次の三角形の面積を求めましょう。 ゆい ん!? 三角形の高さがわかんないのに、どうやって面積求めるの? かず先生 こういうときには、三平方の定理を使えばいいよ! というわけで、今回の記事では 高さがわからない三角形の面積 を三平方の定理を使って求める方法について解説していくよ! 三平方の定理ってなんだっけ? まずは、三平方の定理ってなんだっけ?ということについて確認しておきましょう。 ~三平方の定理~ $$c^2=a^2+b^2$$ 直角三角形の斜辺を2乗すると、他の辺を2乗した和に等しい。 これが三平方の定理でしたね。 これを使うと、直角三角形の辺の長さを求めることができるようになるよ! 三平方の定理の計算|角度と長さ | nujonoa_blog. また、こちらの特別な直角三角形の比についても覚えておきましょう。 これらの直角三角形に関しては、それぞれの辺の比を簡単に表すことができます。 あ!三角定規として使ってたやつだね! それでは、三平方の定理を使ってどのように面積を求めていくのか。 解説いくぞー!! 三平方の定理を使って面積を求める方法は?問題を使って解説するよ!
1 通常の公式で台形 ABCD の面積を求める まず最初に、以下の通常の公式で台形 \(\mathrm{ABCD}\) の面積を求めます。 台形の面積の公式 \begin{align}\text{台形の面積} = (\text{上底} + \text{下底}) \times \text{高さ} \div 2\end{align} では実際に計算してみましょう。 【台形 \(\mathrm{ABCD}\) の面積①】 \(= (\mathrm{AB} + \mathrm{DC}) \times \mathrm{BC} \div 2\) \(= (a + b) \times ( b + a) \div 2\) \(= \color{salmon}{\displaystyle \frac{1}{2}( a + b)^2}\) つまり、 【台形 \(\mathrm{ABCD}\) の面積①】 \(= \displaystyle \frac{1}{2}( a + b)^2\) ですね。 STEP. 2 3 つの直角三角形の和で台形 ABCD の面積を求める 次に、別のやり方で台形 \(\mathrm{ABCD}\) の面積を求めます。 この台形 \(\mathrm{ABCD}\) は \(3\) つの直角三角形からできているので、 【台形 \(\mathrm{ABCD}\) の面積②】=【三角形 \(\mathrm{AED}\)】+【三角形 \(\mathrm{ABE}\)】+【三角形 \(\mathrm{ECD}\)】 という式でも面積を求めることができます。 さっそく計算してみましょう。 【台形 \(\mathrm{ABCD}\) の面積②】 =【三角形 \(\mathrm{AED}\)】+【三角形 \(\mathrm{ABE}\)】+【三角形 \(\mathrm{ECD}\)】 \(= \displaystyle \frac{1}{2}c^2 + \displaystyle \frac{1}{2}ab + \displaystyle \frac{1}{2}ab\) \(=\) \(\displaystyle \frac{1}{2}c^2 + ab\) つまり、 【台形 \(\mathrm{ABCD}\) の面積②】\(= \displaystyle \frac{1}{2}c^2 + ab\) ですね。 STEP.
3 【台形 ABCD の面積①】 = 【台形 ABCD の面積②】を計算する 最後に、 【台形 \(\mathrm{ABCD}\) の面積①】 の面積と、 【台形 \(\mathrm{ABCD}\) の面積②】 を等号で結びます。 では、実際に計算しましょう。 【台形 \(\mathrm{ABCD}\) の面積①】=【台形 \(\mathrm{ABCD}\) の面積②】 \(\displaystyle \frac{1}{2}( a + b)^2\) = \(\displaystyle \frac{1}{2}c^2 + ab\) \(( a + b)^2 = c^2 + 2ab\) \(a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab\) よって \(\color{red}{a^2 + b^2 = c^2}\) 以上で証明は完了です!
次は、少し暗記要素のある項目を学んでいきます!
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