【例題(軸変化バージョン)】 aを定数とする. 0≦x≦2における関数f(x)=x^2-2ax-4aについて (1)最大値を求めよ (2)最小値を求めよ まずこの手の問題は平方完成しておきます.f(x)=(x-a)^2-a^2-4aですね. ここから軸はx=aであると読み取れます. この式から,文字aの値が変わると必然的に軸が変わってしまうことがわかると思います.そうすると都合が悪いですから解くときは場合分けが必要になってきます. (1) 最大値 ではどこで場合分けをするかという話ですが,(ここから先はお手元の紙か何かに書いてもらうとわかりやすいです)(1)の場合は最大値が変わるときに場合分けをする必要がありますよね.ここで重要なのは定義域の真ん中の値を確認することです.今回は1です. この真ん中の値は最大値を決定するときに使います.もし,グラフの軸が定義域の中央値より左にあったら,必ず最大値は定義域の右側にある点ということになります.中央値よりグラフの軸が右にあったら,必ず最大値は定義域の左側にある点になります. この問題では中央値がx=1ですから,a<1のとき,x=2で最大となります.同様にa>1のとき,x=0で最大になります. 注意が必要なのは軸がぴったり定義域の中央値に重なった時です.このときはx=0および2で最大値が等しくなりますから別で場合分けをする必要があります. 二次関数の最大値や、最小値を求める問題で、実数が入る文字が、関数にある問題や、定義域 - Clear. ここまでをまとめて解答を書くと, 【解答】 f(x)=(x-a)^2-a^2-4a [平方完成] y=f(x)としたときこのグラフは下に凸で,軸はx=a [前述したxの2乗の係数がマイナスの時は最大値の時の話と最小値の時の話がまるっきりひっくり返るというものを確認する必要がある,というものです.] 定義域の中央値はx=1である. [1]a<1のとき x=2で最大となるから,f(2)=-8a+4 ゆえに x=2で最大値-8a+4 [2]a>1のとき x=0で最大となるから,f(0)=-4a ゆえに x=0で最大値-4a [3]a=1のとき x=0, 2で最大となるから,f(0)=-4a にa=1を代入して-4 [わかっている数値はすべて代入しましょう.この場合,a=1と宣言したので] ゆえに x=0, 2で最大値-4 以上から, a<1のとき,x=2で最大値-8a+4 a>1のとき,x=0で最大値-4a a=1のとき,x=0, 2で最大値-4 採点のポイントは,①場合分けの数値,②aの範囲,③xの値,④最大値の値です.
言える。 ある関数が $x=0$ の前後で符号が入れ替わるなら,その関数は原点を通過するはずです。 しかし,$2x^2+3ax+a^2+1$ に $x=0$ を代入すると $a^2+1$ となり,$a$ の値にかからわず正の値をとります。よって,原点を通過することはありません。 よって,$2x^2+3ax+a^2+1$ は $x=0$ の前後で符号が入れ替わることはなく,一方で $f'(x)$ は $x=0$ の前後で符号が入れ替わることになります。よって,$f(x)$ は $x=0$ のとき極値をもちます。 問題文から,極値は 0 以上だから $f(0)=-a^3+a+b\geqq0$ $b\geqq a^3-a$ となります。 これで終わり? 終わりではない。 $f(x)$ はただ 1 つの極値をもつので,$x=0$ で極値をもつとき,$2x^2+3ax+a^2+1$ は解なしであると考えられます。ちなみに $x=0$ が解になることはありません。 無いの? 代入すれば分かる。 $x=0$ を代入すると $a^2+1=0$ ⇔ $a=i$ ($a$は実数より不適) $2x^2+3ax+a^2+1$ が解をもたないとき,判別式を用いて $D=9a^2-8a^2-8<0$ $a^2-8<0$ $(a+2\sqrt{2})(a-2\sqrt{2})<0$ よって $-2\sqrt{2} 【高校数学】正弦定理・余弦定理を利用して三角形の面積を求める。
正弦定理・余弦定理の応用の1つ、三角形の面積です! 高さが指定されていない場合でも、正弦定理・余弦定理を使えば面積を求められる場合もあります。
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こちら1問だけ問題を取り上げました。それに5000文字くらい掛けて解説したのでものすごく濃い内容になっております。
データの分析
【高校数I】『データの整理』を元数学科が解説する【苦手克服】
『データの分析』の入りとなるデータの整理を解説しました。
基礎的な単語の確認や練習問題を用意してあります。 ジル
みなさんおはこんばんにちは、ジルでございます! 前回は二次関数の「最大値・最小値」の求め方の基礎を勉強しました。
今回はもう少し掘り下げてみたいと思います。
$y=ax^2+bx+c$の最大値・最小値を求めてみよう! 前回は簡単な二次関数の最大値・最小値を求めました。
今回はもう少し難しめの二次関数でやってみましょう! 横浜国立大2016文系第2問 4次関数と極値－微分係数が 0 でも極値をもたない場合＆線形計画法と曲線 | mm参考書. 解き方
簡単に手順をまとめます。
❶$y=a(x-p)^2+q$の形に持っていく。
❷与えられた定義域が頂点を含んでいるかどうかを確認する。
❸のⅰ与えられた定義域が頂点を含んでいる場合。
❸のⅱ与えられた定義域が頂点を含んでいない場合。
こんな感じです。
それぞれ解説していきます。
$y=a(x-p)^2+q$の形に持っていく。
まずはこれ。
あれ?やり方忘れたぞ?のために改めて記事貼っときます( ^ω^)
【高校数I】二次関数軸・頂点を元数学科が解説します。 数Iで学ぶ二次関数の問題においてまず理解するべきなのは、軸・頂点の求め方です。二次関数を学ぶ方はみなさんぜひ理解して頂きたいところです。数学が苦手な方にも分かりやすい解説を心がけて記事を作りましたのでぜひご覧ください。
与えられた定義域が頂点を含んでいるかどうかを確認する。
こちらを確認しましょう。
含んでいるかどうかで少し状況が変わります。
ⅰ与えられた定義域が頂点を含んでいる場合。
この場合は
最大値あるいは最小値が頂点になります。
この場合頂点が最小値になります。
問題は最大値の方です。
注目すべきは
定義域の左端と右端の$x$座標と頂点の$x$座標との距離
です。
先ほどの二次関数を見てください。
分かりますか?定義域の左端と右端、それぞれと頂点の$x$座標との距離を比べて、遠い方が最大値なんですね実は! 頂点の$y$座標が最小値
定義域の左端と右端、それぞれと頂点の$x$座標との距離で遠い方が最大値
次に
こちらを見てみましょう。今回は頂点が定義域に入っている場合です。
先ほどの逆山形の場合を参考にすると
頂点の$y$座標が最大値
定義域の左端と右端、それぞれと頂点の$x$座標との距離で遠い方が最小値
になります。
ⅱ与えられた定義域が頂点を含んでいない場合。
この場合は頂点は最大値にも最小値にもなりません。
注目すべきは 定義域の左端と右端 です。
最小値 定義域左端の二次関数の$y$座標
最大値 定義域右端の二次関数の$y$座標
となることがグラフから分かるかと思います。
最小値 定義域右端の二次関数の$y$座標
最大値 定義域左端の二次関数の$y$座標
となります。
文章で表してみると、要は
$y=a(x-p)^2+q$において
$a \gt 0$の時
最小値は「定義域の左端と右端のうち、頂点に近い方」
最大値は「定義域の左端と右端のうち、頂点に遠い方」
$a \lt 0$の時
最小値は「定義域の左端と右端のうち、頂点に遠い方」
最大値は「定義域の左端と右端のうち、頂点に近い方」
になります! 学び パソコンで打ち直した解答例を準備中です。 放物線の最大値と最小値の和の問題でも やることはほとんど同じです。 最大値と最小値の和の問題、 最大値と最小値の差の問題は、 検索してもあまり出てこないので、 もし、解答例が必要でしたら 「看護入試数学過去問1年分の解答例&解説を作ります」 を利用してみてください。 解答の添削、 1問だけ解答例が欲しいという場合は 値引きしますので、 見積もり、ダイレクトメッセージで お問い合わせください。 このブログを見た人にオススメ 一方最小値はありません。グラフを見てわかる通り、下は永遠に続いていますから。
答え 最小値:なし 最大値:1
一旦まとめてみましょう。
$y=a(x-p)^2+q$において
$a \gt 0$の時、最大値…存在しない 最小値…$q$
$a \lt 0$の時、最大値…$q$ 最小値…存在しない
定義域がある場合
次に定義域があるパターンを勉強しましょう! この場合は 最大値・最小値ともに存在します。
求める方法ですが、慣れないうちはしっかりグラフを書いてみるのがいいです。
慣れてきたら書かなくても頭の中で描いて求めることができるでしょう。
まずは簡単な二次関数から始めます。
$y=x^2+3$の$(-1 \leqq x \leqq 2)$の最大値・最小値を求めてみよう。
実際に書いてみると分かりやすいです。
最小値(一番小さい$y$の値)は3ですね? 最大値(一番大きい$y$の値)は$x=2$の時の$y$の値なのは、グラフから分かりますかね? $x=2$の時の$y$、即ち$f(2)$は、与えられた二次関数に$x=2$を代入すればいいです。
$f(2)=2^2+3=7$
答え 最小値:3 最大値:7
$y=-x^2+1$の$(-3 \leqq x \leqq -1)$をの最大値・最小値を求めてみよう。
最小値はグラフから、$x=-3$の時の$y$の値、即ち$f(-3)$ですよね?よって
$f(-3)=-(-3)^2+1=-9+1=-8$
最大値はグラフから、$x=-1$の時の$y$の値、即ち$f(-1)$です。
$f(-1)=-(-1)^2+1=-1+1=0$
答え 最小値:−8 最大値:0
最後に 次回予告も
今記事で、二次関数の最大値・最小値の掴みは理解できましたか? 二次関数 最大値 最小値 a. しかし実際にみなさんが定期テストや受験で解く問題はもっと難しいと思われます。
次回はこの最大値・最小値について応用編のお話をします! テストで出てもおかしくないレベルの問題を取り上げるつもりです。
数学が苦手な方でも理解できるように丁寧を心掛けますのでぜひ読みにきてください! 楽しい数学Lifeを! 電車遅延・事故・渋滞情報サイト ナウティス
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ページトップに戻る JR東日本は3月5日、福島県沖地震による被災を受けて行なっている東北新幹線の徐行運転を「復旧作業および安全確保の見通しが立った」として、3月13日に那須塩原~郡山間と仙台~一ノ関間で解除すると発表した。 残る、郡山~仙台間では徐行が継続されるため、同区間では所定より30分程度の遅延が見込まれる。運行本数を通常の8割とする措置は変わらない。 これにより、東京~新青森間では『はやぶさ』が一部を除き3時間台の運行に戻り、北海道新幹線への直通も全面的に再開される。 《佐藤正樹(キハユニ工房)》
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