2−2 × 0−2=0 だから (2, 0) は x−2y−2=0 上にある. 2−2 × (−1)−2 ≠ 0 だから x−2y−2=0 上にない. 2−2 × (−2)−2 ≠ 0 だから x−2y−2=0 上にない. ■ 1つの x に対応する y が2つあるとき ○ 右図3のように,1つの x に対応する y が2つあるグラフの方程式は, y=f(x) の形(陽関数)で書けば y= と y=− すなわち, y= ± となり,1つの陽関数 y=f(x) にはまとめられない. ( y が2つあるから) 陰関数を用いれば, y 2 =x あるいは x−y 2 =0 と書くことができる. ○ 右図4は原点を中心とする半径5の円のグラフであるが,この円は縦線と2箇所で交わるので,1つの x に対応する y が2つあり,円の方程式は1つの陽関数では表せない. ○ 右図5において,原点を中心とする半径5の円の方程式を求めてみよう. 円周上の点 P の座標を (x, y) とおくと,ピタゴラスの定理(三平方の定理)により, x 2 +y 2 =5 2 …(A) が成り立つ. 上半円については, y ≧ 0 なので, y= …(B) 下半円については, y ≦ 0 なので, y=− …(C) と書けるが,通常は円の方程式を(A)の形で表す. ※ 点 (3, 4) は, 3 2 +4 2 =5 2 を満たすのでこの円周上にある. また,点 (3, −4) も, 3 2 +(−4) 2 =5 2 を満たすのでこの円周上にある. さらに,点 (1, 2) も, 1 2 +(2) 2 =5 2 を満たすのでこの円周上にある. しかし,点 (3, 2) は, 3 2 +2 2 =13 ≠ 5 2 を満たすのでこの円周上にないことが分かる. 円の中心の座標の求め方. 図3 図4 図5 ■ 円の方程式 原点を中心とする半径 r の円(円周)の方程式は x 2 +y 2 =r 2 …(1) 点 (a, b) を中心とする半径 r の円(円周)の方程式は (x−a) 2 +(y−b) 2 =r 2 …(2) ※ 初歩的な注意 ○ (2)において,点 (a, b) を中心とする半径 r の円の方程式が (x−a) 2 +(y−b) 2 =r 2 点 (−a, −b) を中心とする半径 r の円の方程式が (x+a) 2 +(y+b) 2 =r 2 点 (a, −b) を中心とする半径 r の円の方程式が (x−a) 2 +(y+b) 2 =r 2 のように,中心の座標 (a, b) は,円の方程式では見かけ上の符号が逆になる点に注意.
○ (1)(2)とも右辺は r 2 なので, 半径が 2 → 右辺は 4 半径が 3 → 右辺は 9 半径が 4 → 右辺は 16 半径が → 右辺は 2 半径が → 右辺は 3 などになる点に注意 (証明) (1)← 原点を中心とする半径 r の円周上の点を P(x, y) とおくと,直角三角形の横の長さが x ,縦の長さが y の直角三角形の斜辺の長さが r となるのだから, x 2 +y 2 =r 2 (別の証明):2点間の距離の公式 2点 A(a, b), B(c, d) 間の距離は, を用いても,直ちに示せる. =r より x 2 +y 2 =r 2 ※ 点 P が座標軸上(通俗的に言えば,赤道上または北極,南極の場所)にあるとき,直角三角形にならないが,たとえば x 軸上の点 (r, 0) についても, r 2 +0 2 =r 2 が成り立つ.このように,座標軸上の点については直角三角形はできないが,この方程式は成り立つ. ※ 点 P が第2,第3,第4象限にあるとき, x, y 座標が負になることがあるので,正確に言えば,直角三角形の横の長さが |x| ,縦の長さが |y| とすべきであるが,このように説明すると経験上,半数以上の生徒が授業を聞く意欲をなくすようである(絶対値アレルギー? ). 円の中心の座標 計測. (1)においては, x, y が正でも負でも2乗するので結果はこれでよい. (2)← 2点 A(a, b), P(x, y) 間の距離は, だから,この値が r に等しいことが円周上にある条件となる. =r より 例題 (1) 原点を中心とする半径4の円の方程式を求めよ. (解答) x 2 +y 2 =16 (2) 点 (−5, 3) を中心とする半径 2 の円の方程式を求めよ (解答) (x+5) 2 +(y−3) 2 =4 (3) 円 (x−4) 2 +(y+1) 2 =9 の中心の座標と半径を求めよ. (解答) 中心の座標 (4, −1) ,半径 3
単位円を用いた三角比の定義: 1. 単位円(中心が原点で半径 $1$ の円)を書く 2. 「$x$ 軸の正の部分」を $\theta$ だけ反時計周りに回転させた線 と単位円の 交点 の座標を $(x, y)$ とおく 3.
四角形のコーナーから離れた位置の座標を指定したいとき、その座標に補助線や点を描いて指示する方法があります。けど毎回、補助線などを描いてから座標を指定するのは面倒ですよね。 補助線や点などを描かずに座標を指定する方法は、 AutoCAD にはいくつか搭載されていました。 そのなかから[基点設定]を使い、円の中心点を座標を指定して作図してみました。 [円]コマンドを実行する! 今回はコーナーからの座標を指定して円を描いてみました。 中心点を指定して円を描く[円]コマンドは、リボンメニューの[ホーム]タブ-[作図]パネルのなかにあります。 [基点設定]を実行する! AutoCADでコーナーからの座標を指定して作図してみました！ | CAD百貨ブログ- CAD機能万覚帳 –. コーナーから離れた座標を指定するにはオブジェクトスナップのオプション[基点設定]を使います。 マウスの右ボタンを押して、[優先オブジェクトスナップ]-[基点設定]を選択すると実行されました。 コーナーを指示する! 基準にするコーナーをクリックします。 座標値を入力する! コーナーからのXYの座標値を入力して円の中心点の位置を指示します。 座標値を入力するとき最初に「@」を入力する必要があるので気をつけなければなりません。 径を入力する! 中心点の位置が決まったら、径の値を入力すれば円が作図されます。 寸法線を記入してみると指定した座標の位置に円の中心点があるのを確認できました。 ここでは円の中心点を指示するときに[基点設定]オプションを使いましたが、もちろん他のコマンドで点を指示するときにも使えます。 角や交点や中心点などを基点に、座標を指定して点を指示したいとき役立つ機能ですね。 【動画で見てみましょう】
【お知らせ】 なばなの里イルミネーションに伴う、急行列車の近鉄長島駅臨時停車のご案内は こちら をご覧ください。 閉じる
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