消せるかたまりを探す! 【問題3】x>0, y>0のとき、 の最小値を求めなさい。 【解説3】 どこに相加相乗平均の不等式を使うかわかりますか? このままでは何をしても文字は打ち消されません。展開してみましょう。 x>0, y>0より、相加相乗平均の不等式を用いると、 等号成立条件は、 6xy=1/xy ⇔(xy)²=⅙ ⇔xy=1/√6(∵x>0かつy>0) よって、6xy+1/xyの最小値は2√6であるので、 (2x+1/y)(1/x+3y)=5+6xy+1/xyの最小値は、 2√6+5 打ち消せるかたまりがなかったら作る! 【問題4】x>-3のとき、 の最小値を求めよ。 【解説4】 これは一見、打ち消せる文字がありません。 しかし、もしもないのであれば、作ってしまえばいいのです!
最新情報を受け取ろう! 受験のミカタから最新の受験情報を配信中! この記事の執筆者 ニックネーム:やっすん 早稲田大学商学部4年 得意科目:数学
この記事は最終更新日から1年以上が経過しています。内容が古くなっているのでご注意ください。 はじめに 数学に出て来る数多くの公式の中でも有名である、相加相乗平均の不等式。 シンプルな形をしていて覚えやすいとは思いますが、あなたはこの公式を証明することはできますか? 相加相乗平均とは？公式・証明から使い方までが簡単に理解できます（練習問題付き）｜高校生向け受験応援メディア「受験のミカタ」. 単に式だけを覚えていて、なんで成り立つのかはわからない… というあなた。それはとても危険です。 相加相乗平均に限らず、公式がなぜ成り立つのかを理解しておかないと、公式が成り立つための条件などを意識することができず、それが答案上で失点へと結びついてしまいます。 この記事では、相加相乗平均を2つの方法で証明するだけでなく、文字が3つある場合の相加相乗平均の公式や、実際の問題を解く際の相加相乗平均の使い方についてお伝えします。 大学入試において、どうしても解けないと思った問題が、相加相乗平均を使ったらあっさり解けてしまった、ということは(本当に)よくあります。 この記事で相加相乗平均をマスターして、入試における武器にしてしまいましょう! 文字が2つのときの相加相乗平均の証明 ではまず、一番よく見るであろう、文字が2つのときの相加相乗平均について説明します。 そもそも「相加相乗平均」とは? そもそも「相加相乗平均」とはどういった公式なのでしょうか。 「相加相乗平均」とは実は略称であり、答案で書くべき名前は「相加相乗平均の不等式」です。 この公式を☆とおきます。 では、証明していきましょう! まずはオーソドックスな数式を使う相加相乗平均の証明 まずは数式で説明します。といっても簡単な証明です。 a≧0, b≧0のとき、 よって証明できました。 さて、☆にはなぜ、「a≧0かつb≧0」という条件が執拗なほどについてくるのでしょうか。 まず☆は√abを含んでいるので、この平方根を成立させるために、ab≧0である必要があります。 つまり (a≧0かつb≧0)または(a≦0かつb≦0) です。 しかし、a≦0かつb≦0のときを考えてみると、 (a+b)/2≧√ab≧0より、(a+b)/2は0以上でなければならないのにも関わらず、 (a+b)/2が0以上となるのはa=b=0のときのみですね。負の数に負の数を足したら負の数になるし、0に負の数を足しても負の数になることがその理由です。 そして、a=b=0は、「a≧0かつb≧0」に含まれています。 よって、☆が成り立つa, bの条件は、 a≧0かつb≧0 であるわけです。 問題を解いているときに、ついここを忘れて、負の数が入っているにも関わらず相加相乗平均を使ってしまい、まったく違う答えが出てしまったりします。 「相加相乗平均を使うときは、使う数がどっちも0以上でないといけない!!
←確認必須 このとき最小値 $\displaystyle \boldsymbol{25}$ ※以下は誤答です. $x>0$,$\dfrac{4}{x}>0$,$\dfrac{9}{x}>0$,(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)より $\displaystyle \geqq2\sqrt{x \cdot \dfrac{4}{x}}\cdot2\sqrt{x \cdot \dfrac{9}{x}}=24$ このとき最小値 $\displaystyle \boldsymbol{24}$ これは誤りです!左の等号は $x=2$ のとき,右の等号は $x=3$ のときなので,最小値 $24$ をとる $x$ が存在しません. (相加平均) ≧ (相乗平均) (基本編) | おいしい数学. だから等号成立確認が重要なのです. (5) $\dfrac{x^{2}+6}{\sqrt{3x^{2}+8}}$ $=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3x^{2}+18}{\sqrt{3x^{2}+8}}$ $=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3x^{2}+8+10}{\sqrt{3x^{2}+8}}$ $=\dfrac{1}{3}\left(\sqrt{3x^{2}+8}+\dfrac{10}{\sqrt{3x^{2}+8}}\right)$ $\sqrt{3x^{2}+8}>0$,$\dfrac{10}{\sqrt{3x^{2}+8}}>0$,(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)より $\dfrac{x^{2}+6}{\sqrt{3x^{2}+8}}$ $\displaystyle \geqq\dfrac{1}{3}\cdot2\sqrt{\sqrt{3x^{2}+8} \cdot \dfrac{10}{\sqrt{3x^{2}+8}}}=\dfrac{2}{3}\sqrt{10}$ 等号成立は $\displaystyle \sqrt{3x^{2}+8}=\dfrac{10}{\sqrt{3x^{2}+8}} \Longleftrightarrow x=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ のとき. ←確認必須 このとき最小値 $\displaystyle \boldsymbol{\dfrac{2}{3}\sqrt{10}}$ 練習問題 練習 $x>0$,$y>0$ とする. (1) $x+\dfrac{2}{x}\geqq2\sqrt{2}$ を示せ.
!」 と覚えておきましょう。 さて、 が成立するのはどんなときでしょうか。 より、 √a-√b=0 ⇔√a=√b ⇔a=b(∵a≧0, b≧0) のときに、 となることがわかります。 この等号成立条件は、実際に問題で相加相乗平均を使うときに必須ですので、おまけだと思わずしっかり理解してください! 実は図形を使っても相加相乗平均は証明できる!? さて、数式を使って相加相乗平均の不等式を証明してきましたが、実は図形を使うことで証明することもできます。 上の図をみてください。 円の中心をO、直径と円周が交わる点をA、Bとおき、 直線ABと垂直に交わり、点Oを通る直線と、円周の交点をCとおきます。 また、円周上の好きなところにPをおき、Pから直線ABに引いた垂線の足をHとおきます。 そして、 AH=a BH=b とおきます。 ただし、a≧0かつb≧0です。辺の長さが負の数になることはありえませんから、当たり前ですね。 このとき、Pを円周上のどこにおこうと、 OC≧PH になることは明らかです。 [直径]=[AH+BH]=a+b より、 OC=[半径]=(a+b)/2 ですね。 ということは、PH=√ab が示せれば、相加相乗平均の不等式が証明できると思いませんか? 【高校数学Ⅱ】「相加・相乗平均の大小関係の活用」 | 映像授業のTry IT (トライイット). やってみましょう。 PH=xとおきます。 三平方の定理より、 BP²=x²+b² AP²=a²+x² ですね。 また、線分ABは円の直径であり、Pは円周上の点であるので、 ∠APBは直角です。 そこで三角形APBに三平方の定理を用いると、 AB²=AP²+BP² ⇔(a+b)²=2x²+b²+a² ⇔2x²=a²+2ab+b²-(a²+b²) ⇔2x²=2ab ⇔x²=ab ⇔x=√ab(a≧0, b≧0) よって、PH=√abを示すことができ、 ゆえに、 を示すことができました! 等号成立条件は、OC=PH、つまり Hが線分ABの中点Oと重なるときですから、 a=b です!
まず、 x 3 +y 3 +z 3 -3xyz = (x+y+z)(x 2 +y 2 +z 2 -xy-yz-zx)・・・① です。ここで、x>0、y>0、z>0の時、①の右辺は、 x 2 +y 2 +z 2 -xy-yz-zx =(2x 2 +2y 2 +2z 2 -2xy-2yz-2zx)/2 ={(x-y) 2 +(y-z) 2 +(z-x) 2}/2≧0 となります。よって、①より x 3 +y 3 +z 3 -3xyz≧0となりますね。 式を変形して、 (x 3 +y 3 +z 3)/3≧xyz・・・② となります。 ここで、x=a 1/3 、y=b 1/3 、z=c 1/3 とおくと、②は、 (a+b+c)/3≧(abc) 1/3 となることがわかりました。 等号は、 x=y、y=z、z=xの時、すなわちa=b=cの時に成り立つことがわかります。 変数が3つの場合の相加相乗平均の証明は以上になります。 次の章では、相加相乗平均の問題をいくつか出題します。ぜひ解いてみてください! 6:相加相乗平均の問題 では、早速相加相乗平均の問題を解いていきましょう! 問題① a>0、b>0とする。 この時、(b/a)+(a/b)≧2となることを証明せよ。 (b/a)+(a/b)≧2・√(b/a)・(a/b) (b/a)+(a/b)≧2 となります。よって示された。 問題② この時、ab+(9/ab)≧6となることを証明せよ。 ab+(9/ab)≧2・√ab・(9/ab) ab+(9/ab)≧6 となる。よって、示された。 問題③ この時、(2a+b)(2/a+1/b)≧9となることを証明せよ。 まずは、 (2a+b)(2/a+2/b)≧9 の左辺を展開してみましょう。すると、 4+(2a/b)+(2b/a)+1≧9 (2a/b)+(2b/a)≧4 より、両辺を2で割って、 (a/b)+(b/a)≧2 となります。すると、問題①と同じになりましたね。 (a/b)+(b/a)≧2・√(a/b)・(b/a) なので、 が証明されました。 まとめ 相加相乗平均の公式や使い方が理解できましたか? 相加平均 相乗平均 違い. 相加相乗平均は高校数学で忘れがちな公式の1つ です。 相加相乗平均を忘れてしまったときは、また本記事で相加相乗平均を復習しましょう! アンケートにご協力ください!【外部検定利用入試に関するアンケート】 ※アンケート実施期間:2021年1月13日~ 受験のミカタでは、読者の皆様により有益な情報を届けるため、中高生の学習事情についてのアンケート調査を行っています。今回はアンケートに答えてくれた方から 10名様に500円分の図書カードをプレゼント いたします。 受験生の勉強に役立つLINEスタンプ発売中!
「面接で座右の銘を聞かれるっていうけど、どんなこと話せばいいの…?」 「座右の銘なんて意識したことないよ…」 皆さんは日常生活を送る中で座右の銘について真剣に考えたことがありますか?言葉こそ知っていても、いざ自分の座右の銘は何かと尋ねられるとなかなか答えられないものです。 しかし就活ではこの座右の銘がとてもよく尋ねられます。そこで今回の記事では、面接でおすすめな座右の銘を一覧形式でご紹介いたします。 座右の銘ってそもそも何? なんで面接でそんなこと聞かれるの? どんな言葉を選んだらいいんだろう…? 上手く面接で伝えるためにはどう受け答えすればいいの? といった疑問に、例文を用いながらお答えしていきますよ! そもそも座右の銘とは? 「座右の銘」の意味とは？ 自己アピールに使える名言集 | ビジネスマナー | ビジネス用語 | フレッシャーズ マイナビ 学生の窓口. 「そもそも座右の銘とは何か?」と尋ねられて正確に答えられる人は少ないかもしれません。小学館発行の大辞泉によれば、座右の銘とは「いつも自分の座る場所のそばに書き記しておいて、戒めとする文句」と定義づけられています。言い換えれば、 いつも意識しておきたい心がけ 、といった具合でしょうか。 座右の銘というと多くの人が四字熟語を想起するようですが、座右の銘は決して四字熟語に限ったものではありません。ことわざや偉人の言葉などから選んでも良いのです。 自分の信念や想いに合った座右の銘を一緒に見つけていきましょう! 面接で座右の銘を聞く意図は? 日常生活で座右の銘を聞かれることはほとんどありませんが、なぜ就活では定番の質問として扱われるのでしょうか? 面接で座右の銘を聞く意図は主に、 人柄や価値観を理解するため 受け答えの一貫性の確認 の2点にあることを押さえておきましょう。以下で詳しく説明していきます。 また同じ目的をもって、 座右の銘の代わりに信念を尋ねる企業も多く見受けられます。 以下の記事では面接で「大切にしている信念」について尋ねられた際の対策についてご紹介しているので、合わせてご覧くださいね!
(スマイルプリキュア!) 6 意味の無いことをたくさんするのが人生なんじゃよ (ちびまる子ちゃん) 7 本気の失敗には価値がある (宇宙兄弟) 8 負けたことがあるというのが、いつか大きな財産になる (スラムダンク) 座右の銘にしたい海外の名言8選 日本のことわざとは違って、海外のことわざにはちょっと独特の言い回しがありかもしれません。文化が違うので、例え話も少しピンとこないところがあるようです。しかし、聞きなれない言葉だと耳に残りやすいという利点もあります。 1 意志をもつものに力あり (フランス) 2 毛布が小さければ、体を丸めよ (フィリピン) 3 濡れている者は雨を恐れない 裸の者は盗賊を恐れない (ロシア) 4 楽しい人には草も花、いじけた人には花も草 (フィンランド) 5 好機は卵と同じく、一つずつやってくる (アメリカ) 6 耳は二つで口は一つ 自分が話す二倍聞け (トルコ) 7 一度道に迷うよりも、二度尋ねる方が良い (デンマーク) 8 早く進みたければ一人で行け 遠くに進みたければみんなで行け (アフリカ) 座右の銘を間違えたら恥ずかしい!意味や使い方をしっかり覚えよう! ここまで、座右の銘の語源をはじめ、意味や使い方を調べてきました。なんとなく、座右の銘という言葉は知っていても、自分のために座右の銘を選ぼうと思うことはなかったかもしれません。 しかし、自分が悩んだりこまったりしたときに、ふと思い返して力に出来る言葉があるということは、座右の銘がある人と無い人とで心の在り方がずいぶん違ってくるのではないでしょうか。 座右の銘を言う場面は、大事な時や知らない人の前で披露することが多いでしょう。大切な場面で座右の銘の意味や使い方を間違えていると信用にかかわることがあるかもしれません。自分の座右の銘を決めるときは、その意味や語源をしっかりと理解し、それをもとに自ら行動に移すことも大事なのではないでしょうか。 LINEの一言にしたい!かっこいい名言や可愛い言葉50選【おしゃれ】 LINEのひとこと機能を知っていますか?かわいいひとことやかっこいいひとことを設定している方...
あなたは自分の座右の銘を持っていますか?そもそも座右の銘とは何でしょうか?ここでは、かっこいい四字熟語や名言、ことわざの例を言葉の意味もあわせて、ご紹介して参ります。また、座右の銘という言葉自体の意味についても、ご説明して参ります。 座右の銘とは?意味は? 座右の銘の意味とは「自分自身の戒めの言葉」 『座右の銘』とは、「自分時自身にとっての戒めの言葉」という意味です。人間はついつい楽な方へと流されてしまう生き物です。努力や頑張るということを忘れてしまいます。そんな時、自分が始めた理由や志を思い出して努力することや頑張ることの大切さを思い出す為の言葉を指して、『座右の銘』と言います。 座右の銘とは「人生の方向性を思い出す為の言葉」 『座右の銘』とは、「人生の方向性を思い出す為の言葉」という意味もあります。ひとつの目標に向かって努力を重ねていると、方向性を見失ってしまうことがあります。状況や周囲の人たちからの様々な声に惑わされてしまうのです。そんな時、一度立ち止まって初心に帰る為の言葉を、座右の銘という場合もあります。 人生に迷った時に指針となる名言もあります。記事をご紹介いたします。人生における選択を迫られた時などに、参考にされると良いかもしれません。 自分の座右の銘におすすめのかっこいい言葉7例!