この記事では、「正規分布」とは何かをわかりやすく解説します。 正規分布表の見方や計算問題の解き方も説明しますので、ぜひこの記事を通してマスターしてくださいね! 正規分布とは?
正規分布 正規分布を標準正規分布に変形することを、 標準化 といいます。 (正規分布について詳しく知りたい方は 正規分布とは? をご覧ください。) 正規分布を標準化する式 確率変数\(X\)が正規分布\(N(μ, σ^2)\)に従うとき、 $$ Z = \frac{X-μ}{σ} $$ と変換すると、\(Z\)は標準正規分布\(N(0, 1)\)(平均0, 分散1)に従います。 標準正規分布の確率密度関数 $$ f(X) = \frac{1}{\sqrt{2π}}e^{-\frac{x^2}{2}}$$ 正規分布を標準化する意味 標準正規分布表 をご存知でしょうか?下図のようなものです。何かとよく使うこの表ですが、すべての正規分布に対して用意するのは大変です(というか無理です)。そこで、他の正規分布に関しては標準化によって標準正規分布に直してから、標準正規分布表を使います。 正規分布というのは、実数倍や平行移動を同じものと考えると、一種類しかありません。なので、どの正規分布も標準化によって、標準正規分布に変換できます。そういうわけで、表も 標準正規分布表 一つで十分なのです。 標準化を使った例題 例題 とある大学の男子について身長を調査したところ、平均身長170cm、標準偏差7の正規分布に従うことが分かった。では、身長165cm~175cmの人の数は全体の何%占めるか? 解説 この問題を標準化によって解く。身長の確率変数をXと置く。平均170、標準偏差7なので、Xを標準化すると、 $$ Z = \frac{X-170}{7} $$ となる。よって \begin{eqnarray}165≦X≦175 &⇔& \frac{165-170}{7}≦Z≦\frac{175-170}{7}\\\\&⇔&-0. 71≦Z≦0. 71\end{eqnarray} であるので、標準正規分布が-0. 71~0. 71の値を取る確率が答えとなる。 これは 標準正規分布表 より、0. 5223と分かるので、身長165cm~175cmの人の数は全体の52. 23%である。 ちなみに、この例題では身長が正規分布に従うと仮定していますが、身長が本当に正規分布に従うかの検証を、 【例】身長の分布は本当に正規分布に従うのか!? で行なっております。興味のある方はお読みください。 標準化の証明 初めに標準化の式について触れましたが、どうしてこのような式になるのか、証明していきます。 証明 正規分布の性質を利用する。 正規分布の性質1 確率変数\(X\)が正規分布\(N(μ, σ^2)\)に従うとき、\(aX+b\)は正規分布\(N(aμ+b, a^2σ^2)\)に従う。 性質1において\(a = \frac{1}{σ}, b= -\frac{μ}{σ}\)とおけば、 $$ N(aμ+b, a^2σ^2) = N(0, 1) $$ となるので、これは標準正規分布に従う。また、このとき $$ aX+b = \frac{X-μ}{σ} $$ は標準正規分布に従う。 まとめ 正規分布を標準正規分布に変換する標準化についていかがでしたでしょうか。証明を覚える必要まではありませんが、標準化の式は使えるようにしておきたいところです。 余力のある人は是非証明を自分でやってみて、理解を深めて見てください!
4^2)\) に従うから、 \(Z = \displaystyle \frac{X − 69}{0. 4}\) とおくと、\(Z\) は標準正規分布 \(N(0, 1)\) に従う。 よって \(\begin{align}P(Z \geq 70) &= P\left(Z \geq \displaystyle \frac{70 − 69}{0. 4}\right)\\&= P(Z \geq 2. 5 − p(2. 4938\\&= 0. 0062\end{align}\) したがって、\(1\) 万個の製品中の不良品の予想個数は \(10, 000 \times 0. 0062 = 62\)(個) 答え: \(62\) 個 以上で問題も終わりです! 正規分布はいろいろなところで活用するので、基本的な計算問題への対処法は確実に理解しておきましょう。 正規分布は、統計的な推測においてとても重要な役割を果たします。 詳しくは、以下の記事で説明していきます! 母集団と標本とは?統計調査の意味や求め方をわかりやすく解説! 信頼区間、母平均・母比率の推定とは?公式や問題の解き方
1 正規分布を標準化する まずは、正規分布を標準正規分布へ変換します。 \(Z = \displaystyle \frac{X − 15}{3}\) とおくと、\(Z\) は標準正規分布 \(N(0, 1)\) に従う。 STEP. 2 X の範囲を Z の範囲に変換する STEP. 1 の式を使って、問題の \(X\) の範囲を \(Z\) の範囲に変換します。 (1) \(P(X \leq 18)\) \(= P\left(Z \leq \displaystyle \frac{18 − 15}{3}\right)\) \(= P(Z \leq 1)\) (2) \(P\left(12 \leq X \leq \displaystyle \frac{57}{4}\right)\) \(= P\left(\displaystyle \frac{12 − 15}{3} \leq Z \leq \displaystyle \frac{\frac{57}{4} − 15}{3}\right)\) \(= P(−1 \leq Z \leq −0. 25)\) STEP. 3 Z の範囲を図示して求めたい確率を考える 簡単な図を書いて、\(Z\) の範囲を図示します。 このとき、正規分布表のどの値をとってくればよいかを検討しましょう。 (1) \(P(Z \leq 1) = 0. 5 + p(1. 00)\) (2) \(P(−1 \leq Z \leq −0. 25) = p(1. 00) − p(0. 4 正規分布表の値を使って確率を求める あとは、正規分布表から必要な値を取り出して足し引きするだけです。 正規分布表より、\(p(1. 00) = 0. 3413\) であるから \(\begin{align}P(X \leq 18) &= 0. 00)\\&= 0. 5 + 0. 3413\\&= 0. 8413\end{align}\) 正規分布表より、\(p(1. 3413\), \(p(0. 25) = 0. 0987\) であるから \(\begin{align}P\left(12 \leq X \leq \displaystyle \frac{57}{4}\right) &= p(1. 25)\\&= 0. 3413 − 0. 0987\\&= 0. 2426\end{align}\) 答え: (1) \(0.
さて、連続型確率分布では、分布曲線下の面積が確率を示すので、確率密度関数を定積分して確率を求めるのでしたね。 正規分布はかなりよく登場する確率分布なのに、毎回 \(f(x) = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{− \frac{(x − m)^2}{2\sigma^2}}\) の定積分をするなんてめちゃくちゃ大変です(しかも高校レベルの積分の知識では対処できない)。 そこで、「 正規分布を標準化して、あらかじめ計算しておいた確率(正規分布表)を利用しちゃおう! 」ということになりました。 \(m\), \(\sigma\) の値が異なっても、 縮尺を合わせれば対応する範囲の面積(確率)は等しい からです。 そうすれば、いちいち複雑な関数を定積分しないで、正規分布における確率を求められます。 ここから、正規分布の標準化と正規分布表の使い方を順番に説明していきます。 正規分布の標準化 ここでは、正規分布の標準化について説明します。 さて、\(m\), \(\sigma\) がどんな値の正規分布が一番シンプルで扱いやすいでしょうか?
5\) となる \(P(Z \geq 0) = P(Z \leq 0) = 0. 5\) 直線 \(z = 0\)(\(y\) 軸)に関して対称で、\(y\) は \(z = 0\) で最大値をとる \(P(0 \leq Z \leq u) = p(u)\) は正規分布表を利用して求められる 平均がど真ん中なので、面積(確率)も \(y\) 軸を境に対称でわかりやすいですね!
私たちの電気代を押し上げている「再エネ賦課金」とは何でしょうか? 再エネ賦課金とは、再生可能エネルギーを普及するために私たちが負担しているお金です。 太陽光などの「再生可能エネルギー」の電力は、国の制度によって大手電力会社が買い取っています。そしてこの買取負担額は私たちの毎月の電気料金に上乗せされているのです。これが「再エネ賦課金」で、電気料金の明細にも記載されています。 NHKの報道によると「再エネ賦課金」は今年度、標準的な家庭で1000円以上値上がりし、年間1万476円ほどになるとのことです。 4.値上げラッシュを乗り切るためには? いかがでしたでしょうか。今回は2021年4月時点で解っている値上げラッシュについてお伝えしました。食費や光熱費は私たちの家計に直結していて、特に光熱費は在宅時間が長くなっている中、節約するのにも限界があります。 家計を見直す際は以下のポイントもチェックされることをおすすめします。 公共料金を口座振替ではなくクレジットカードで支払う 普段の生活で現金を使わず高還元率のクレジットカードを利用する 利用していないサブスクは解約する クレジットカードの活用 公共料金や電話料金などの固定費を口座振替で支払っている方はできるだけ還元率の高いクレジットカードでの決済に切り替えることをおすすめします。 【公共料金を楽天カードで支払っていた方は要注意】 言わずと知れた楽天カードは年会費無料で還元率1%とコスパがよく、ポイントが貯まりやすいカードです。ただし公共料金と税金の支払いに関しては2021年6月から還元率が0. 4月から値上げラッシュ！ 専門家に聞く“3月中に買っておくもの”リスト. 2%にダウンしてしまいます。 もしも楽天カード以外にクレジットカードをお持ちでない場合は別途、年会費無料で還元率の高いクレジットカードを新規で作成されることをおすすめします。下記の記事で入会キャンペーンがお得なカードを紹介していますので、カード選びにご活用ください。 その他、現金での支払いをできるだけクレジットカードに置き換えていけば、ポイント還元といえども年間で見れば大きな差がつきます。 また、クレジットカード会社によっては優待店での割引サービスや年間利用額に応じた特典などを用意していますので、自分に合ったクレジットカードを常用することも大切です。 JCBカードW JCBカードシリーズには優待店が多く、スタバでポイント10倍、セブンでポイント3倍というように、様々なお店でポイント還元率がアップします。中でもJCBカードWは年会費が無料で還元率も1%とコスパがよいため日常使いにもおすすめです。 年会費無料でスタバ・セブンでポイントがザクザク貯まるJCBカードWはお得なキャッシュバックキャンペーンを実施中!
[公開日] 2021年4月2日 4月から家庭用油の値段が上がると、ニュースでも大きく報じられました。ですが新年度に入って値上げをするのは油だけではありません。この記事では今春値段ががったもの、2021年4月の値上げラッシュについてお伝えします。 1.食料品の値上げ 私たちの生活費でも大きな割合を占める食費。そこに直接的な影響を与えるのが食料品の値上げです。2021年は主に以下の理由で一部の食料品の値段が上がります。 総額表示義務化に合わせた価格改定 原材料費・物流費の高騰 食用油 大豆や菜種、パーム油などの原料価格が高騰したことで、大手製油メーカー3社から食用油の価格改定が発表されました。 昭和産業……3/1から1キロ30円値上げ 日清オイリオグループ……4/1から1キロ20円値上げ J-オイルミルズ……4/1から1キロ30円値上げ 食用油の値上げについては3月4月ではとどまらず、上記の3社では6/1出荷分から再度、1キロ30円値上げを行うと発表しています。 また、食用油と原料を同じくするマーガリンなどの加工油脂についても同様に価格に影響が出るものと予想されます。 輸入小麦を使った製品 4月から輸入小麦の政府売渡価格(政府が製粉業者に販売する価格)が前期に比べて5.
5円 <値下げ> ビール/約77円→約70円 清酒/約42円→約38. 5円 発泡酒/約62円→約59円 ※発泡酒(麦芽25%~50%)が値下げで、25%未満のものについては税率は変わらず 【その後の酒税】 酒税は2026年までにビール系飲料(発泡酒・新ジャンル含む)は、段階的に改正され約55円で統一。また、同じく清酒・果実酒・チューハイなどもその後改正され、約35円に統一されるとのこと。 【出典】 酒税法改正 なにがどうなる?