重解は、高次方程式における特殊な解であり、色々な問題の中で出てくるものです。 しかし、一体どういう意味のものなのか、いまいちはっきりとつかめていない人も多く、初歩的なミスをしがちです。 ここでは、 特に二次方程式の重解について 、いろんな角度から解説していきたいと思います。 そもそも重解とは?
みなさん,こんにちは おかしょです. 制御工学の学習をしていると,古典制御工学は周波数領域で運動方程式を表すことが多いですが,イメージしやすくするために時間領域に変換することが多いです. 時間領域で運動方程式を表した場合,その運動方程式は微分方程式で表されます. この記事ではその微分方程式を解く方法を解説します. 微分方程式の中でも同次微分方程式と呼ばれる,右辺が0となっている微分方程式の解き方を説明します. この記事を読むと以下のようなことがわかる・できるようになります. 特性方程式の求め方 同次微分方程式の解き方 同次微分方程式を解く手順 同次微分方程式というのは,以下のような微分方程式のことを言います. $$ a \frac{d^{2} x}{dt^2}+b\frac{dx}{dt}+cx= 0$$ このような同次微分方程式を解くための一連の流れは以下のようになります. 特性方程式を求める 一般解を求める 初期値を代入して任意定数を求める たったこれだけです. 微分方程式と聞くと難しそうに聞こえますが,案外簡単に解けます. ここからは,上に示した手順に沿って微分方程式の解き方を解説していきます. まずは特性方程式を求めます. 特性方程式を求めるには,微分方程式を解いた解が\(x=e^{\lambda t}\)であったと仮定します. このとき,この解を微分方程式に代入すると以下のようになります. \begin{eqnarray} a \frac{d^{2} e^{\lambda t}}{dt^2}+b\frac{de^{\lambda t}}{dt}+ce^{\lambda t}&=& 0\\ (a\lambda ^2+b\lambda +c)e^{\lambda t} &=& 0 \end{eqnarray} このとき,\(e^{\lambda t}\)は時間tを無限大にすれば漸近的に0にはなりますが,厳密には0にならないので $$ a\lambda ^2+b\lambda +c = 0 $$ とした,この方程式が成り立つ必要があります. この方程式を 特性方程式 と言います. 特性方程式を求めることができたら,次は一般解を求めます. 【高校数学Ⅰ】「「重解をもつ」問題の解き方」(例題編) | 映像授業のTry IT (トライイット). 一般解というのは,初期条件などを考慮せずに どのような条件においても微分方程式が成り立つ解 のことを言います. この一般解を求めるためには,まず特性方程式を解く必要があります.
子どもの勉強から大人の学び直しまで ハイクオリティーな授業が見放題 この動画の要点まとめ ポイント 「重解をもつ」問題の解き方 これでわかる! ポイントの解説授業 例 POINT 今川 和哉 先生 どんなに数学がニガテな生徒でも「これだけ身につければ解ける」という超重要ポイントを、 中学生が覚えやすいフレーズとビジュアルで整理。難解に思える高校数学も、優しく丁寧な語り口で指導。 「重解をもつ」問題の解き方 友達にシェアしよう!
2mの高さの胸高直径と木の高さを知り、材積表から読みとる必要があります。木の高さは測高器を使えば、離れた位置から目線の角度で測定することが可能です。 また、より正確な材積を知りたい場合には計算式を使って算出する方法もあります。複雑な計算になるため、精度の高い材積を知りたい場合には業者に相談してみてはいかがでしょうか。 伐採を依頼できる業者や料金 依頼できる業者や料金について、詳しくは「 生活110番 」の「 伐採 」をご覧ください この記事を書いた人 生活110番:主任編集者 HINAKO 生活110番編集部に配属後ライターとして記事の執筆に従事。その後編集者として経験を積み編集者のリーダーへと成長。 現在は執筆・記事のプランニング・取材経験を通じて得たノウハウを生かし編集業務に励む。 得意ジャンル: 屋根修理(雨漏り修理)・お庭(剪定・伐採・草刈り)
先程の特性方程式の解は解の公式を用いると以下のようになります. $$ \lambda_{\pm} = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$ 特性方程式が2次だったので,その解は2つ存在するはずです. しかし,分子の第2項\(\sqrt{b^2-4ac}\)が0となる時は重解となるので,解は1つしか得られません.そのようなときは一般解の求め方が少し特殊なので,場合分けをしてそれぞれ解説していきたいと思います. \(b^2-4ac>0\)の時 ここからは具体的な数値例も示して解説していきます. 今回の\(b^2-4ac>0\)となる条件を満たす微分方程式には以下のようなものがあります. $$ \frac{d^{2} x}{dt^2}+5\frac{dx}{dt}+6x= 0$$ これの特性方程式を求めて,解を求めると\(\lambda=-2, \ -3\)となります. 最初に特性方程式を求めるときに微分方程式の解を\(x=e^{\lambda t}\)としていました. 従って,一般解は以下のようになります. $$ x = Ae^{-2t}+Be^{-3t} $$ ここで,A, Bは任意の定数とします. \(b^2-4ac=0\)の時(重解・重根) 特性方程式の解が重根となるのは以下のような微分方程式の時です. $$ \frac{d^{2} x}{dt^2}+4\frac{dx}{dt}+4x= 0$$ このときの特性方程式の解は重解で\(\lambda = -2\)となります. このときの一般解は先ほどと同様の書き方をすると以下のようになります. $$ x = Ce^{-2t} $$ このとき,Cは任意の定数とします. しかし,これでは先ほどの一般解のように解が二つの項から成り立っていません.そこで,一般解を以下のようにCが時間によって変化する変数とします. 【高校 数学Ⅰ】 数と式５８ 重解 （１０分） - YouTube. $$ x = C(t)e^{-2t} $$ このようにしたとき,C(t)がどのような変数になるのかが重要です. ここで,この一般解を微分方程式に代入してみます. $$\frac{d^{2} x}{dt^2}+4\frac{dx}{dt}+4x = \frac{d^{2} (C(t)e^{-2t})}{dt^2}+4\frac{d(C(t)e^{-2t})}{dt}+4(C(t)e^{-2t}) $$ ここで,一般解の微分値を先に求めると,以下のようになります.
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