マクローリンの不等式 相加平均と相乗平均の1つの拡張 – Y-SAPIX|東大・京大・医学部・難関大学現役突破塾 「マクローリンの不等式 相加平均と相乗平均の1つの拡張」に関する解説 相加平均と相乗平均の関係の不等式は一般にn変数で成立することはご存じの方が多いでしょう。また、そのことの証明は様々な誘導つきでこれまでに何度も大学入試で出題されています。実はn変数の相加平均と相乗平均の不等式は、さらにマクローリンの不等式という不等式に拡張できます。今回はそのマクローリンの不等式について解説します。 キーワード:対称式 相加平均と相乗平均の大小関係 マクローリンの不等式
最新情報を受け取ろう! 受験のミカタから最新の受験情報を配信中! この記事の執筆者 ニックネーム:やっすん 早稲田大学商学部4年 得意科目:数学
この記事は最終更新日から1年以上が経過しています。内容が古くなっているのでご注意ください。 はじめに 数学に出て来る数多くの公式の中でも有名である、相加相乗平均の不等式。 シンプルな形をしていて覚えやすいとは思いますが、あなたはこの公式を証明することはできますか? 不等式の証明で相加平均と相乗平均の大小関係を使うコツ｜数学｜苦手解決Q&A｜進研ゼミ高校講座. 単に式だけを覚えていて、なんで成り立つのかはわからない… というあなた。それはとても危険です。 相加相乗平均に限らず、公式がなぜ成り立つのかを理解しておかないと、公式が成り立つための条件などを意識することができず、それが答案上で失点へと結びついてしまいます。 この記事では、相加相乗平均を2つの方法で証明するだけでなく、文字が3つある場合の相加相乗平均の公式や、実際の問題を解く際の相加相乗平均の使い方についてお伝えします。 大学入試において、どうしても解けないと思った問題が、相加相乗平均を使ったらあっさり解けてしまった、ということは(本当に)よくあります。 この記事で相加相乗平均をマスターして、入試における武器にしてしまいましょう! 文字が2つのときの相加相乗平均の証明 ではまず、一番よく見るであろう、文字が2つのときの相加相乗平均について説明します。 そもそも「相加相乗平均」とは? そもそも「相加相乗平均」とはどういった公式なのでしょうか。 「相加相乗平均」とは実は略称であり、答案で書くべき名前は「相加相乗平均の不等式」です。 この公式を☆とおきます。 では、証明していきましょう! まずはオーソドックスな数式を使う相加相乗平均の証明 まずは数式で説明します。といっても簡単な証明です。 a≧0, b≧0のとき、 よって証明できました。 さて、☆にはなぜ、「a≧0かつb≧0」という条件が執拗なほどについてくるのでしょうか。 まず☆は√abを含んでいるので、この平方根を成立させるために、ab≧0である必要があります。 つまり (a≧0かつb≧0)または(a≦0かつb≦0) です。 しかし、a≦0かつb≦0のときを考えてみると、 (a+b)/2≧√ab≧0より、(a+b)/2は0以上でなければならないのにも関わらず、 (a+b)/2が0以上となるのはa=b=0のときのみですね。負の数に負の数を足したら負の数になるし、0に負の数を足しても負の数になることがその理由です。 そして、a=b=0は、「a≧0かつb≧0」に含まれています。 よって、☆が成り立つa, bの条件は、 a≧0かつb≧0 であるわけです。 問題を解いているときに、ついここを忘れて、負の数が入っているにも関わらず相加相乗平均を使ってしまい、まったく違う答えが出てしまったりします。 「相加相乗平均を使うときは、使う数がどっちも0以上でないといけない!!
とおきます。このとき、 となります。 x>-3より、相加相乗平均を用いて、 等号成立条件は、 x+3=1/(x+3) ⇔(x+3)²=1 ⇔x+3=±1 ⇔x=-2(∵x>-3) よって、A+3の最小値は1であるので、求める値であるAの最小値は-2 【問題5】x>0のとき、 の最小値を求めなさい。 【解説5】 x>0より、相加相乗平均を用いて、 等号成立条件は、 x=x=1/x² ⇔x³=1 ⇔x=1 よって、求める最小値は 3
←確認必須 このとき最小値 $\displaystyle \boldsymbol{25}$ ※以下は誤答です. $x>0$,$\dfrac{4}{x}>0$,$\dfrac{9}{x}>0$,(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)より $\displaystyle \geqq2\sqrt{x \cdot \dfrac{4}{x}}\cdot2\sqrt{x \cdot \dfrac{9}{x}}=24$ このとき最小値 $\displaystyle \boldsymbol{24}$ これは誤りです!左の等号は $x=2$ のとき,右の等号は $x=3$ のときなので,最小値 $24$ をとる $x$ が存在しません. だから等号成立確認が重要なのです. (5) $\dfrac{x^{2}+6}{\sqrt{3x^{2}+8}}$ $=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3x^{2}+18}{\sqrt{3x^{2}+8}}$ $=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3x^{2}+8+10}{\sqrt{3x^{2}+8}}$ $=\dfrac{1}{3}\left(\sqrt{3x^{2}+8}+\dfrac{10}{\sqrt{3x^{2}+8}}\right)$ $\sqrt{3x^{2}+8}>0$,$\dfrac{10}{\sqrt{3x^{2}+8}}>0$,(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)より $\dfrac{x^{2}+6}{\sqrt{3x^{2}+8}}$ $\displaystyle \geqq\dfrac{1}{3}\cdot2\sqrt{\sqrt{3x^{2}+8} \cdot \dfrac{10}{\sqrt{3x^{2}+8}}}=\dfrac{2}{3}\sqrt{10}$ 等号成立は $\displaystyle \sqrt{3x^{2}+8}=\dfrac{10}{\sqrt{3x^{2}+8}} \Longleftrightarrow x=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ のとき. 【高校数学Ⅱ】「相加・相乗平均の大小関係の活用」 | 映像授業のTry IT (トライイット). ←確認必須 このとき最小値 $\displaystyle \boldsymbol{\dfrac{2}{3}\sqrt{10}}$ 練習問題 練習 $x>0$,$y>0$ とする. (1) $x+\dfrac{2}{x}\geqq2\sqrt{2}$ を示せ.
はじめに 食費を浮かせるためとはいえ、ランチを安いカップ麺で済ませていると、ちょっぴり飽きてしまいませんか? そんな貴方は必見!身近な食材や調味料を加えるだけで、いつものカップ麺やインスタントラーメンが劇的に美味しくなる簡単アレンジ方法をご紹介します。 一瞬で激ウマになる「チョイ足し」アレンジ!人気の食材は? ほんのひと手間加えるだけで本格的な味わいを楽しめたり、自分好みの味が作れる 「チョイ足し」 。 皆さんの中にも試したことのある方がいらっしゃると思います。 女性総合サイト 「マイナビウーマン」 では、読者の方に聞いたカップラーメンを激ウマに変身させるチョイ足しアレンジを掲載しています。 人気を集めたのはどんな食材でしょうか?それぞれのコメントとともにご紹介します。 1位 ごま油 「まったりとコクが出るから」 「ごま油は一発でおいしさアップした気になれる」 2位 チーズ 「お湯を少な目にしてとろけるチーズを入れるのが濃厚好きにはオススメです」 「味が濃厚になる」 3位 海苔 「海苔を入れるだけで普通のラーメンのように感じる」 「海苔をいれると贅沢な気持ちになる」 4位 ネギ 「何にでも合う万能の薬味だから」 「ほぼ必ず入れる」 5位 たまご 「袋めんに対しては必ず入れて、栄養バランスにも気を付けています」 「半熟たまごを入れるだけで本格的になる」 1位は風味がよく、コクもUPするごま油!ラーメンとの相性は抜群ですね。 チーズはカレー味など辛味のあるラーメンとよく合いそうです。 海苔やネギは、ラーメンのトッピングの定番ですよね。 普通じゃ物足りない貴方は、 こんな「チョイ足し」はいかが? インスタントラーメンの簡単レシピランキング TOP20(1位～20位)｜楽天レシピ. 続いては、想像しただけで美味しさが伝わるものからちょっぴり勇気がいるものまで、定番のアレンジに飽きてしまった方にぜひ試していただきたい「チョイ足し」をご紹介します。 醤油ラーメン + ○○ = みんな大好きなあの味! カップヌードルの醤油味に、大量のケチャップ(もしくはトマトジュース)を混ぜると、 スパゲッティのナポリタンの味 になります。 普通の味噌ラーメンに飽きたら! 通常どおりの手順で味噌ラーメンを作り、できあがり寸前で市販の ピーナッツバター を大さじ1杯~2杯程度入れます。 ピーナッツの香ばしい香りが味噌ラーメンにマッチして、未体験な味を食べることができます。 納豆好きにはたまらない?
トッピングには、サラダチキンやプチトマト、水菜などでバランスよく。ポイントはタンパク質(チキンや卵など)とビタミン(野菜類)を加えること。夏バテで食欲が無い時に麺だけにしてしまうと、夏バテが悪化してしまうので、もりもり食べましょう!ちなみに、夏バテ解消メニューはこちらもご覧ください。 塩味インスタントラーメンのアレンジ⑤【冷やしスダチら~めん】 冷やし系アレンジが続きます。塩ラーメンはさっぱりしているので、冷たいものとの相性が良いですね。そして、さらにサッパリしたい!そんな時におすすめなのが「すだち」です。柑橘系のさわやかな香り・酸味と、塩が絶妙なハーモニーを生み出します!即席ラーメンだとは思えない味に。 袋麺アレンジレシピ5選!美味しい即席ラーメンの食べ方は?【豚骨】 とんこつ味即席ラーメンの食べ方①【紅生姜と小口ネギ】 とんこつ味の袋麺と言えば「うまかっちゃん」。もちろん、これだけで食べても美味しいのは間違いないのですが、やぱりトッピングがあるだけで気分が上がりますね。 とんこつラーメンには欠かせない、紅ショウガと小口ネギ。単純にこれだけでも、あの屋台の味が再現されます!出来たらチャーシューも欲しいところ。実は、チャーシューも自家製が簡単に作れるのです!自家製チャーシューのレシピは以下を参照して下さい! 自家製チャーシューの作り方 豚ロース肉の表面を強火で焼き色がつくまで焼く。 焼き肉のたれ・酒・醤油を1:1:1の割合で混ぜ、ひと煮立ちさせる ジップロックに調味料とお肉を入れ、空気を抜き真空状態にする。ストロー等を使えば、真空状態にしやすい。 熱湯を入れた炊飯器にお肉と調味料が入ったジップロックを沈ませ、保温で5時間ほど放置して完成!
ネットの掲示板で話題となっている「カップラーメンの美味しい食べ方」をご存じだろうか。 発端は「 カップラーメンの美味しい食べ方を極めたからちょっと来い!!!