三平方の定理は、中学3年生の終わり頃、あわただしい時に教わるので、十分理解しないまま終わってしまったという人も多いのではないでしょうか。数学は積み重ねの学問ですので、一度苦手意識がついてしまうと、そこから多くの単元がわからなくなってきてしまいます。そこでこの記事では、三平方の定理についてわかりやすく丁寧に説明しますので、しっかり身に付けていきましょう。 三平方の定理とは? 三平方の定理とは、直角三角形の3辺の長さの関係を表す公式の事を言います。また、別名「ピタゴラスの定理」とも呼ばれています。この呼び方の方が有名でしょうか。古代中国でもこの定理は使われていて、それが日本に伝わり、江戸時代には鉤股弦(こうこげん)の法と呼ばれていたが、昭和になって三平方の定理といわれるようになりました。この定理は、直角三角形の辺の長さを求めるだけでなく、座標上の2点間の距離を求める場合にも用いるので、ぜひ覚えてほしい定理の一つです。 直角三角形の、直角をはさむ2辺の長さをa、b、斜辺の長さをcとすると、 という関係が成り立つことをいいます。 身近な三平方の定理といえば? 身近な三平方の定理といえば、小学校からよく使う2つの三角定規です。 直角二等辺三角形の定規の辺の比は、1:1: √2(内角は、90°、45°、45°) この場合、斜辺が√2です。 1² + 1² =√2² また、直角二等辺三角形といえば、正方形を対角線で半分に切った図形です。 すなわち、√2とは、一辺の長さが1の正方形の対角線の長さになります。 もう一つの三角形の辺の比は、1:2: √3(内角は、90°、30°、60°) この場合、斜辺が2です。 1² + √3² = 2² どちらも、三平方の定理が成り立ちます。 また、三平方の定理と平方根は密接な関係があるのが分かると思います。 三角定規の三角形は、角度がはっきりしていて、辺の比も比較的わかりやすいので特別な直角三角形と言えます。この2つの三角定規の「比」と「内角」は、問題としても良く出てくるので、しっかり覚えておきましょう。 自然数比の三平方の定理といえば?
この単元では、直角三角形がメインとして扱われているんだけど そんな直角三角形の中でも 特別な存在として君臨する ものがあります。 それがコイツら! 三角定規として使ってきた三角形ですね。 なぜコイツらが特別扱いをされているかというと このような辺の長さの比になることがわかっているんですね。 辺の長さの比がわかるということは このように1辺だけでも長さが分かれば 比をとってやることで 残り2辺の長さを求めることができます。 もちろん \(1:1:\sqrt{2}\)や\(1:2:\sqrt{3}\)という比は覚えておく必要があるからね。 しっかりと覚えておこう! では、特別な直角三角形において 比を使いながら辺の長さを求める練習をしていきましょう。 演習問題で理解を深める! 次の図の x の値を求めなさい。 (1)答えはこちら 45°、45°、90°の直角三角形の比は \(1:1:\sqrt{2}\)でしたね。 辺の比を利用して式を作って計算していきます。 $$\sqrt{2}:1=4:x$$ $$\sqrt{2}x=4$$ $$x=\frac{4}{\sqrt{2}}$$ $$x=\frac{4\sqrt{2}}{2}$$ $$x=2\sqrt{2}$$ (1)答え $$x=2\sqrt{2} cm$$ (2)答えはこちら 30°、60°、90°の直角三角形の比は \(1:2:\sqrt{3}\)でしたね。 辺の比を利用して式を作って計算していきます。 $$\sqrt{3}:2=x:8$$ $$2x=8\sqrt{3}$$ $$x=4\sqrt{3}$$ (2)答え $$x=4\sqrt{3} cm$$ 三平方の定理 基本公式まとめ お疲れ様でした! これで三平方の定理の基本は バッチリです。 三平方の定理とは 直角三角形の長さを求めることができる便利な定理です。 そして、直角三角形の中には 特別な存在の三角形があります。 これらの直角三角形では、辺の比を利用して長さを求めることができます。 さぁ、三平方の定理はここからがスタートです! 三平方の定理の４通りの美しい証明 | 高校数学の美しい物語. 新たな問題がどんどんと出てくるので いろんな状況での利用の仕方を学んでいきましょう! ファイトだー(/・ω・)/ 数学の成績が落ちてきた…と焦っていませんか? 数スタのメルマガ講座(中学生)では、 以下の内容を 無料 でお届けします!
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《問題1》 次の直角三角形において,xの長さを求めなさい (1) 3 5 Help 解説 やり直す 【答案の傾向】 2012. 2. 19--2012. 8. 28の期間に寄せられた答案について(以下の問題についても同様) (1) 答案の70%は正答ですが,√5を選ぶ誤答が9%あります.この間違いは,三平方の定理の式は一応使えるが「斜辺」と「1辺」とがはっきりと区別できていないときに起ると考えられます.この問題では,求めたいものは「1辺」ですから 1 2 +x 2 =2 2 から x を求めます. (2) 2 2 8 10 【答案の傾向】 (2) 答案の69%は正答ですが,10を選ぶ誤答が9%あります.この間違いは,三平方の定理の式は一応使えるが x 2 の値が出ると油断してしまってそのまま答えにしてしまうのが原因だと考えられます. x 2 =10 から x= にしなければなりません. 安心するのはまだ早い! 油断大敵! (3) 5 13 (3) 答案の78%は正答ですが,13を選ぶ誤答が6%あります.この間違いは,三平方の定理の式は一応使えるが x 2 の値が出ると油断してしまってそのまま答えにしてしまうのが原因だと考えられます. x 2 =13 から x= にしなければなりません. (4) 4 6 (4) 答案の65%は正答ですが,4や6を選ぶ誤答が7%,8%あります.この間違いは,三平方の定理の式は一応使えるが「斜辺」と「他の辺」を求めるときがよく分かっていない場合や根号計算 (2) 2 =20 が正確にできないことによると考えられます. 根号計算をしかりやろう!⇒ (a) 2 =a 2 b *** いくらやってもできない場合 → 根号計算の間違いに注意 *** ○根号の中を1つの数字に直してからルート(平方根のうちの正の方)を考えること は × は ○ ○根号の中で2乗になっている数は外に出ると1つになる.1つしかないものは出られない. ○根号の中に3個あるものは2個と1個に分ける 《問題2》 次の正方形の対角線の長さを求めなさい. 2 2 答案の76%は正答ですが, を選ぶ誤答が6%あります.この間違いは,正方形と言えば斜辺は と短絡的に覚えてしまうことが原因だと考えられます.1辺の長さが2になっていますので,これに対応した斜辺にしなければなりません.
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