問 $n$ 個の実数 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ が $x_1+x_2+\cdots+x_n=1$ を満たすとき,次の不等式を示せ. $$x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2 \ge \frac{1}{n}$$ $$(x_1\cdot 1+x_2 \cdot 1+\cdots+x_n \cdot 1)^2 \le (x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)n$$ これと,$x_1+x_2+\cdots+x_n=1$ より示される. コーシー・シュワルツの不等式|思考力を鍛える数学. 一般の場合の証明 一般のコーシーシュワルツの不等式の証明は,初見の方は狐につままれたような気分になるかもしれません.非常にエレガントで唐突な方法で,その上中学校で習う程度の知識しか使いません.知らなければ思いつくことは難しいと思いますが,一見の価値があります. 証明: $t$ を実数とする.このとき $$(a_1t-b_1)^2+(a_2t-b_2)^2+\cdots+(a_nt-b_n)^2 \ge 0$$ が成り立つ.左辺を展開すると, $$(a_1^2+\cdots+a_n^2)t^2-2(a_1b_1+\cdots+a_nb_n)t+(b_1^2+\cdots+b_n^2) \ge 0$$ となる.左辺の式を $t$ についての $2$ 次式とみると,$(左辺) \ge 0 $ であることから,その判別式 $D$ は $0$ 以下でなければならない. したがって, $$\frac{D}{4}=(a_1b_1+\cdots+a_nb_n)^2-(a_1^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+\cdots+b_n^2) \le 0$$ ゆえに, $$ (a_1b_1+\cdots+a_nb_n)^2 \le (a_1^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+\cdots+b_n^2)$$ が成り立つ. 等号成立は最初の不等号が等号になるときである.すなわち, $$(a_1t-b_1)^2+(a_2t-b_2)^2+\cdots+(a_nt-b_n)^2 = 0$$ となるような $t$ を選んだときで,これは と同値である.したがって,等号成立条件は,ある実数 $t$ に対して, となることである.
2019/4/30 2, 462 ビュー 見て頂いてありがとうございます. 見てもらうために作成しておりますので,どんどん見てください. ★の数は優先度です.★→★★→★★★ の順に取り組みましょう. 2323 ポイント集をまとめて見たい場合 点線より下側の問題の解説を見たい場合 は 有料版(電子書籍) になります. 2000番台が全て入って (¥0もしくは¥698) と,極力負担を少なくしています. こちら からどうぞ.
このことから, コーシー・シュワルツの不等式が成り立ちます. 2. 帰納法を使う場合 コーシー・シュワルツの不等式は数学的帰納法で示すこともできます. \(n=2\)の場合については上と同じ考え方をして, (a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)-(a_1b_1+a_2b_2)^2 &= (a_1^2b_1^2+a_1^2b_2^2+a_2^2b_1^2+a_2^2b_2^2)\\ & \quad-(a_1^2b_1^2+2a_1a_2b_1b_2+a_2^2b_2^2)\\ &= a_1^2b_2^2-2a_1a_2b_1b_2+a_2^2b_1^2\\ &= (a_1b_2-a_2b_1)^2\\ &\geqq 0 から成り立ちます. 次に, \(n=i(\geqq 2)\)のときに成り立つと仮定すると, \left(\sum_{k=1}^i a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^i b_k^2\right)\geqq\left(\sum_{k=1}^i a_kb_k\right)^2 が成り立ち, 両辺を\(\displaystyle\frac{1}{2}\)乗すると, 次の不等式になります. コーシー・シュワルツ不等式【数学ⅡB・式と証明】 - YouTube. \left(\sum_{k=1}^i a_k^2\right)^{\frac{1}{2}}\left(\sum_{k=1}^i b_k^2\right)^{\frac{1}{2}}\geqq\sum_{k=1}^i a_kb_k さて, \(n=i+1\)のとき \left(\sum_{k=1}^{i+1}a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^{i+1}b_k^2\right)&= \left\{\left(\sum_{k=1}^i a_k^2\right)+a_{i+1}^2\right\}\left\{\left(\sum_{k=1}^i b_k^2\right)+b_{i+1}^2\right\}\\ &\geqq \left\{\left(\sum_{k=1}^ia_k^2\right)^{\frac{1}{2}}\left(\sum_{k=1}^ib_k^2\right)^{\frac{1}{2}}+a_{i+1}b_{i+1}\right\}^2\\ &\geqq \left\{\left(\sum_{k=1}^i a_kb_k\right)+a_{i+1}b_{i+1}\right\}^2\\ &=\left(\sum_{k=1}^{i+1}a_kb_k\right)^2 となり, 不等式が成り立ちます.
数学の良さや美しさを感じられる問題に出会えることは、この上ない喜びでもあります。 今回は証明方法についてでしたが、今後はコーシー・シュワルツの不等式の問題への適用方法についてもまとめてみたいと思っています。 最後までお読みいただき、ありがとうございました。
1 kei1966 回答日時: 2011/02/16 11:58 大変高いですか? 私は前にテレビ台の下の扉の片方のガラスの修繕を依頼して5000円でした。 1週間かかりましたが、もうひとつのガラスも持って行ってカットも同じに作ってくるねって。 タウンページで調べたガラス業者です。 アクリルは割れにくくて良いですが、明らかに見栄えが違うので後悔しそうです。 バランスがありますが裏からレースや布をぴっちり貼るのもかわいいかもしれません。 1 この回答へのお礼 良い発想をありがとうございます。レースや布は良いカモフラージュになるかもしれませんね。 ただ5千円以内で納まるならば、タウンページでも使って調べて見ようと思います。 インターネットで見た所はもっと高かったですが、出張費なども含まれていたのかもしれません。 出張費だけだといくらくらいのものなのでしょうかね。 お礼日時:2011/02/18 07:21 お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて! 早良区の食器棚が割れた！ガラス料金は高い？安い？修理方法など解説. gooで質問しましょう! このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
早良区で食器棚のガラスが割れた!とご依頼を頂きました。原因は子供が遊んでいて玩具が当たって割れたという事です。 ガラスの修理で意外と多い案件の1つが食器棚ガラスの修理・交換です。 食器棚のガラスが割れたので急ぎで入れ替えて欲しい!とご依頼を頂く事が月に数件あります。と言う事で、本日は食器棚のガラスが割れた時の費用や修理内容について記事にして行きますね。 早良区のガラス屋・ガラス修理・ドアノブ交換・ドア修理・網戸張替え専用ページ 食器棚のガラスが割れる原因 食器棚ガラスが割れる原因ですが、食器棚に入っている物(お茶碗やコーヒーカップなど)が当たって割れた。という事が多いです。当たって割れたという事ですが、何もないのに勝手に当たるはずもなく食器棚に何らかの衝撃があった為に食器棚に入っている物が動き当たったのだと推測されます。 あとは普通に外部からの衝撃、例えば夫婦喧嘩でモノを投げたら食器棚のガラスに当たって割れる事もあります。そもそも食器棚のガラスは割れやすい場合が多いです。それはガラスの厚みが薄いからなのですが、一般的に使用されている窓ガラスは3~5mmの厚みがあります。網入りガラスは6. 8mmの厚みが一般的。それに比べ食器棚のガラスの多くは2mm。厚くても3mmです。ちょっとしたはずみで割れやすいのは間違いないですね。 食器棚のガラス修理の費用はどのくらいが目安?
07. 09 Fri 近年は台風が大型化しただけではなく、勢力も増してきていることから、それによる被害が拡大しています。 その中でも特に注意が必要なのは台風によって窓ガラスが割れること。 ご家族の安全の... 窓ガラスは風圧で割れる? !もしもの時の対処法や業者の修理費用について解説します 2021. 06. 28 Mon 日本では、例年5月から10月にかけて台風が多く発生してきます。また、台風以外でも時として強風が吹き荒れることも。 そんな時に気になるのが風圧で窓ガラスが割れてしまうのではないかという... 台風に強い窓ガラスとは?おすすめの種類やリフォームにかかる費用を解説 2021. 【ガラス交換】食器棚のガラスが割れた | ガラスの緊急隊. 25 Fri 例年5月から10月にかけて多くの台風が日本へと接近していきます。そうなるとご自宅の窓ガラスの耐久性が気になってきますよね。 少しでも対策をしておけば、台風による窓ガラス割れのリスクは... 部屋の寒さ対策のポイントは出窓にあり!寒くなる原因や手軽に使える断熱グッズを紹介 2021. 01. 28 Thu 冬場の寒さの原因の多くは出窓にあります。窓の断熱をしっかり行うだけでも、寒いお部屋を暖かくすることができます。 今回は出窓に使える断熱グッズのメリット・デメリットを解説します。 あ... さ らに細かな業種から探す 都 道府県から検索
ガラス修理 公開日 2020. 01. 31 あなたは、食器棚のガラスが割れてしまい、修理方法や業者に依頼した場合の費用相場について調べている最中ではありませんか? 食器棚のガラスが割れてしまったとき、とても慌ててしまうものですが、 不適切な対応をしてしまうと「怪我をする」「さらに大きくガラスを割ってしまう」 など更なるトラブルに陥ってしまいます。 また、業者に作業を依頼する場合は、費用相場について把握しておかないと、「相場以上の費用を請求される」といった詐欺に近い被害に遭うかもしれません。 そこで、今回は食器棚のガラスが割れたときの修理方法や、業者に依頼した場合の費用相場について解説します。 とくに、金銭面で高額な損をしないよう、このページを最後までご確認ください。 目次 食器棚のガラス修理は硝子専門業者に相談 食器棚のガラス修理を業者に依頼した場合の費用相場 費用相場は8, 000~3万円 ガラスの種類や厚みによって異なる 「諸費用」にも注意 食器棚のガラス修理は自分でもできる?
トップページ お役立ち情報 食器棚のガラス引き戸割れ替えで2枚交換がオススメな理由 何故?ガラス引戸は2枚同時交換がオススメ キッチンにある食器棚の引き戸など、2枚引き違いのガラス引き戸が使われている家具や建具はたくさんあります。使われているガラス2枚のうち片方が割れてしまった場合、割れた方を1枚だけ交換するのではなく、2枚とも交換する方がオススメなんです。 どうして割れていない方まで交換したほうが良いのでしょうか? 「1枚割れたのなら、割れたガラスだけ交換すれば良いのでは?」と思いがちですが、なんとそこには以外な落とし穴があるんです。 それはズバリ「引き手」! まずはこちらの写真をご覧ください。食器棚の「引き手」にご注目。丸みのある形状をしているのがお分かりいただけると思います。 続いて、こちらのお写真をご覧ください。左側のガラス引き戸のみ、交換してみたのですが、引き手の形が微妙に違うことにお気づきでしょうか? 元の引き手は丸みを帯びた形状だったのに対し、左の引き手は四角い形状となっています。これでは違和感が出てしまいますね。 では、次は左右の引き戸をどちらも新しいガラスに交換してみましょう。 引き手のあるガラス引き戸の場合、一方のガラスのみ交換すると、引き手の形状をそろえることが難しいんです。些細なことのように思えますが、引き手の形状の違いは大きな違和感を生んでしまいます。 引き手の形を拡大して比較 引き手の部分を拡大してみました。左が割れ替え前のガラスの引き手、右が新しく作ったガラスの引き手です。 まず、明らかに形が違います。元々のガラス戸の引き手はカーブを描いていますが、弊社で取り扱っている「引き手加工」は手作業で行っており、全て右のような角ばったデザインです。また、引き手の形状だけでなくガラスそのものの色合いにも違いがあるように見受けられます。 見栄えが気になるなら是非ペアで交換を! お手持ちの家具のガラス引き戸が割れたとき、リーズナブルなのは割れた1枚のみの交換……ですが、引き戸の見栄えを気にされるのであれば、割れたガラスのみを交換するのではなく、対になるもう一方のガラスも共に交換することをオススメします。 関連ページ 引手加工 「引手加工(引き手加工)」は、弊社で行うことができる特殊加工のひとつです。食器棚などの引き戸でよくみられる、指を引っ掛けるための溝をガラス表面に彫り込むことができます。 ステンドグラス風ガラスの専門サイト 「ステンドグラス窓」 に移動します 鏡(ミラー)の販売専門サイト 「鏡の販売」 に移動します
質問日時: 2011/02/16 11:45 回答数: 6 件 食器棚の開き扉のガラスを大きく割ってしまいました。 開きが3つあり、ガラスも3枚あるのですがそのうちの1枚のみ割れてしまった状態です。 そのままにしておくわけにもいかず、見栄えも大変悪いのですぐに直したいのですがザッと調べたところ、ガラスのみをカットしてもらい購入すると大変高くつきます。 埃さえ防げればよいと考えているのですが、何か似たような透明の素材で価格の安いものはありませんでしょうか。 アクリル板などはそれらに適さないのかな?とも思っております。色は透明です。 宜しくお願いします。 No. 5 ベストアンサー 回答者: shibamint 回答日時: 2011/02/16 19:37 残りのものを硝子屋に持参し、価格を聞く方が確実でしょう。 だいぶ前になりますが、換気扇の照明のガラス(3×60×400mm)を 割ってしまい硝子屋に切ってもらいました。 なんと100円 余っているようなものだと、それなりに安く提供してくれるかも しれません。 指し値とは言いませんが、出せる金額を言ってもいいような気がします。 4 件 No. 6 komaas88 回答日時: 2011/02/16 20:19 塩ビの透明版が一番安く、割れにくく、軽く、加工も簡単です。 透明度がいまひとつ、傷もつきやすいですが、埃を防ぐ程度でいいのなら絶対おすっすめです。 5 No. 4 bathbadya 回答日時: 2011/02/16 18:54 アクリル板はこういった締め切ったところだと曲がってしまうことがあるみたいです。 温度のせいか、湿度のせいか判りませんが・・ 2 前に持ちこみで修理してもらった事がありますが、枠付きの引き戸で2千円くらいだったと思います。 一度他の方も言われていますが、タウンページで探して電話で聞いて見られてはどうでしょう? アクリル板で済ましたとしても、はめ込む技術とか持ち合わせておられますか? 埃だけの問題なら、ホームセンターなどで、透明のビニールシート(テーブルクロス用? )が売っていますので、両面テープで張り付ければ千円くらいで収まると思います。 この回答へのお礼 コンプレッサで細いホッチキスを打つなどの細かい技術は持っています。先にボンドを当てることも理解していますが、やはりあなたの仰る通りタウンページで調べてプロに純正のガラスを加工して全てやってもらうのが一番だと気付きました。ビニールシートは思いつきませんでした。今後何かトラブルがあれば発想を役立てさせて頂こうと思います。ありがとうございました。 お礼日時:2011/02/18 07:26 厚さからすれば アクリルも値段が変わらないのではないのかと思いますよ。 ヒンジを外して枠ごとガラス屋さんに持ち込めば出張費くらいは浮くかも・・・ ただガラスに彫刻が有る場合は #1さんの方法で 3枚とも同じ柄のカーテンでも吊るすしか方法は無いかと思います。 0 No.