マクローリンの不等式 相加平均と相乗平均の1つの拡張 – Y-SAPIX|東大・京大・医学部・難関大学現役突破塾 「マクローリンの不等式 相加平均と相乗平均の1つの拡張」に関する解説 相加平均と相乗平均の関係の不等式は一般にn変数で成立することはご存じの方が多いでしょう。また、そのことの証明は様々な誘導つきでこれまでに何度も大学入試で出題されています。実はn変数の相加平均と相乗平均の不等式は、さらにマクローリンの不等式という不等式に拡張できます。今回はそのマクローリンの不等式について解説します。 キーワード:対称式 相加平均と相乗平均の大小関係 マクローリンの不等式
問題での相加相乗平均の使い方 公式が証明できたところで、公式を使って問題を解いてみましょう。 等号が成立する条件をきちんと示そう まずはこの問題を解いてみてください。 【問題1】x>0のとき、 の最小値を求めなさい。 【解説2】 問題を眺めていて、相加相乗平均が使えそうだな…と思う箇所はありませんか? そう、 ここです! 相加相乗平均の不等式により、 と答えようとしたあなた、それを答案に書くと、大幅に減点されるでしょう。 x+1/x≧2 という式は、単に「2以上になる」と言っているだけで、「2が最小値である」とは一言も言っていません。つまり、最小値が3である可能性もあるわけです。 ですから、x+1/x=2、つまり等号成立条件を満たすxが存在することを証明しないと、(x+1/x)の最小値が2だから(x+1/x)+2の最小値が4〜なんてことは言えないのです。 における等号成立条件は、a=bでした。 つまり今回の等号成立条件は、 x=1/x ⇔x²=1かつx>0 ⇔x=1 となり、x+1/x=2を満たすxが存在することを示すことができました。 これを書いて初めて、最小値の話を持ち出すことができます。 この等号成立条件は書き忘れて大減点をくらいやすいところですので、くれぐれも注意してください。 【問題2】x>0のとき、 の最小値を求めなさい。 【解説2】x>0より、相加相乗平均の不等式を用いて、 等号成立条件は、 2/x=8x ⇔x²=¼ ⇔x=½ (∵x>0) よって、求める最小値は8である。 打ち消せるかたまりを探す! 【問題3】x>0, y>0のとき、 の最小値を求めなさい。 【解説3】 どこに相加相乗平均の不等式を使うかわかりますか? このままでは何をしても文字は打ち消されません。展開してみましょう。 x>0, y>0より、相加相乗平均の不等式を用いると、 等号成立条件は、 6xy=1/xy ⇔(xy)²=⅙ ⇔xy=1/√6(∵x>0かつy>0) よって、6xy+1/xyの最小値は2√6であるので、 (2x+1/y)(1/x+3y)=5+6xy+1/xyの最小値は、 2√6+5 打ち消せるかたまりがなかったら作る! 相加平均 相乗平均 違い. 【問題4】x>-3のとき、 の最小値を求めよ。 【解説4】 これは一見、打ち消せる文字がありません。 しかし、もしもないのであれば、作ってしまえばいいのです!
高校数学における、相加相乗平均について、数学が苦手な生徒でも理解できるように解説 します。 現役の早稲田生が相加相乗平均について丁寧に解説しています。 相加相乗平均は、数学の問題の途中で利用することが多く、知っていないと解けない問題もあったりします。 本記事では、 一般的な相加相乗平均だけでなく、3つの変数における相加相乗平均や、使い方についても解説 していきます。 相加相乗平均について充実の内容なので、ぜひ最後まで読んでください! 1:相加相乗平均とは? (公式) まずは、相加相乗平均とは何か(公式)を解説します。 相加相乗平均とは、「2つの実数a、b(a>0、b>0)がある時、(a+b)/2≧√abが成り立ち、等号が成り立つのはa=bの時である」という公式のこと をいいます。 ※実数の意味がわからない人は、 実数とは何かについて解説した記事 をご覧ください。 また、(a+b)/2をaとbの相加平均といい、√abのことを相乗平均といいます。 以上が相加相乗平均とは何か(公式)についての解説です。 次の章では、相加相乗平均が成り立つ理由(証明)を解説します。 2:相加相乗平均の証明 では、相加相乗平均の証明を行っていきます。 a>0、b>0の時、 a+b-2√ab =(√a) 2 -2・√a・√b+(√b) 2 = (√a-√b) 2 ≧0 よって、 a+b-2√ab≧0 となるので、両辺を整理して (a+b)/2≧√ab となります。 また、等号は (√a-√b) 2 =0 より、 √a=√b、すなわち a=bの時に成り立ちます。 以上で相加相乗平均の証明ができました! 相加相乗平均とは？公式・証明から使い方までが簡単に理解できます（練習問題付き）｜高校生向け受験応援メディア「受験のミカタ」. 3:相加相乗平均の使い方 相加相乗平均はどんな場面・問題で使うのでしょうか? 本章では、例題を1つ使って、相加相乗平均の使い方をイメージして頂ければと思います。 使い方:例題 a>0とする。この時、a+1/2aの最小値を求めよ。 解答&解説 相加相乗平均より、 a+1/2a ≧ 2・√a・(1/2a) です。 右辺を計算すると、 2・√a・(1/2a) =√2 となるので、 a+1/2aの最小値は√2となります。 相加相乗平均の使い方がイメージできましたか? 今までは、aとbという2つの変数の相加相乗平均を解説してきました。 しかし、相加相乗平均は3つの変数でも活用できます。次の章からは、3つの変数の相加相乗平均を解説します。 4:変数が3つの相加相乗平均 変数が3つある場合の相加相乗平均は、「(a+b+c)/3≧(abc) 1/3 」となり、等号が成り立つのはa=b=cの時 です。 ただし、a>0、b>0、c>0とする。 次の章では、変数が3つの相加相乗平均の証明を解説します。 5:変数が3つの相加相乗平均の証明 少し複雑な証明になりますが、頑張って理解してください!
1 7/24 20:01 xmlns="> 25 コミック 少女漫画を全巻揃えて買いたいのですが、オススメはありますか? 系統はわりとなんでも読めると思います…! ちなみに今まで なのに、千輝くんが甘すぎる 恋するレイジー これは恋じゃないので、よろしく 初×婚 群青リフレクション などを読んでいます。 2 7/27 0:18 アニメ、コミック どちらの方が好きですか? ※両方好きでも構いません! A「カンピオーネ!」のリリアナ・クラニチャールさん B「魔法科高校の優等生」の北山雫ちゃん 1 7/24 13:14 アニメ 『閃光のハサウェイ』アニメ三部作が成功すれば今後『ガイア・ギア』も何らかの形で映像化される可能性はあると思いますか? 4 7/25 21:42 xmlns="> 100 アニメ 転生したらスライムだった件(転スラ)のキャラクターとガンダムシリーズが戦ったらどっちが勝ちますか? 転生したらスライムだった件(転スラ)のキャラとガンダムシリーズが大戦争したらどっちが勝ちますか? 転生したらスライムだった件(転スラ)の登場人物とガンダムシリーズが全面戦争したらどっちが勝ちますか? 1 7/27 0:53 模型、プラモデル、ラジコン 転生したらスライムだった件(転スラ)の登場人物とガンダムシリーズが全面戦争したらどっちが勝ちますか? 親から婚活を勧められ… 角を立てない断り方3選:fumumu – 女子の本音と好奇心をセキララに:fumumuチャンネル(fumumu) - ニコニコチャンネル:エンタメ. 転生したらスライムだった件(転スラ)のキャラクターとガンダムシリーズが大戦争したらどっちが勝ちますか? 転生したらスライムだった件(転スラ)のキャラとガンダムシリーズが戦ったらどっちが勝ちますか? 2 7/27 0:57 小説 infj型の日本人作家を教えてください。 0 7/27 2:00 コミック タイトル、内容共に思い出せない漫画かあります。 幼い頃父の書斎で読んだ漫画なんですが、最期の場面だけは覚えています。 主人公?が女性の像(アジア系)に抱きつくと、その像から赤い血の涙を流していたという場面で終わります。 多分藤子F不二雄先生の短編だったと思うのですが、もしかしたら違うかもしれません。 ふと思い出してモヤモヤしています、どうか解決出来るようよろしくお願いします。 0 7/27 2:00 xmlns="> 100 小説 小説で内容は分かるのですが、タイトルが思い出せなくて……。タイトルわかる方教えて頂きたいです。 内容は、女の子(か男の子)は未来から来ていて男の子(か女の子)はその女の子に屋台で助けられて、どんどん時空がすれ違っていく……みたい感じです。語彙力が無くてすみません、 1 7/23 13:02 xmlns="> 100 プレイステーションVita デジモン(デジタルモンスター)シリーズとソードアート・オンライン(SAO)の登場人物が実戦したらどっちが勝利可能なのかな?
クチコミ詳細 スタッフの対応が良かったです ケンタ さん 男性 岡山県 写真の仕上がり 5 スタッフの対応 5 衣装 5 ヘアメイク 5 コスパ 5 撮影したスタジオ ラヴィ・ファクトリー岡山店 撮影日 2021/7の平日 撮影時の年齢 27 衣装 洋装 撮影場所 スタジオ(屋内) 撮影のタイプ ウエディング マタニティ撮影 ファミリー撮影 撮影にかかった時間 3時間 写真の仕上がり まだ見てませんが、僕もカメラを持っていきましたが、カメラマンさんがいっぱい撮ってくれて厳選してくださると思います。プロが撮ったらどんなのが来るか楽しみです スタッフの対応 色々ご無理を言ってそれに対応してくださいました!感謝しかありません!ありがとうございました! 衣装 色も色々ある中で赤を選ばせてもらいました。よかったと思います。 ヘアメイク 待ってる新郎にもいい感じで対応してくれてありがたかったですし、無理な事にも対応してくれました。大変良かったと思います。 コスパ 半額セール中に行かさせてもらいました。ドレスやタキシードにそんなにかかると思ってなかったのでセール中に行ってよかったと思いました。 フォトウエディング成功の秘訣 ケンタ さんが工夫したこと・こだわったこと ぼくたちは結婚式をしない代わりに撮影に費用を費やしました。 結婚式をするならプラン内でもいいかなだと思います。 クチコミは、実際に利用された方々の主観的なご意見・ご感想です。あくまでも参考情報のひとつとしてご活用ください。 また、クチコミ記載されているサービス内容・プラン・金額・スタッフ・運営会社等は、投稿された方がご利用された当時のものです。現在とは異なる場合がございますので、現在の状況は各スタジオにご連絡ください。
1 7/25 23:55 言葉、語学 活字本でよく出てくるこの画像の「ー」はどういう意味なんでしょうか?また文中の横とかにある(1)とかってなんの意味があるんですか? 0 7/27 5:49 xmlns="> 100 ライトノベル 【鬱ラノベ教えてください!】 ラノベで言うなら『すかすか』 マンガで言うなら『極黒のブリュンヒルデ』 みたいな感じで、メイン・サブヒロインが死んでいくみたいな作品がありましたら教えて下さい! 良質なモノで!! 0 7/27 5:42 読書 本屋のスペースの関係で名作あるのに置かれなくなった作家さんは誰がいますか? 1 7/26 23:48 xmlns="> 25 小説 「君の膵臓をたべたい」ででてきた 『私も君も、一日の価値は一緒だよ」という言葉の小説のページ数を教えてください!! 0 7/27 5:34 小説 今から誉田哲也さんの姫川玲子シリーズ、ストロベリーナイトから読もうと思うのですが、映画の牧田勲って小説にでてきますか? 発達障害者は出来ないことは無理にしないで任せる(簡単まとめ)｜Twenty Alcatraz(15万PV達成)｜note. シリーズのどこで登場するのか教えてくださると嬉しいです。 2 7/26 19:58 ライトノベル ライトノベル(書籍)の題名がわからないので教えて下さい。 TL、女性向けの性的描写が入った作品でたしか4、5年くらい前の作品です。もしかしたら別々の話が混ざってるかもしれません。(混ざってそうなところからはスペースであけてます。) 内容 ゲームの本編開始前に死んでる(攻略対象の過去編にちらりとでてくる? )キャラに成り代わった主人公の話。 成り代わったキャラは逆ハーを作っていた(女王さまみたいな感じ) 主人公は金髪に赤いドレス。胸がデカイ 元々の中身は日本の成り代わった方の身体に入った。(貧乳 黒髪) 龍?角が生えたキャラがヒーローでその人と番になる。 ヒーローは黒龍で元々人間だった主人公も龍(白い聖龍? )に変わる。 ヒーローの父が合法ショタ。 シリーズになっていたはず。 あやふやな記憶なので少し内容が違ってもこれかも知れないと思うものがあったら教えて下さい。確実に言えるのはお父さんがショタって事だけです。よろしくお願いします。 0 7/27 4:42 xmlns="> 25 アニメ、コミック どちらの方が好きですか? ※両方好きでも構いません! A「僕は友達が少ない」の柏崎星奈さん B「カノジョも彼女」の星崎理香さん(ミリカさん) 1 7/24 14:25 ライトノベル ブリキさんぽさを出そうとしてみたのですが、ブリキ絵見えますか?どうですか?
女の子が主人公で、自宅の押し入れが異世界に繋がっていて、異世界で出会ったライオンと冒険をしながら敵を倒す物語です。 食べれば直ぐに身体中の傷を治す魔法のリンゴが出てきます。 結末は、最後の敵との戦いでライオンは死にますが、黒い子犬に転生して現実世界に戻った女の子と再会を果たします。 誰かご存知の方がいらっしゃればタイトルを教えてください… 1 7/27 1:19 xmlns="> 500 宗教 ユダヤ人の本タルムードって日本語訳どこで読めますか? どのくらいの長さですか? タルムード新五講話みたいな本はどうですか? 1 7/26 19:48 本、雑誌 80年代のアメリカの様子を知れる本やDVDはありますか?教えてください 0 7/27 7:56 xmlns="> 100 宗教 ダンテの神曲を読むのと、天使と悪魔を詳しく知るのと、どっちが先が良いですか? 聖書はなんとなく分かっていますが、、 1 7/27 1:54 小説 銀英伝のバーミリオン会戦前に、ヤンとユリアンがラインハルトの戦法について、話し合っているシーンの最後に、「本当にもっと楽な方法があるのではないか」とユリアンは思っていたようですが、 躊躇してヤンに聞かなかったシーンが小説には書いてあります。 もし、このとき、ユリアンが「本当にもっと楽な方法」を質問していたら、ヤンはどのような方法でラインハルトを倒し方を教示していたと思いますか? 0 7/27 7:50 xmlns="> 50 アニメ なぜ男性は異世界ものが好きな人が多いのですか? 9 7/26 19:11 小説 知恵を貸してください!! "パン屋"を主なお題?にした小説を描きたいのですが起承転結がなかなか思いつかないので何かいい案がありましたら教えていただきたいです... ! (大体わかるように簡単に描いてもらえれば嬉しいです!) 1 7/27 1:29 xmlns="> 100 ライトノベル 蜘蛛ですが、なにか?にはまってラノベを買おうと書店に行ったのですが、1巻がどこの書店にもありません。何故なのでしょうか?知ってる人がいたら教えてください。 2 7/27 5:03 xmlns="> 100 ライトノベル 魔法科高校の劣等生の深雪はメイジアンカンパニーの時点で胸のサイズはどれくらいだと思いますか?リーナもお願いします。 カップ数での予測でお願いします 1 7/21 19:40 xmlns="> 250 アニメ、コミック どちらの方が好きですか?
※両方好きでも構いません! A「カノジョも彼女」の佐木咲ちゃん B「ラブライブ虹ヶ咲」の中須かすみちゃん 1 7/26 1:54 アニメ、コミック 五等分の花嫁の漫画ついてなのですがモノクロ版かフルカラー版どちらがオススメですか?本ではなく電子書籍の場合です 普段はモノクロ版を買うのですが五等分の花嫁って五つ子ゲームだったり様々なカラクリあるじゃないですか そういう細かいところまでしっかりみたいのですがこの場合フルカラー版の方がオススメでしょうか? それとも漫画読むならやはりモノクロが一番ですかね? 値段は気にしてないので五等分の花嫁の漫画ならどちらがおすすめか教えてください 1 7/26 22:49 コミック 広告で流れてきた漫画を読みたいです! 漫画がうがうというアプリで流れてきたピエロの暗殺者がターゲットの家で手品しようとしたところ黒髪のお姉様に横入りされ気づいたらピエロの腕がもぎ取られているという広告でした。 他のアプリなら下らへんに作品名があるのですが、それにはなかったので見ることが出来ません(´;ω;`) 1 7/27 6:00 xmlns="> 50 小説 入れ子構造で出来ている小説=枠物語なのですが、登場人物である語り手が話を進めていくという特徴を持っています。それではその話の聞き手は必ずしも作品に登場しなければならないのでしょうか? 聞き手が読者ということではダメなのでしょうか? 1 7/26 23:35 読書 さらい読みが多いとはいえ2週間で約25冊の本を読む私はかなりの読書家・勉強家ですか? 補足:読書分野は投資・数学・社会問題・機械工学が中心で非常に幅広いです。 3 7/25 13:28 xmlns="> 25 小説 恋愛小説のおすすめを教えて欲しいです。 最近でたもので、幸せに終わるやつがいいです。 よろしくお願いします。 1 7/26 1:20 言葉、語学 「その土地で育ったもの特有の固定観念・習慣」というような意味の言葉を教えてください 例:桜といえば春・歴史的な建造物といえば茶色等 1 7/26 23:03 宿題 読書感想文に使う本について質問です。 映画キャラクターは、原作が小説というわけでもないし映画をそのまま小説にした訳でもないらしいです。ですが、読書感想文に小説版のキャラクターを使うのは良くないですかね?ちなみに自称進学校の高一です。 2 7/26 20:01 アニメ、コミック 今更ですがありふれた職業で世界最強についてなのですがこの作品はWEB小説か文庫本の小説か漫画かアニメどれで見るのが一番オススメですか?
0 7/27 4:01 電子書籍 ピッコマなんですが、漫画を電子書籍で買ったんですが、話読みで買って、巻読みの方が安いし表紙も着いてくる事を後で知りました、 話読みで全巻分買ったんですが巻読みの方には反映されてないことも不思議です 話読みと巻読みで値段が違うのは何故ですか? また、話読みで買って、巻読みで反映されないのは何故でしょう? 1 7/26 23:53 xmlns="> 25 哲学、倫理 一級のヘーゲル学者という称号自体が何か胡散臭くないですか? 0 7/27 3:40 小説 百田尚樹はいつ頃ノーベル文学賞を受賞できるのでしょうか? 1 7/26 21:41 小説 江戸川乱歩の日記帳で最後のもう一つの、もっと利己的な感情というのが何を指しているのかわかりません どなたか教えてください 0 7/27 3:34 コミック かなり昔なのですが霧の街に巨大な蜘蛛が船?に乗って来てその街の人間を食料にすると言う感じの漫画知りませんか? 確かその蜘蛛は霧と共に移動するみたいな内容だった気がするのですが… 0 7/27 3:00 アニメ 昨日からリゼロ観始まったんです。 (スバルとレムが魔獣と闘う回まで観たんだが、)スバルが死に戻ったとき、記憶をそのまま維持してるのってエミリア、パック、ベアトリスだけですよね? なんであの3人の記憶は消えてないの? ちなみにラノベの方は読む予定ないので、ネタバレ歓迎です(笑) 3 7/26 21:54 xmlns="> 500 政治、社会問題 なぜ幻冬舎が在日企業と言われているのですか? 0 7/27 2:47 電子書籍 中学生で、エブリスタやってる方いますかー?僕は中3です^^ 0 7/27 2:43 コミック 思い出せない漫画を見つけたいです! 何年か前にマンガparkというアプリで見た気がするんです! 覚えていることは NLの恋愛系マンガで寮というか女の子と男が同じ部屋で入学と共に暮らすことになって、たしか勝手にパートナーが決められるみたいな学校の制度だった気がします! 女の子が最初方は反発してたりしてでも好きになってく…みたいなやつだったと思います! 男子のほうは結構Sだったような…?ぐらいの記憶しかないです(><) 思い出せなくて見直したいのですが作品が見つけられなくて。 思い出せることが少なく間違っている部分もあるかもしれませんが、知ってる方がいらっしゃればどうかお教え下さい*_ _) 0 7/27 2:33 xmlns="> 25 ライトノベル よう実 屋上事件 綾小路が「ここにいる4人じゃ俺は止められない」的な事を言ってましたが龍園、アルベルト、石崎、伊吹が同時に襲いかかってきても綾小路は勝てたとおもいますか?
経験談 2021. 07. 26 まずは謝ります。 全4話とか言って、結局5話に渡って長々と綴ってしまい申し訳ありませんでした。ここまで飽きずに読んで頂いた方、本当に感謝です!