中学3年生の生徒さんが、どうしても中学2年生の数学でやった、幾何の証明問題が理解できないということで、 この夏を機に、1から証明の部分を総復習しています。 3年生なのに2年生の勉強!?
この章では、よく問われやすい 台形の辺の長さを求める問題 $3$ 等分された図形の問題 平行四辺形であることの証明問題 この $3$ つについて、一緒に考えていきます。 台形の辺の長さを求める問題 問題. 【中2数学】平行四辺形の証明で知っておくべき5つの方法 | 映像授業のTry IT (トライイット). 下の図のような、$AD // BC$ の台形 $ABCD$ がある。点 $M$、$N$ が辺 $AB$、$CD$ の中点であるとき、線分 $MN$ の長さを求めよ。 予備知識なしで解こうとしたら、補助線を書いたり色々と面倒ですが、「 台形における中点連結定理 」を知っているだけであっさりと解くことができてしまいます。 【解答】 台形における中点連結定理より、$$MN=\frac{1}{2}(7+13)$$ よって、$$MN=10 (cm)$$ (解答終了) こう見ると、$$7(上辺) → 10(真ん中) → 13(下辺)$$ というふうに、$3$ ずつ等間隔に増えていることがわかりますね^^ 直感とも一致したかと思います。 3等分された図形の問題 問題. 下の図で、点 $D$、$E$ は辺 $AC$ を $3$ 等分している。また点 $F$ は辺 $BC$ の中点である。$FE=8 (cm)$ のとき、線分 $BG$ の長さを求めよ。 $3$ 等分が出てくるので、一見して「 中点連結定理は関係ないのでは…? 」と思いがちです。 しかし、図をよ~く見て下さい。 中点連結定理が使えそうな図形が、なんと $2$ つも隠れています! まず、$△CEF$ と $△CDB$ について見てみると… 中点連結定理が使えるので、$$BD=2×FE=16 (cm) ……①$$ また、$FE // BC$ もわかるので、今度は $△AGD$ と $△AFE$ について見てみると… $FE // GD$ より、$△AGD ∽ △AFE$ が言えて、$$AD:DE=1:1$$より相似比が $1:1$ とわかるので、中点連結定理が使える。 よって、$$GD=\frac{1}{2}FE=4 (cm) ……②$$ したがって、①、②より、 \begin{align}BG&=BD-GD\\&=16-4\\&=12 (cm)\end{align} 二つ目の相似な図形$$△AGD ∽ △AFE$$に気づけるかがカギですね。 また、この問題では $FE:BD=1:2=2:4$ かつ $FE:GD=2:1$ であったことから、$$BD:GD=4:1$$がわかります。 また、ここから \begin{align}BG:GD&=(BD-GD):GD\\&=(4-1):1\\&=3:1\end{align} もわかりますね。 平行四辺形であることの証明問題 問題.
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1. 平行四辺形とは? 平行四辺形 は、 向かい合う2組の辺が平行な四角形 です。 ある四角形について, ①2組の対辺がそれぞれ平行である と示せば, 平行四辺形であることが証明 できるのはわかりますね。 2. 平行四辺形の定理 証明. ポイント ただし,「2組の対辺が平行=平行四辺形」と覚えるだけでは,平行四辺形の証明問題は解けません。ある四角形が平行四辺形であると示すには,全部で5つの方法があります。次の 平行四辺形であるための条件 は文言まですべて覚えましょう。 ココが大事! 平行四辺形であるための条件 覚えることがたくさんあって大変ですよね。暗記のコツは, 「辺・角・対角線」 と 「合わせ技」 です。まず 「辺・角・対角線」 は, ② 2組の 対辺 がそれぞれ等しい ③ 2組の 対角 がそれぞれ等しい ④ 対角線 はそれぞれの中点で交わる の3つです。 平行四辺形の性質 の裏返しですね。ある四角形が平行四辺形であれば②,③,④が成り立ちます(平行四辺形⇒②,③,④)。その逆に,ある四角形で②,③,④が成り立てば,平行四辺形であるということが言えるのです(②,③,④⇒平行四辺形)。 これらに加え,次の 「合わせ技」 も覚えましょう。 ⑤ 1組の対辺 が 等しく かつ 平行 1組の対辺 に注目して, 長さが等しい ことと, 平行 であることが両方言えれば,平行四辺形であることが証明できるのです。 この5つは 平行四辺形であるための条件 として,文言をそのまま覚えましょう。三角形の合同条件と同じように,証明問題ではこの文言が必要となります。 関連記事 「平行四辺形の性質」について詳しく知りたい方は こちら 「平行四辺形,長方形,ひし形,正方形の違い」について詳しく知りたい方は こちら 3. 平行四辺形になる四角形を見つける問題 問題1 四角形ABCDの対角線の交点をOとするとき,四角形ABCDが平行四辺形となるために必要な条件は,次の①~⑧のうちどれか。当てはまるものをすべて選びなさい。 ① AD//BC,AD=BC ② AD//BC,AB=DC ③ ∠A=∠C,∠B=∠D ④ ∠A=∠D,∠B=∠C ⑤ AB=DC,AD=BC ⑥ AB=AD,BC=CD ⑦ OB=OC,OD=OA ⑧ OA=OC,OB=OD 問題の見方 四角形が 平行四辺形であるための条件 を振り返りましょう。 この5つの条件のどれかを満たせば,平行四辺形であると言えます。 解答 $$\underline{①,③,⑤,⑧}……(答え)$$ ①は「1組の対辺が等しく,かつ平行」 ③は「2組の対角がそれぞれ等しい」 ⑤は「2組の対辺がそれぞれ等しい」 ⑧は「対角線がそれぞれ中点で交わる」 映像授業による解説 動画はこちら 4.
四角形 $ABCD$ の各辺の中点をそれぞれ $E$、$F$、$G$、$H$ とする。このとき、四角形 $EFGH$ は 平行四辺形になる ことを示せ。 さあ、これは面白いですね!! ちなみに、四角形 $ABCD$ はどんな四角形でも構いません。 中点連結定理を語るうえで、絶対に欠かすことのできないこの問題。 一体どうやって証明していけばいいでしょうか。 少し考えてみてから解答をご覧ください。 ↓↓↓ 対角線 $BD$ を引いてみる。 すると、$△AEH$ と $△ABD$、$△CFG$ と $△CBD$ で中点連結定理が使える。 よって、$$EH // FG かつ EH=FG$$より、 1組の対辺が平行であり、かつその長さが等しい 。 つまり、四角形 $EFGH$ は平行四辺形である。 平行四辺形になるための条件 $5$ つについては「 平行四辺形の定義から性質と条件をわかりやすく証明!特に対角線の性質を抑えよう 」の記事にて詳しく解説しております。 以上、中点連結定理を用いる代表的な問題を解いてきました。 ここからは、$3$ 問目「四角形 $EFGH$ が平行四辺形になる」という事実に対して、もっと深く考察していきましょう。 中点を結んで平行四辺形を作ろう!
」→嫁が男を連れ込んでたwww 【復讐】仲の良いA子に急に…強カン犯にされ、クラス中が信じた結果…俺はゴミクズ以下の扱いになり、逆に人気者になるA子。 嫁「あなたを頃して私も氏にたい... 」俺「!?」→壁に包丁が刺さってるんだが... 家庭円満だけど…子どもが通う幼稚園のシングルパパと浮気してしまった。すごい罪悪感から涙が出そうで今朝は旦那の目を見れなかった 彼女が裏ビデオに出ていた!俺親『結婚を白紙に戻せ!』→俺『結婚の話はなかったことにしてほしい』彼女「えっ(泣)」→後日…彼女父「実は‥」俺『えっ』→なんと… 【黒い過去】不妊の原因が旦那にあると発覚した。当時私は33歳で子どもが欲しかったので義兄と妊活して出産した 電車で。クソ女『ずっと触ってきたでしょ!』俺「は?ずっと両手上げてたよ!」クソ女2『ニヤニヤ』駅員『ちょっと来て』俺(終わった…) → 結果… 披露宴で。新婦『みんなの前で新郎に聞いて欲しい事がある』新郎「?」私(嫌な予感…)新婦『』新郎、周り「! 【夢占い】泣く夢の意味とは？ うれし泣き、葬式で泣くなど状況別に解説（2ページ目）｜「マイナビウーマン」. !」 → トンデモナイ事を暴露しだし… 家で大量の謎のCD-Rを発見。俺「何だろう?見て見るか」→CD『』俺「うわぁ…捨てよう」→父『CDを知らないか?』俺「えっ、知らない…」→その内容が… 私を襲おうとした旦那親友『トメさんに100万やるから息子嫁(私)を犯ってこい!と命令された』私「えっ」→旦那に相談して…私「実行するよ?」旦那「OK^^」→結果… 【恐怖】女(じーーーっ)俺「なんでずっとこっち見てるんだ!?こえええ!!」→向かいのマンションから女に覗かれている... 旦那に内緒で高級店で働いて月100万以上稼いでます。もう贅沢がやめられない。稼ぎの少ない旦那にも相手にされない主婦よりマシですよ 【修羅場】半休を取って帰宅したら、婚約者が間男と行為してた。気が動転してた俺は婚約者&間男の服や鞄などを持ち出して、すぐに間男の会社に凸した→その結果ww 【マジ修羅場】旦那の出張中に電球が切れてチカチカ→「うっとうしいから換えよう」身長150センチの私がそう思い立ったのが、運命の分かれ道でした→予想外の展開&修羅場第2幕へ! 父親の不倫を発見。不倫デートの待ち合わせ場所に偶然を装って「わ~お父さんだ~偶然だねーその人誰?」女は凄い顔してたwwデートに同行。母と伯母に連絡してやったw 14歳になる次男の托卵が発覚。義実家とお食事会で血液型の話をした時に義母が気付いたらしく馬鹿嫁を引きずって来て俺に土下座してきた 【後悔】18日~19日にかけて避妊なしで旦那と行為し、19日の夕方に浮気相手と56付きで行為したら妊娠。病院『排卵日は19日辺り』私(どっちの子か分からない(;′Д`)ノぇー)→その後... 大雪で電車止まって職場の宿直室に泊まって管理会社のおじさんとお酒飲んで勢いで浮気しちゃった。朝起きたら別のおじさんが隣で寝てたwww 小学4年生から育てている妻の連れ子が結婚する事になったが、嫁からとんでもなく理不尽な事を言われ唖然!こんな事で怒る俺がおかしいのか!?
この記事を書いた人 最新の記事 「365がぁる」編集部です。女性の恋愛の悩みからオススメの占いまで幅広くご紹介しています。占いに関しては専属の占い師の方に執筆いただいております!
845: 恋人は名無しさん 2013/06/03(月) 16:45:17 ID:WS/Va3Pb0 置き去りにされて泣いた女です。 たしかに夢の国で泣いてる女がいたらうざいですねw ただ初めての彼氏と初めて夢の国でしかも私の誕生日祝いだったので 誕生日になんで彼氏に一人置き去りにされてるんだろう、、、と悲しくなって泣いていました。 失礼しました。またrom専に戻ります。 848: 恋人は名無しさん 2013/06/03(月) 17:53:02 ID:mg+fbeUq0 >>845 >「落し物を拾ったら走って届けてやるのが礼儀だろ!!? ?」 こんな礼儀なんて聞いたこと無いし、有り得ないよw 彼がおかしい 849: 恋人は名無しさん 2013/06/03(月) 17:58:06 ID:+meo6Pbz0 まあ、走って直ぐに追い付ける相手なら見失う前に急いで渡しに行くのも親切だと思うが 走っただけで全く目的を果たせていないのならそれは効率が悪い彼の自己満足でしかないよね 853: 恋人は名無しさん 2013/06/03(月) 19:11:47 ID:zc68Nr1NO >>845 以前俺が財布と携帯をバスに忘れて下車して歩いてたみたいで、 後ろからお姉さんがガチダッシュして渡してくれた。 その時お姉さんは無謀にも赤信号無視してたなww しかもそのあとバス停でバス待ってたから悪いことしたなと思いお茶誘ったら営業中だからごめんねって謝られた。 俺に魅力があれば違う展開があったのかなーとほろ苦い過去を思い出したわw 850: 恋人は名無しさん 2013/06/03(月) 17:59:23 ID:wsLDFOnLP 落としたのがJKだからちょっとはしゃいじゃったんでしょ 管理人オキニの面白記事(*・ω・)ノ 新築した我が家で嫁が間男と行為してた。俺『防犯カメラに映ってる男誰?』嫁「さぁ」『不法侵入で警察届けるわ』→弁護士「」俺『! ?』(地獄を味わってもらおう)→なんと 同窓会で。DQN「お前彼女できたらしいやんけ、お前の女襲っていいか、鼻折られるかどっちがいい?」俺『鼻折ったら?』→結果… DQN「お前のせいでコート破れた。弁償10万なw」友「」俺『俺が弁償する。家にあるから取りに来て』DQN「OKww」 → DQN「えっ」友「えっ! ?」俺『www』 → 実は… 俺「ふ〜トイレスッキリ!」嫁「きゃ!居たの!?」間男「あああ、こ、んにちは」俺「...