二項定理は非常に汎用性が高く,いろいろなところで登場します. ⇨予備知識 二項定理とは $(x+y)^2$ を展開すると,$(x+y)^{2}=x^2+2xy+y^2$ となります. また,$(x+y)^3$ を展開すると,$(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$ となります.このあたりは多くの人が公式として覚えているはずです.では,指数をさらに大きくして,$(x+y)^4, (x+y)^5,... $ の展開は一般にどうなるでしょうか. 一般の自然数 $n$ について,$(x+y)^n$ の展開の結果を表すのが 二項定理 です. 二項定理: $$\large (x+y)^n=\sum_{k=0}^n {}_n \mathrm{C} _k\ x^{n-k}y^{k}$$ ここで,$n$ は自然数で,$x, y$ はどのような数でもよいです.定数でも変数でも構いません. たとえば,$n=4$ のときは, $$(x+y)^4= \sum_{k=0}^4 {}_4 \mathrm{C} _k x^{4-k}y^{k}={}_4 \mathrm{C} _0 x^4+{}_4 \mathrm{C} _1 x^3y+{}_4 \mathrm{C} _2 x^2y^2+{}_4 \mathrm{C} _3 xy^3+{}_4 \mathrm{C} _4 y^4$$ ここで,二項係数の公式 ${}_n \mathrm{C} _k=\frac{n! }{k! (n-k)! }$ を用いると, $$=x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4$$ と求められます. 注意 ・二項係数について,${}_n \mathrm{C} _k={}_n \mathrm{C} _{n-k}$ が成り立つので,$(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {}_n \mathrm{C} _k\ x^{k}y^{n-k}$ と書いても同じことです.これはつまり,$x$ と $y$ について対称性があるということですが,左辺の $(x+y)^n$ は対称式なので,右辺も対称式になることは明らかです. ・和は $0$ から $n$ までとっていることに気をつけて下さい. ($1$ からではない!) したがって,右辺は $n+1$ 項の和という形になっています. 二項定理の証明 二項定理は数学的帰納法を用いて証明することができます.
}{4! 2! 1! }=105 \) (イ)は\( \displaystyle \frac{7! }{2! 5! 0!
他にも,つぎのように組合せ的に理解することもできます. 二項定理の応用 二項定理は非常に汎用性が高く実に様々な分野で応用されます.数学の別の定理を証明するために使われたり,数学の問題を解くために利用することもできます. 剰余 累乗数のあまりを求める問題に応用できる場合があります. 例題 $31^{30}$ を $900$ で割ったあまりを求めよ. $$31^{30}=(30+1)^{30}={}_{30} \mathrm{C} _0 30^0+\underline{{}_{30} \mathrm{C} _{1} 30^1+ {}_{30} \mathrm{C} _{2} 30^2+\cdots +{}_{30} \mathrm{C} _{30} 30^{30}}$$ 下線部の各項はすべて $900$ の倍数です.したがって,$31^{30}$ を $900$ で割ったあまりは,${}_{30} \mathrm{C} _0 30^0=1$ となります. 不等式 不等式の証明に利用できる場合があります. 例題 $n$ を自然数とするとき,$3^n >n^2$ を示せ. $n=1$ のとき,$3>1$ なので,成り立ちます. $n\ge 2$ とします.このとき, $$3^n=(1+2)^n=\sum_{k=0}^n {}_n \mathrm{C} _k 2^k > {}_n \mathrm{C} _2 2^2=2(n^2-n) \ge n^2$$ よって,自然数 $n$ に対して,$3^n >n^2$ が成り立ちます. 示すべき不等式の左辺と右辺は $n$ の指数関数と $n$ の多項式で,比較しにくい形になっています.そこで,二項定理を用いて,$n$ の指数関数を $n$ の多項式で表すことによって,多項式同士の評価に持ち込んでいるのです. その他 サイト内でもよく二項定理を用いているので,ぜひ参考にしてみてください. ・ →フェルマーの小定理の証明 ・ →包除原理の意味と証明 ・ →整数係数多項式の一般論
「ヘアカラー(白髪染め)をずっとしてたから髪の毛が薄くなったんです…. 」 って言う人が多いけど それって本当? こんにちは! JR南岩国駅から徒歩3分の美容院・プレイスの藤原です 植物(葉っぱ)で染める 自然派ヘアカラー(ヘナ) 低アルカリ・弱酸性の 縮毛矯正(ストレートパーマ) 髪の傷みを最小限に抑え 美髪 を提供する事を日々全力で頑張ってます! アレルギー体質・かぶれ・敏感肌・髪の傷みでお悩みの方でも 安心してご来店いただける技術と材料で 「本当の綺麗と安心」 を提案します 特にクセ毛・40代以降の方はお任せ下さい! 普段の営業でのお客様へのご説明が足りてない部分などをここに綴ってます ご質問等がございましたらお気軽にお問い合わせください お電話、LINE、コメント欄からでもOKです ℡ 0827-31-0057 ←このボタンを押すと、簡単にLINE登録できます 結論から先に言うとヘアカラーと薄毛に 直接的な関係があるとは言えない 白髪染めを定期的にするような年齢の方だとエイジング毛(加齢)で 以前よりも髪が細くなってしまい、それが原因で薄くなったと感じてる場合が多い そもそも1度染めるだけでも髪の毛は細くなってしまう 永遠に細くなるわけじゃなく、染めた部分が元よりも細くなる ヘアカラーはアルカリと過酸化水素の酸化反応で脱色と染色を同時に行うんだけど 脱色作用やヘアカラーのダメージにより髪の毛はどうしても細くなってしまう 剛毛の人だと分かると思うけど 明るく染めたりブリーチすると髪が扱いやすくなって感じるでしょ? 今話題の酸熱トリートメント！｜コラム 美容室 NYNY Mothers 姫路南店 名田 悠斗｜ヘアサロン・美容院｜ニューヨークニューヨーク. あれって染める事で毛が細くなる(ハリコシが無くなる)から扱いやすく感じてるので 染める=細くなる 事は避けられない それと、髪が長く髪が傷んでる人だと分かりやすいけど 根元より毛先の方が細くなってるでしょ? 染めたり傷んだりすると髪の毛の中身が減るので細くなってるんです ちなみに、ここで言うヘアカラーはアルカリカラーの事で ヘナやインディゴで髪が細くなることはありません。 最初にヘアカラーと薄毛に って書いたけど 絶対に無い とは誰にも言い切れない 例えばアルカリカラーが頭皮に付く事が頭皮ストレスとなり 薄毛の原因になる事も無いとも言えない 歯切れが悪い言い方かもしれないけど(苦笑) 絶対にこうだ! って言い切る事なんてできないのが現実 だから染めるなって言うわけじゃなく いつも言ってるけど染めた後に余計な物を髪や頭皮に残さないようにする事が大切 1剤に含まれるアルカリ剤によって弱酸性からアルカリに傾いた髪の毛のPHを元に戻してあげるための アルカリ除去 2剤の過酸化水素を頭皮や髪の毛に残さないための 加水除去 この二つの除去がトリートメントをする事よりも何倍も大切な事なんです 2つの除去をしっかりしてあげれば 髪の毛の傷みを抑え カラーやパーマの持ちが良くなり 結果 頭皮の衰えや髪の毛が細くなる事を抑える事が出来る トリートメントでもしとけば料金は儲かるし 仕上がりはツルツルになって即効性があるからどこの美容院も カラー後にトリートメントを勧めるけど カラーの直後にトリートメントしても髪には悪影響しかない それよりも悪い物を残さない処理が 地味だけど一番大切なんです!
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