とおきます。このとき、 となります。 x>-3より、相加相乗平均を用いて、 等号成立条件は、 x+3=1/(x+3) ⇔(x+3)²=1 ⇔x+3=±1 ⇔x=-2(∵x>-3) よって、A+3の最小値は1であるので、求める値であるAの最小値は-2 【問題5】x>0のとき、 の最小値を求めなさい。 【解説5】 x>0より、相加相乗平均を用いて、 等号成立条件は、 x=x=1/x² ⇔x³=1 ⇔x=1 よって、求める最小値は 3
問題での相加相乗平均の使い方 公式が証明できたところで、公式を使って問題を解いてみましょう。 等号が成立する条件をきちんと示そう まずはこの問題を解いてみてください。 【問題1】x>0のとき、 の最小値を求めなさい。 【解説2】 問題を眺めていて、相加相乗平均が使えそうだな…と思う箇所はありませんか? そう、 ここです! 相加相乗平均の不等式により、 と答えようとしたあなた、それを答案に書くと、大幅に減点されるでしょう。 x+1/x≧2 という式は、単に「2以上になる」と言っているだけで、「2が最小値である」とは一言も言っていません。つまり、最小値が3である可能性もあるわけです。 ですから、x+1/x=2、つまり等号成立条件を満たすxが存在することを証明しないと、(x+1/x)の最小値が2だから(x+1/x)+2の最小値が4〜なんてことは言えないのです。 における等号成立条件は、a=bでした。 つまり今回の等号成立条件は、 x=1/x ⇔x²=1かつx>0 ⇔x=1 となり、x+1/x=2を満たすxが存在することを示すことができました。 これを書いて初めて、最小値の話を持ち出すことができます。 この等号成立条件は書き忘れて大減点をくらいやすいところですので、くれぐれも注意してください。 【問題2】x>0のとき、 の最小値を求めなさい。 【解説2】x>0より、相加相乗平均の不等式を用いて、 等号成立条件は、 2/x=8x ⇔x²=¼ ⇔x=½ (∵x>0) よって、求める最小値は8である。 打ち消せるかたまりを探す! 【問題3】x>0, y>0のとき、 の最小値を求めなさい。 【解説3】 どこに相加相乗平均の不等式を使うかわかりますか? 【高校数学Ⅱ】「相加・相乗平均の大小関係の活用」 | 映像授業のTry IT (トライイット). このままでは何をしても文字は打ち消されません。展開してみましょう。 x>0, y>0より、相加相乗平均の不等式を用いると、 等号成立条件は、 6xy=1/xy ⇔(xy)²=⅙ ⇔xy=1/√6(∵x>0かつy>0) よって、6xy+1/xyの最小値は2√6であるので、 (2x+1/y)(1/x+3y)=5+6xy+1/xyの最小値は、 2√6+5 打ち消せるかたまりがなかったら作る! 【問題4】x>-3のとき、 の最小値を求めよ。 【解説4】 これは一見、打ち消せる文字がありません。 しかし、もしもないのであれば、作ってしまえばいいのです!
まず、 x 3 +y 3 +z 3 -3xyz = (x+y+z)(x 2 +y 2 +z 2 -xy-yz-zx)・・・① です。ここで、x>0、y>0、z>0の時、①の右辺は、 x 2 +y 2 +z 2 -xy-yz-zx =(2x 2 +2y 2 +2z 2 -2xy-2yz-2zx)/2 ={(x-y) 2 +(y-z) 2 +(z-x) 2}/2≧0 となります。よって、①より x 3 +y 3 +z 3 -3xyz≧0となりますね。 式を変形して、 (x 3 +y 3 +z 3)/3≧xyz・・・② となります。 ここで、x=a 1/3 、y=b 1/3 、z=c 1/3 とおくと、②は、 (a+b+c)/3≧(abc) 1/3 となることがわかりました。 等号は、 x=y、y=z、z=xの時、すなわちa=b=cの時に成り立つことがわかります。 変数が3つの場合の相加相乗平均の証明は以上になります。 次の章では、相加相乗平均の問題をいくつか出題します。ぜひ解いてみてください! 6:相加相乗平均の問題 では、早速相加相乗平均の問題を解いていきましょう! 問題① a>0、b>0とする。 この時、(b/a)+(a/b)≧2となることを証明せよ。 (b/a)+(a/b)≧2・√(b/a)・(a/b) (b/a)+(a/b)≧2 となります。よって示された。 問題② この時、ab+(9/ab)≧6となることを証明せよ。 ab+(9/ab)≧2・√ab・(9/ab) ab+(9/ab)≧6 となる。よって、示された。 問題③ この時、(2a+b)(2/a+1/b)≧9となることを証明せよ。 まずは、 (2a+b)(2/a+2/b)≧9 の左辺を展開してみましょう。すると、 4+(2a/b)+(2b/a)+1≧9 (2a/b)+(2b/a)≧4 より、両辺を2で割って、 (a/b)+(b/a)≧2 となります。すると、問題①と同じになりましたね。 (a/b)+(b/a)≧2・√(a/b)・(b/a) なので、 が証明されました。 まとめ 相加相乗平均の公式や使い方が理解できましたか? 相加相乗平均とは？公式・証明から使い方までが簡単に理解できます（練習問題付き）｜高校生向け受験応援メディア「受験のミカタ」. 相加相乗平均は高校数学で忘れがちな公式の1つ です。 相加相乗平均を忘れてしまったときは、また本記事で相加相乗平均を復習しましょう! アンケートにご協力ください!【外部検定利用入試に関するアンケート】 ※アンケート実施期間:2021年1月13日~ 受験のミカタでは、読者の皆様により有益な情報を届けるため、中高生の学習事情についてのアンケート調査を行っています。今回はアンケートに答えてくれた方から 10名様に500円分の図書カードをプレゼント いたします。 受験生の勉強に役立つLINEスタンプ発売中!
最新情報を受け取ろう! 受験のミカタから最新の受験情報を配信中! この記事の執筆者 ニックネーム:やっすん 早稲田大学商学部4年 得意科目:数学
この記事は最終更新日から1年以上が経過しています。内容が古くなっているのでご注意ください。 はじめに 数学に出て来る数多くの公式の中でも有名である、相加相乗平均の不等式。 シンプルな形をしていて覚えやすいとは思いますが、あなたはこの公式を証明することはできますか? 単に式だけを覚えていて、なんで成り立つのかはわからない… というあなた。それはとても危険です。 相加相乗平均に限らず、公式がなぜ成り立つのかを理解しておかないと、公式が成り立つための条件などを意識することができず、それが答案上で失点へと結びついてしまいます。 この記事では、相加相乗平均を2つの方法で証明するだけでなく、文字が3つある場合の相加相乗平均の公式や、実際の問題を解く際の相加相乗平均の使い方についてお伝えします。 大学入試において、どうしても解けないと思った問題が、相加相乗平均を使ったらあっさり解けてしまった、ということは(本当に)よくあります。 この記事で相加相乗平均をマスターして、入試における武器にしてしまいましょう! 文字が2つのときの相加相乗平均の証明 ではまず、一番よく見るであろう、文字が2つのときの相加相乗平均について説明します。 そもそも「相加相乗平均」とは? 相加平均 相乗平均 最大値. そもそも「相加相乗平均」とはどういった公式なのでしょうか。 「相加相乗平均」とは実は略称であり、答案で書くべき名前は「相加相乗平均の不等式」です。 この公式を☆とおきます。 では、証明していきましょう! まずはオーソドックスな数式を使う相加相乗平均の証明 まずは数式で説明します。といっても簡単な証明です。 a≧0, b≧0のとき、 よって証明できました。 さて、☆にはなぜ、「a≧0かつb≧0」という条件が執拗なほどについてくるのでしょうか。 まず☆は√abを含んでいるので、この平方根を成立させるために、ab≧0である必要があります。 つまり (a≧0かつb≧0)または(a≦0かつb≦0) です。 しかし、a≦0かつb≦0のときを考えてみると、 (a+b)/2≧√ab≧0より、(a+b)/2は0以上でなければならないのにも関わらず、 (a+b)/2が0以上となるのはa=b=0のときのみですね。負の数に負の数を足したら負の数になるし、0に負の数を足しても負の数になることがその理由です。 そして、a=b=0は、「a≧0かつb≧0」に含まれています。 よって、☆が成り立つa, bの条件は、 a≧0かつb≧0 であるわけです。 問題を解いているときに、ついここを忘れて、負の数が入っているにも関わらず相加相乗平均を使ってしまい、まったく違う答えが出てしまったりします。 「相加相乗平均を使うときは、使う数がどっちも0以上でないといけない!!
タイプ: 教科書範囲 レベル: ★★★ 入試でも多用する,相加平均と相乗平均の大小関係について扱います. このページでは基本(2変数)を,主に最大・最小問題で自由自在に使えるようになるまで説明し,演習問題を多く用意しました. 相加平均と相乗平均の定義と関係式 ポイント 2変数の(相加平均) $\geqq$ (相乗平均) $\boldsymbol{a>0}$,$\boldsymbol{b>0}$ とするとき,$\dfrac{a+b}{2}$ を相加平均,$\sqrt{ab}$ を相乗平均といい $\displaystyle \boldsymbol{\dfrac{a+b}{2}\geqq \sqrt{ab}}$ が成り立つ. 実用上はこれを両辺2倍した $\displaystyle \boldsymbol{a+b\geqq 2\sqrt{ab}}$ をよく使う. 等号成立は $\displaystyle \boldsymbol{a=b}$ のとき. (相加平均) $\geqq$ (相乗平均)の証明 この(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)を使うときには,基本的に以下の3ステップを踏みます. (相加平均) $\geqq$ (相乗平均)を使うための3ステップ STEP1: $a>0$,$b>0$ (主役2つが正である)ことを断る. STEP2: $\dfrac{a+b}{2}\geqq \sqrt{ab}$ または $a+b\geqq 2\sqrt{ab}$ を使用する. STEP3:等号成立確認を行う(等号成立は $a=b$ のとき) 注意点 特にSTEP3の等号成立確認は 最小値を求めるときには必須です(不等式の証明に必要ない場合もありますが,確認をする癖をつけて損はないです). 例えばAKR(当サイト管理人)の身長はおよそ $172$ cmです.朝起きた後や運動直後では多少変動するかもしれませんが (AKRの身長) $\geqq 100$ cm という不等式は正しいです. しかし実際に $100$ cmを取れるかは別の話で,等号が成り立つか確認しなければなりません. 例題と練習問題 例題 $x>0$ とする. (1) $x+\dfrac{16}{x}\geqq8$ を示せ. 相加平均 相乗平均 証明. (2) $x+\dfrac{4}{x}$ の最小値を求めよ. (3) $x+\dfrac{16}{x+2}$ の最小値を求めよ.
高校数学における、相加相乗平均について、数学が苦手な生徒でも理解できるように解説 します。 現役の早稲田生が相加相乗平均について丁寧に解説しています。 相加相乗平均は、数学の問題の途中で利用することが多く、知っていないと解けない問題もあったりします。 本記事では、 一般的な相加相乗平均だけでなく、3つの変数における相加相乗平均や、使い方についても解説 していきます。 相加相乗平均について充実の内容なので、ぜひ最後まで読んでください! 1:相加相乗平均とは? (公式) まずは、相加相乗平均とは何か(公式)を解説します。 相加相乗平均とは、「2つの実数a、b(a>0、b>0)がある時、(a+b)/2≧√abが成り立ち、等号が成り立つのはa=bの時である」という公式のこと をいいます。 ※実数の意味がわからない人は、 実数とは何かについて解説した記事 をご覧ください。 また、(a+b)/2をaとbの相加平均といい、√abのことを相乗平均といいます。 以上が相加相乗平均とは何か(公式)についての解説です。 次の章では、相加相乗平均が成り立つ理由(証明)を解説します。 2:相加相乗平均の証明 では、相加相乗平均の証明を行っていきます。 a>0、b>0の時、 a+b-2√ab =(√a) 2 -2・√a・√b+(√b) 2 = (√a-√b) 2 ≧0 よって、 a+b-2√ab≧0 となるので、両辺を整理して (a+b)/2≧√ab となります。 また、等号は (√a-√b) 2 =0 より、 √a=√b、すなわち a=bの時に成り立ちます。 以上で相加相乗平均の証明ができました! (相加平均) ≧ (相乗平均) (基本編) | おいしい数学. 3:相加相乗平均の使い方 相加相乗平均はどんな場面・問題で使うのでしょうか? 本章では、例題を1つ使って、相加相乗平均の使い方をイメージして頂ければと思います。 使い方:例題 a>0とする。この時、a+1/2aの最小値を求めよ。 解答&解説 相加相乗平均より、 a+1/2a ≧ 2・√a・(1/2a) です。 右辺を計算すると、 2・√a・(1/2a) =√2 となるので、 a+1/2aの最小値は√2となります。 相加相乗平均の使い方がイメージできましたか? 今までは、aとbという2つの変数の相加相乗平均を解説してきました。 しかし、相加相乗平均は3つの変数でも活用できます。次の章からは、3つの変数の相加相乗平均を解説します。 4:変数が3つの相加相乗平均 変数が3つある場合の相加相乗平均は、「(a+b+c)/3≧(abc) 1/3 」となり、等号が成り立つのはa=b=cの時 です。 ただし、a>0、b>0、c>0とする。 次の章では、変数が3つの相加相乗平均の証明を解説します。 5:変数が3つの相加相乗平均の証明 少し複雑な証明になりますが、頑張って理解してください!
子どもなんて健康の人だって出来るかは分からないし、もしかしたら彼にだって全く大丈夫なんて事ないですしね。もう少し考えられたら? ちなみに私も身体は強くはありません。ですが主人は結婚を反対された時『俺は○○(私)としか結婚は考えられない。俺の人生なんだから俺が結婚相手を決める』と言ってくれました。私の親が反対した時には『分かって貰えるまで何年でも待つ』と何度足を運んで頭を下げに来たかしれません。それ位の思いがないとムリでは?きっと主さんのお身体の事は口実に過ぎず、結婚の意思はないように感じました。 トピ内ID: 1636592439 もう少しつきあってから「この人」と確信が持てたら妊活に励んでみれば? 子供が持てない不安が反対の原因なら、妊娠したら許してくれるかも。 彼氏も子供を持ちたいのでしょうね。 反対されたら今なら「親のせい」にできますしね。 もしも婚活で知り合って三ヵ月半ならよけいにそうでしょうね。 「交際歴3年以上、子供いなくても あい がいれば」って相手が思っていれば、親にはわざわざ不利なこと言わないでしょうし。 一年がんばってだめならきっぱりあきらめる覚悟で。 「病弱」だなんて聞かされたら、私が親でも反対すると思います。婦人科に限らず。 トピ内ID: 4434737362 その結婚、やめたほうがいいです。 私が彼の立場なら、あいさんの病歴をいちいち両親に言ったりしません。 言ったところで、何のメリットがあるんですか?
この質問への回答募集は終了しました 16 件の回答があります スカイさん (33歳・女性) 厳しいかもしれませんが 公開:2020/07/10 役に立った: 4 なぜ、挨拶とか結婚の了承を得る前に式場を決めてしまったのでしょうか?結婚は、付き合うこととは違い両家が関わるものです、家と家の結婚です。 そこも舞い上がっていたのでは、ないでしょうか?
© All About, Inc. タトゥーの入っている彼氏との交際を両親に猛反対され、探偵まで雇って別れさせようとしてくるという女性からのお悩みに、三人の娘を持つ親の立場からお答えします。 タトゥーの入った彼氏とは、交際や結婚はできない? 読者の方から、次のようなお悩み相談をいただいたのでお答えします。 "はじめまして。30代の女性です。この歳になっても両親に交際を猛反対されています。理由は、彼氏にタトゥーが入っているからです。私も初めて見たときはびっくりしましたが、内面に惹かれました。 親は、彼の番号を調べて直接電話して別れろと言ったり、探偵を雇って彼のことを調べたりします。いい大人なので「自分の人生は自分で決めたい」と言ったら、「親の人生はどうなる? あんた一人のせいで周りが迷惑する。結婚したら絶対不幸になる。このまま付き合うなら縁を切る」とまで言われました。 そんな親と一緒にいるのが嫌だったのと、自立のために一人暮らしを始めました。半年ほど前に彼とは別れましたが、最近また会うようになりました。 でも、それを母親が知っていたのです。驚きました。探偵を雇って私を監視していたのでしょう。もう恐怖です。親が心配するのは分かります。親は大事ですが、自分を犠牲にしたくはありません。 タトゥーがある彼との交際はダメですか? 私は甘いですか? 親不孝ですか? 彼親に結婚反対されてます - 結婚お悩み相談Q&A(先輩花嫁が回答) - 【ウエディングパーク】. 親のいいなりになるのが本当の幸せでしょうか?" タトゥーの入った男性と交際してはダメですか? →NO タトゥー、つまり、刺青ですね。極論ですが「おつきあいしてはいけない相手」なんていない、と個人的には思います。ただ、「ダメ」ではないとはいえ、まったく抵抗を感じないかというと嘘になります。 もし娘が刺青のある男性を連れてきたらどう思う?といえば、彼が刺青を入れた理由を聞いてみたいと答えます。 その理由が「強くなりたかった」であれば「精神的に脆い人なのかな?」と心配するでしょう。「志を表明したかった」であれば「ほかに方法があるだろう」と思います。「その当時の恋人との愛の証」であれば「将来を考えない安直なタイプかも」と心配するでしょう。 むしろ、「ファッションだ」「芸術だ」「出身国では当たり前だ」と言われたら、素直に受け止められるかもしれません。いずれにしても、娘と自分自身を信用しているので、多少のことでは交際を反対しないとは思います。 ただ、親である筆者が柔軟に受け入れたとしても、世間の人々は刺青に対して、どうしてもマイナスイメージを持ちがちであることについては懸念すると思います。筆者自身、250ccのバイクに乗っていたとき、「不良なの?」といわれたこともあります。こういった偏見って、簡単に変わるものじゃないんですよね。 そう考えると「マイナスの印象を与える人」と大切な娘とをおつきあいさせても大丈夫だろうか……と心配するのは当然かもしれません。 私は甘いですか?
© 結婚の意思を固めたお二人が次にする、お互いの親への結婚報告。ほとんどの方が、和やかな雰囲気の中での挨拶を、思い描いていることと思います。 ですがその中には、さまざまな理由によって、 彼の親から結婚を反対 されて悩んでいる方もいらっしゃるかもしれません。 これから家族になる彼の親から反対されてしまっては、一瞬にして気持ちが沈んでしまいますよね。 彼の親がお二人の結婚を反対するのかには、何かしらの理由があるはずです。そこで、彼の親が結婚を反対する理由や、反対されたらどうするべきかの対処法をご紹介していきます。 彼の親に結婚を反対されたらどうする? 二人の気持ちが結婚へ向けて固まっているのに、一番祝福されたい親から反対されてしまったら、どうすればいいのでしょうか?
でもママは人生の先輩でもあり、誰よりもあなたのことを大切にしてきた存在。 多少イラッとしてもけんかをせずに、親の指摘をふまえて彼との関係についてもう一度考えてみましょう。 (山口 恵理香)