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メネラウスの定理が理解できましたか? メネラウスの定理の覚え方としてはアルファベットが繋がっていることにぜひ注目 してください。 アンケートにご協力ください!【外部検定利用入試に関するアンケート】 ※アンケート実施期間:2021年1月13日~ 受験のミカタでは、読者の皆様により有益な情報を届けるため、中高生の学習事情についてのアンケート調査を行っています。今回はアンケートに答えてくれた方から 10名様に500円分の図書カードをプレゼント いたします。 受験生の勉強に役立つLINEスタンプ発売中! 最新情報を受け取ろう! 受験のミカタから最新の受験情報を配信中! この記事の執筆者 ニックネーム:受験のミカタ編集部 「受験のミカタ」は、難関大学在学中の大学生ライターが中心となり運営している「受験応援メディア」です。
メネラウスの定理の練習問題 それではメネラウスの定理を使う練習をしてみましょう。 例題:下図において、線分\(DE, EF\)の比を求めよ。 今までは\(A\)から\(D\)に行ってから\(B\)に戻っていましたが、今回はまず\(A\)から\(C\)の方向に行ってみましょう。 メネラウスの定理より、 $$ \frac{AC}{CF}\times\frac{FE}{ED}\times\frac{DB}{BA} = 1 $$ 各線分の長さを代入すると、 $$ \frac{5}{3}\times\frac{FE}{ED}\times\frac{1}{1} = 1 $$ よって \(DE:EF=5:3\) 先ほどの「厳密な定義」の方で直線\(AB, BC, CA\)と直線\(l\)の交点を\(D, E, F\)としていましたが、この問題では直線\(AD, DF, FA\)と直線\(l\)の交点を\(B, E, C\)と解釈してメネラウスの定理を使ったわけですね。 このように一つの図形に対して複数の見方があり、それぞれの見方に対してメネラウスの定理の形が変わるということを覚えておいてください! ベクトルの問題の裏ワザとして! 大学入試では上の練習問題のようにメネラウスの定理使うだけの問題はなかなか出題されません。面積やベクトルなどを求める過程で線分の比が必要になったときに使うことの方が多いです。 たとえば次のような問題ではメネラウスの定理を使うと効果的!
数学はほとんどの問題が「知らないと解けない」ということはありません。しかし、「 知っていたら問題が早く解ける 」ということはよくあります。 メネラウスの定理はその代表的な例です。これを使えば、5分以上時間を短縮することもできます。 この記事では、そんな メネラウスの定理 とは何かということから、メネラウスの証明や実際の使い方 などを詳しく解説していきます。 テストの貴重な時間を無駄にしないためにも、ぜひメネラウスの定理を使えるようになってみてください! メネラウスの定理の賛否 メネラウスの定理は、通常は高校に入ってから習います。 普通の中学生なら、少なくとも学校では習わない と思います。 有名な公式なのに学校の先生が教えないのは、やはり「メネラウスの定理を使わなくても、基礎がわかっていれば解ける問題が多いから」です。 ですが、僕はたとえ中学生であっても、この公式を使ってもいいと思います。理由は簡単で、メネラウスの定理を知っていると簡単に解けるようになる問題が圧倒的に多いからです。便利なものがあったら使う、というのは至極当たり前のように思います。 一番やってはいけないのは「中途半端に覚える」こと です。あやふやに覚えることほど怖いものはないので、やるならしっかりやりましょう! メネラウスの定理とは? メネラウスの定理とは、以下のような図形に対して $$\frac{AR}{RB}\times\frac{BP}{PC}\times\frac{CQ}{QA}=1 $$ が成り立つことを言います。 メネラウスの定理を使って何ができるの? メネラウスの定理まとめ（証明・覚え方・逆・問題） | 理系ラボ. メネラウスの定理を使うと、上の図のような キツネ型の三角形の長さの比が簡単にわかってしまう のです。 この図を見てください。この図において、もし「AQ: CQ」の比を求めてくださいと言われたらあなたはどうしますか? 普通だと、三角形の相似などを使ってあれこれしますが、時間がかかります。 しかし、メネラウスの定理をうまく使って、先ほどの式に代入してやると $$\frac{2}{3}\times\frac{9}{2}\times\frac{CQ}{QA}=1 $$ より、「AQ: CQ = 3: 1」がすぐに求まります。これくらいなら暗算でもできてしまいますね? このように、メネラウスの定理を使うと、キツネ型の三角形における比を素早く求めることができます。このキツネ型は図形問題に非常に多く出題されるので、覚えておいて損はないと思います!
数学にゃんこ
【問題2】 (選択肢の中から正しいものを1つクリック) (1) △ABC の内部に点 O をとり, O と頂点 A, B, C を結ぶ直線がそれぞれ辺 AB, BC, CA と交わる点を P, Q, R とする. AP:PB=1:2, AR:RC=1:1 であるとき, BQ:QC を最も簡単な整数の比で表してください. (解答) (チェバの定理を覚えている場合) チェバの定理により が成り立つから BQ:QC=2:1 …(答) (別解) (中学生ならチェバの定理を覚えている必要はない.相似比を使って解けばよい) A から BC に平行な直線をひき, CP, BR の延長との交点を S, T とし, BQ=m, QC=n, SA=a, AT=b とおく a:(m+n)=1:2 b:(m+n)=1:1=2:2 a:b=1:2 m:n=b:a=2:1 …(答) (2) △ABC の内部に点 O をとり, O と頂点 A, B, C を結ぶ直線がそれぞれ辺 AB, BC, CA と交わる点を P, Q, R とする. AP:PB=3:4, BQ:QC=5:6 であるとき, CR:RA を最も簡単な整数の比で表してください. CR:RA=8:5 …(答) a:11=3:4=3m:4m b:11=n:m=4n:4m a:b=6:5=3m:4n 24n=15m m:n=8:5 …(答) **チェバの定理は右図のように点 O が △ABC の外部にある場合にも成り立ちます** △ABC の辺上にない1点 O をとり, O と頂点 A, B, C を結ぶ直線がそれぞれ辺 AB, BC, CA またはその延長と交わる点を P, Q, R とするとき,次の式が成り立つ. ※証明略 (3) 右図のように △ABC の外部に点 O をとり, O と頂点 A, B, C を結ぶ直線がそれぞれ辺 AB, BC, CA またはその延長と交わる点を P, Q, R とする. PA:AB=2:3, BC:CQ=2:1 であるとき, CR:RA を最も簡単な整数の比で表してください. 【数学】メネラウスの定理：覚え方のコツ! ～受験の秒殺テク（3）～ | 勉強の悩み・疑問を解消！小中高生のための勉強サポートサイト｜SHUEI勉強LABO. CR:RA=5:6 …(答) ただし,筆者がやっても苦労するぐらいなので,中学生が解くにはかなり難しいかもしれない. できなくても,涼しい顔ということで・・・ A から BC に平行な直線をひき, CP との交点を S , BR の延長との交点を T とし, CR=m, RA=n, SA=a, ST=b とおく b:2=2:5 b:a=1:2 …(答)
遺言執行者の報酬の決定方法 専門家の報酬はあらかじめ各事務所や金融機関によって価格表があったり、見積りを取得することで明確になりますが、相続人の代表者が遺言執行者となるの場合の報酬は決めづらいものです。遺言執行者と相続人の折り合いがつかないケースもあります。 あらかじめ遺言書に報酬が記されていればその金額に従うべきではありますが、記載が無い場合や報酬額に納得がいかなかった場合には家庭裁判所へ申立てを行って決めることになります。 3-1. 遺言書に記載があれば記載された金額 遺言書に遺言執行者に対する報酬額が記載されていれば、それに従います。専門家でも相続人でも、遺言執行者は記載されている金額を報酬として受け取ります。 図7:遺言執行者の報酬額の記載例 3-2. 遺言書に記載がなければ話し合いまたは家庭裁判所で決める 遺言書に報酬額の記載が無ければ、遺言執行者の申し出により相続人全員で報酬額を話し合って決めます。話し合っても決まらない場合には、遺言執行者が家庭裁判所へ申し出ることによって報酬を決めてもらうことができます。 家庭裁判所は財産内容、状況などから報酬額を判断します。 図8:遺言執行者の申出により報酬額を決めることができる 4. 遺言執行者の報酬はいくらぐらい？相場と決め方 | 遺言執行手続き＆死後事務手続き相談. 遺言執行者の任務は誰に頼んでも同じ 遺言執行者の職務内容は遺言書の内容を実現することですので、専門家に依頼しても相続人の一人がおこなう場合でも内容は変わりません。 ただし、財産の規模や手続き内容の煩雑さ等と報酬のバランスを考えて適任者を選ぶことが手続きをスムーズに進めるためには重要なことです。 遺言執行者に専門家を選任する場合には、揉めごとを含んでいるような遺言書を作成する場合は弁護士を、不動産が多い場合には司法書士を選任するとメリットがあります。 各々の専門家が得意とする分野がありますので報酬額だけでなく、付帯サービスも確認しながら判断していきましょう。 図9:遺言執行者はだれに依頼しても同じ 5. 報酬の他に遺言執行にかかった経費も支払う 遺言執行は手間や時間がかかると同時に、 手続きに必要な実費もかかります。 例えば 交通費、郵送料金、相続財産の管理費用、移転登記費用、預貯金の解約、払い戻しにかかる費用 などがそれに当たります。これらの費用は遺言執行者だけが負担するものではなく、 相続人全員が負担する べきものです。 相続人の代表者が遺言執行者となる場合には、のちのトラブルを避けるためにも実費としてかかった諸費用はすべての領収書を残すことと、可能な限り記録を残しておくとよいでしょう。 図10:遺言執行に係る費用の明細は残しておく 6.
遺言に書かれている報酬額を承認した場合 2. 遺言に報酬額の記載がなく、相続人と協議の上決める場合 3.
遺言執行者の報酬は相続人全員で負担する 遺言執行者へ支払う報酬については、誰か一人が負担するのではなく、 相続人全員で負担 します。専門家を遺言執行者に選任する場合と相続人を遺言執行者に選任する場合では、支払い方法が異なります。 6-1. 専門家が遺言執行者の場合は相続財産から支払う 遺言執行者への報酬は、だれか一人が負担するのではなく、相続人の全員で負担するべきものです。しかし、実際のところは遺産から報酬を支払い、残った額を相続人で分けるというケースが多いです。 注意点としては、相続税の申告が必要な場合、遺言執行者の報酬は債務として控除したいところではありますが控除することはできません。相続税の申告をする場合、報酬額を差し引いた額で相続税を計算してしまわないようにご注意が必要です。 図11:遺言執行者の報酬は相続人全員が負担 6-2. 相続人が遺言執行者の場合は財産で調整する 相続人が遺言執行者となる場合、その負担を考慮して遺言書に遺言執行者が受け取る財産の配分を多くするといった記載があることが一般的です。 記載がない場合でもそれぞれから報酬を集めることよりも、財産の配分で調整をすることが一般的です。 図8:遺言書にて遺言執行者へ配慮した遺産分割がなされているケースは多い 7. 遺言執行者の報酬を支払えない場合は辞任か辞退してもらう 遺言書に記載されていた遺言執行者に対する報酬があまりにも高額で、執行内容とのバランスを考えるとどうしても納得ができない、というような場合は、 遺言執行者に辞任を求めることが可能 です。 また、遺言執行者自らがその重責を担うことはできない、もしくは健康上の問題から辞退するケースもあります。 遺言執行者が選任されていない遺言、もしくは辞任した遺言であっても遺言書の内容が無効になることはありません。遺言の執行は可能ですし、場合によっては改めて家庭裁判所へ選任の申立てを行えば、 新たな遺言執行者を選任する こともできます。 8. まとめ 遺言執行者の報酬に関し、ご理解いただけましたか。 遺言執行者の報酬は、専門家に依頼する場合には財産総額のおよそ1~3%と言われていますが、さらに手数料や実費などが加算されます。また、執行内容や財産規模によっては相場との差が生じます。 一方、相続人の代表者が遺言執行者となる場合、法的に定められた報酬額はありませんが、遺言書であらかじめ決められている、もしくは報酬分を考慮した財産の分け方になっているケースが一般的です。 遺言執行者は専門家でも代表相続人が担ってもやるべきことは同じです。執行内容に応じて、適任といえる執行者、及び適切な報酬を決めていただければと思います。