今回は高校数学Ⅰで学習する二次関数の単元から 頂点を求める方法 について解説していきます。 二次関数の頂点を求めるためには、平方完成という計算が必要になります。 この平方完成がひじょーにメンドイよね(^^;) 分数やマイナスなどが式に含まれていると、計算が複雑になるし… というわけで、今回の記事では 平方完成をせずに頂点を求める公式は? 平方完成をする場合にはどのようにする? について、イチから解説していきます。 【二次関数の頂点】平方完成のやり方は? 二次関数の頂点は、式を次のように表すことで求めることができます。 二次関数の頂点 $$y=a(x-p)^2+q$$ 頂点 \((p, q)\) 軸 \(x=p\) では、二次関数の式を\(y=a(x-p)^2+q\) の形にするためには、どのような計算をしていけばよいのでしょうか。 次の二次関数を例に、平方完成のやり方を確認しておきましょう。 次の二次関数の頂点を求めなさい。 $$y=2x^2+4x+3$$ 平方完成の手順 \(x^2\)の係数で、\(x^2\)と\(x\)の項をくくってやります。 \(x\)の項の係数を半分にして、その数の二乗を引きます。 くくっていた数を分配法則で計算してやれば完成! 以上より、\(y=2x^2+4x+3\) の頂点は\((-1, 1)\)、軸は\(x=-1\) だと分かりました。 二次関数の頂点は、上で紹介したような手順で求めることができます。 すこし計算が複雑ではあるんだけど、そこはたくさん練習してカバーしていこう! いやいや…こんな複雑な手順やりたくないんですけど… もうちょっとラクにできませんか? 高校数学 二次関数 プリント. という方は、次の章にて平方完成をせずに頂点を求める方法について紹介しておきます。 平方完成の手順をもう少し練習したいぜ! という方は最後の章に演習問題を用意しておきますね(^^) 【二次関数の頂点】求めるための公式は?? 平方完成なんてやってらんねぇ…って方は次の公式を覚えておくといいでしょう。 二次関数の頂点を求める公式 $$y=ax^2+bx+c$$ $$頂点 \left(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2-4ac}{4a} \right)$$ $$軸 x=-\frac{b}{2a}$$ この公式に、二次関数の係数を代入することで頂点を求めることができます。 では、次の二次関数の頂点を公式を用いて求めてみましょう。 次の二次関数の頂点を求めなさい。 $$y=2x^2+4x+3$$ 二次関数の式から、\(a=2, b=4, c=3\) となります。これを用いて $$-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot 2}=-1$$ $$-\frac{b^2-4ac}{4a}=-\frac{4^2-4\cdot 2\cdot 3}{4\cdot 2}=1$$ よって、頂点は\((-1, 1)\)、軸は \(x=-1\) となります。 先ほどの複雑だった平方完成に比べたら、かなりラクになりましたね!
グラフが描けたら、二次関数の最大値・最小値問題にアプローチすることも可能になります。 二次関数の最大値・最小値についてはこの記事で扱っているので、こちらもぜひご覧ください。
平方完成の手順を忘れてしまった方はこちらをご参考ください^^ 頂点を求める練習もしておきましょう! 二変数の二次関数 | 高校数学の美しい物語. 次の二次関数の頂点を求めなさい。 (1)\(y=(x+4)^2+1\) 解説&答えはこちら 最初から平方完成されている式であればラッキーですね(^^) 頂点は\((-4, 1)\) ということがすぐに読み取れたはず! (2)\(y=2x^2+4x-5\) 解説&答えはこちら 平方完成をして、頂点が分かる形に変形してやりましょう。 $$y=2x^2+4x-5$$ $$=2(x^2+2x)-5$$ $$=2\{(x+1)^2-1\}-5$$ $$=2(x+1)^2-2-5$$ $$=2(x+1)^2-7$$ よって、 頂点は\((-1, -7)\) ということが分かりますね! 二次関数の式に分数がでてきて、平方完成に困っている方はこちらの記事を参考にしてください(^^) 【平方完成】分数でくくるパターンの問題の解き方を解説!
だけど、いくら平方完成がメンドイからといっても、やはり手順は身につけておくべきです。 この公式を使って頂点を求める場合であっても、必ず平方完成の手順は理解しておくようにしましょう。 実際に、この公式だって次のような平方完成によって導かれているわけだからね(^^) $$\begin{eqnarray}ax^2+bx+c&=&a\left( x^2+\frac{b}{a}x \right) +c\\[5pt]&=&a\left( x+\frac{b}{2a}\right)^2-a\left(\frac{b}{2a} \right)^2+c\\[5pt]&=&a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a} \end{eqnarray}$$ 【二次関数の頂点】式に分数がある場合には? ここからは、平方完成を用いて頂点を求める場合について解説していきます。 次の関数の頂点を求めなさい。 $$y=\frac{2}{3}x^2-2x+3$$ 分数がある場合には、難易度がぐっと高くなりますね。 今回の場合では、\(x^2\) の係数である\(\displaystyle{\frac{2}{3}}\) でくくりだす必要があります。 こんな感じです。 分数でくくりだすときには、一方の数も分数の形で表し通分してやると分かりやすくなります。 くくりだしができたら、あとは今までと同じ手順でやっていけばOK! $$=\frac{2}{3} \left( x-\frac{3}{2} \right)^2-\frac{9}{4}\times \frac{2}{3}+3$$ $$=\frac{2}{3} \left( x-\frac{3}{2} \right)^2-\frac{3}{2}+3$$ $$=\frac{2}{3} \left( x-\frac{3}{2} \right)^2-\frac{3}{2}+\frac{6}{2}$$ $$=\frac{2}{3} \left( x-\frac{3}{2} \right)^2+\frac{3}{2}$$ よって、二次関数の頂点は、\(\displaystyle{\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right)}\) となります。 分数の平方完成について、もっと詳しく知りたい方はこちらの記事をご参考に!
427(比率) = 1385px (縦のピクセルの総数) となります。余白の縦のピクセル数を計算して、 10. 1px × 10mm = 101px(余白の縦のピクセル数) 1385px - 101px = 1284px(印刷される縦のピクセル数) となり、印刷される範囲は、縦1284px × 横900px です。 縦幅が足りていないので、「カレンダー(すずめ)」を 横971px × 縦1385pxにペーストすると、次のようになります。 この絵は背景が白なので、日付や雀の位置などを移動させて見栄えを修正出来ますが、一面に模様が入っている画像だとそうもいかないので、左右は諦めて、上下が入るように気をつけます。 縦幅を全部入れたいときは、印刷したい範囲が127mmから135mmに収まるようにします。取りあえず縦127mmで計算します。 縦1186px ÷ 127mm = 9. 3px (1mmあたりのピクセル数) そして、縦方向の余白を10mmと定めたので、 9. 3px × 10mm = 93px (余白の縦のピクセル数) 1186px + 93px = 1279px (縦のピクセルの総数) 印刷される範囲はL版と同じ横縦の比率なので、 縦1279px ÷ 1. 427 = 896px (横のピクセルの総数) となります。余白の横のピクセル数を計算して、 9. 3px × 7mm = 65px(余白の横のピクセル数) 896px - 65px = 831px(印刷される横のピクセル数) 「カレンダー(すずめ)」を 横896px × 縦1278px にペーストすると、 絵の両端(薄紫色の部分)が余白に被りましたが、右下のハンコさえ切れなければ、特に支障ないです。下方向に枝と結晶を足す程度で済みます。 余談ですが、このデータ(比率 1 : 1. 427 )と、元々の画像の比率を保ったまま余白をつけたもの(比率 1 : 1. ネットプリントL版（画像解像度やサイズ）※不定期更新｜もちだみわ｜note. 32 )とを見比べたところ、このデータの方が若干色が薄く印刷されます。比率が変わったせいなのか、それとも、ピクセルを足し過ぎているのか、理由は定かではありません。 ◆ 余白を絵で埋める ◆ base の紫色の領域を絵で埋めるため、若干拡大した画像を下に重ねます。拡大率はかなり適当です。 薄紫色の部分が重ねた画像です。拘ると無駄に時間を食うので、目立つところだけをざっくり修正します。 こんな感じで、作業完了です。 計算すれば分かることを、しばらく目測でやっていたため、結局30枚くらい刷りました。えらい遠回りでした。 解像度と画素数の違いや、dpiから実寸を導く計算式などは、画像を出力したいのなら知っていた方が便利だなと改めて感じました。 ◆ 参考資料 ◆ みんなの知識【ちょっと便利帳】(用紙サイズのピクセル値変換ツール) 画像サイズ px(画素数) ◆ 名刺 はがき A4 55× 91mm 100×148mm 210×297mm 横240 × 320(7.
写真をプリントしたら不自然に端が切れてしまい残念な仕上がりに・・・という経験はありませんか? 上の集合写真は、実際には両端の人物もおさまっているのにプリントしたら見切れてしまいました。 というわけで、今回は写真プリントの困った端切れを検証します。実際にコンビニでプリントしながら解決策を探ったので、ぜひご覧ください。 写真をプリントしたときに周囲が切り取られるのはなぜ? サッカーゴールネットの通販｜ナイロン製。サイズ豊富。フットサルゴールも. 縦横比のワナ 印刷したい写真とプリントサイズの比率が異なる と、印刷範囲に撮影写真をおさめることができません。 例えば、iPhoneの標準カメラで撮影した写真サイズの縦横比は「4:3」。機種によっては「16:9」で撮影することもできます。 一方、L判(L版)のプリントサイズは127mm×89mmなので「3:2. 1」(「4:2. 8」) 下の写真はiPhone標準カメラで撮影しました。L判のプリントサイズと照合すると左右の一部(ピンク色部分)がはみ出てしまいます。 あいこうら フレーム内にギリギリ入っていた左足や頭部が印刷範囲におさまらない・・・ フチなし印刷のワナ 写真プリントといえば、白フチなしの全面印刷が主流。 用紙いっぱいに写真をプリントできるのでインパクトがありますよね。 フチなし印刷は、用紙に余白ができないように 印刷範囲から写真データを強制的にはみ出させてプリント しています。 だから、フチなしでプリントしたい写真データの周囲(上下左右)は印刷されず、切り取られてしまいます。 どのくらいはみ出るのか調べてみましたが、明確な数値がわからなかったので実際にプリントして検証してみました。 上の写真をセブンイレブンのマルチコピー機で写真をプリントした結果がこちら。 縦長の構図なのでL判のプリントサイズ(縦127mm×横89mm)に合わせて左右がカットされ、さらに、フチなし印刷のために周囲が切り取られています。 目測ですが、切り取られた範囲をピンク色で塗ってみました。 正確な数値ではありませんが、上下が約3mmずつ、左右が約2. 5mmずつカットされたようです。 あいこうら ずいぶん切り取られてガッカリ 写真プリントの端切れ問題を解決するiPhoneアプリ [PR] 「 さくっとプリント 」のデータ作成機能は写真の周囲もキレイに印刷できるように、あらかじめ"はみだし"用の領域(塗り足し)を追加することができます👌 自宅やコンビニプリントも思いどおりに出力できますよ🎶 アプリのダウンロードは無料 なので、使いやすさをぜひ実感してください。 挑戦!写真プリントが不自然に切れるのを防ぐには?
余白(場合によっては印刷される)の縦幅 = 10mm(上下各5mm) C. 縦幅の全長 = 137mm(A + B) というのが、いまのところの結論です。 ネットで軽く調べた感じでは、A4もL版も各端3mmが印刷されないと書かれている事が多かったので、しばらくの間、余白の値を6mmと推測していたのですが、実際に複数の店舗で印刷すると、最初に述べたように誤差が生じて思ったとおりの結果になりませんでした。 なかなか難しいものです。 ◆ base 作成 の経緯 ◆ base の画像サイズは、L版の実寸と300dpiという解像度から導きました。 解像度から横縦のピクセル数を求める式は、 300dot ÷ 25. 4mm = 11. 811dot/mm (1mmのピクセル数) 89mm × 11. 81dot/mm = 1051dot (印刷される横のピクセル数) 127mm × 11. 81dot/mm = 1500dot (印刷される縦のピクセル数) となり、印刷される範囲は 横1051px × 縦1500px (1 : 1. 427)です。 余白の縦幅を10mmと定めたので、 10mm × 11. 81dot/mm = 118dot (余白の縦のピクセル数) 縦1500px + 118dot = 1618px (縦のピクセルの総数) 縦1618px ÷ 1. 427 = 1134px (横のピクセルの総数) 横1134px - 1051px = 83px (余白の横のピクセル数) という数値をそれぞれ導いて、 base (横1134px × 縦1618px)を確定しました。 なお、 83px (余白の横のピクセル数)を 11. 811dot/mm (1mmのピクセル数)で割ると、約7mmになります。 ◆手持ちの画像をbaseの比率に当てはめる◆ 「カレンダー(すずめ)」横900px × 縦1186px (画像比率 1 : 1. 32)を例に挙げます。調整せずにプリントすると、黄緑色の部分が印刷されません。 横方向が全部プリントされるようにするには、横幅が89mmから94mmに収まるようにします。取りあえず89mmで計算します。 横900px ÷ 89mm = 10. 1px (1mmあたりのピクセル数) そして、横方向の余白を7mmと定めたので、 10. 1px × 7mm = 71px (余白の横のピクセル数) 900px + 71px = 971px (横のピクセルの総数) 印刷される範囲はL版と同じ横縦の比率なので、 横971px × 1.
ネットプリント使ってますか?