こんにちは。 いただいた質問について,さっそく回答いたします。 【質問の確認】 不等式の証明で,どんなときに,相加平均・相乗平均の関係を使ったらよいのかわかりません。 というご質問ですね。 【解説】 相加平均と相乗平均の大小関係は, 「 a >0, b >0 のとき, (等号が成り立つのは, a = b のとき)」 でしたね。 この関係は, 不等式を証明するときなどに使うことができるもの でした。 ただし,実際の問題では,どんなときに相加平均と相乗平均の大小関係を使ったらよいのか,どのような2数に対して当てはめればよいのか,迷うことがあると思います。 では,具体的に見ていきましょう。 ≪その1:どんなときに,相加平均と相乗平均の大小関係を使ったらよいの?
この記事は最終更新日から1年以上が経過しています。内容が古くなっているのでご注意ください。 はじめに 数学に出て来る数多くの公式の中でも有名である、相加相乗平均の不等式。 シンプルな形をしていて覚えやすいとは思いますが、あなたはこの公式を証明することはできますか? 単に式だけを覚えていて、なんで成り立つのかはわからない… というあなた。それはとても危険です。 相加相乗平均に限らず、公式がなぜ成り立つのかを理解しておかないと、公式が成り立つための条件などを意識することができず、それが答案上で失点へと結びついてしまいます。 この記事では、相加相乗平均を2つの方法で証明するだけでなく、文字が3つある場合の相加相乗平均の公式や、実際の問題を解く際の相加相乗平均の使い方についてお伝えします。 大学入試において、どうしても解けないと思った問題が、相加相乗平均を使ったらあっさり解けてしまった、ということは(本当に)よくあります。 この記事で相加相乗平均をマスターして、入試における武器にしてしまいましょう! 文字が2つのときの相加相乗平均の証明 ではまず、一番よく見るであろう、文字が2つのときの相加相乗平均について説明します。 そもそも「相加相乗平均」とは? 相加相乗平均とは？公式・証明から使い方までが簡単に理解できます（練習問題付き）｜高校生向け受験応援メディア「受験のミカタ」. そもそも「相加相乗平均」とはどういった公式なのでしょうか。 「相加相乗平均」とは実は略称であり、答案で書くべき名前は「相加相乗平均の不等式」です。 この公式を☆とおきます。 では、証明していきましょう! まずはオーソドックスな数式を使う相加相乗平均の証明 まずは数式で説明します。といっても簡単な証明です。 a≧0, b≧0のとき、 よって証明できました。 さて、☆にはなぜ、「a≧0かつb≧0」という条件が執拗なほどについてくるのでしょうか。 まず☆は√abを含んでいるので、この平方根を成立させるために、ab≧0である必要があります。 つまり (a≧0かつb≧0)または(a≦0かつb≦0) です。 しかし、a≦0かつb≦0のときを考えてみると、 (a+b)/2≧√ab≧0より、(a+b)/2は0以上でなければならないのにも関わらず、 (a+b)/2が0以上となるのはa=b=0のときのみですね。負の数に負の数を足したら負の数になるし、0に負の数を足しても負の数になることがその理由です。 そして、a=b=0は、「a≧0かつb≧0」に含まれています。 よって、☆が成り立つa, bの条件は、 a≧0かつb≧0 であるわけです。 問題を解いているときに、ついここを忘れて、負の数が入っているにも関わらず相加相乗平均を使ってしまい、まったく違う答えが出てしまったりします。 「相加相乗平均を使うときは、使う数がどっちも0以上でないといけない!!
高校数学における、相加相乗平均について、数学が苦手な生徒でも理解できるように解説 します。 現役の早稲田生が相加相乗平均について丁寧に解説しています。 相加相乗平均は、数学の問題の途中で利用することが多く、知っていないと解けない問題もあったりします。 本記事では、 一般的な相加相乗平均だけでなく、3つの変数における相加相乗平均や、使い方についても解説 していきます。 相加相乗平均について充実の内容なので、ぜひ最後まで読んでください! 1:相加相乗平均とは? (公式) まずは、相加相乗平均とは何か(公式)を解説します。 相加相乗平均とは、「2つの実数a、b(a>0、b>0)がある時、(a+b)/2≧√abが成り立ち、等号が成り立つのはa=bの時である」という公式のこと をいいます。 ※実数の意味がわからない人は、 実数とは何かについて解説した記事 をご覧ください。 また、(a+b)/2をaとbの相加平均といい、√abのことを相乗平均といいます。 以上が相加相乗平均とは何か(公式)についての解説です。 次の章では、相加相乗平均が成り立つ理由(証明)を解説します。 2:相加相乗平均の証明 では、相加相乗平均の証明を行っていきます。 a>0、b>0の時、 a+b-2√ab =(√a) 2 -2・√a・√b+(√b) 2 = (√a-√b) 2 ≧0 よって、 a+b-2√ab≧0 となるので、両辺を整理して (a+b)/2≧√ab となります。 また、等号は (√a-√b) 2 =0 より、 √a=√b、すなわち a=bの時に成り立ちます。 以上で相加相乗平均の証明ができました! 3:相加相乗平均の使い方 相加相乗平均はどんな場面・問題で使うのでしょうか? 本章では、例題を1つ使って、相加相乗平均の使い方をイメージして頂ければと思います。 使い方:例題 a>0とする。この時、a+1/2aの最小値を求めよ。 解答&解説 相加相乗平均より、 a+1/2a ≧ 2・√a・(1/2a) です。 右辺を計算すると、 2・√a・(1/2a) =√2 となるので、 a+1/2aの最小値は√2となります。 相加相乗平均の使い方がイメージできましたか? 相加平均 相乗平均 使い分け. 今までは、aとbという2つの変数の相加相乗平均を解説してきました。 しかし、相加相乗平均は3つの変数でも活用できます。次の章からは、3つの変数の相加相乗平均を解説します。 4:変数が3つの相加相乗平均 変数が3つある場合の相加相乗平均は、「(a+b+c)/3≧(abc) 1/3 」となり、等号が成り立つのはa=b=cの時 です。 ただし、a>0、b>0、c>0とする。 次の章では、変数が3つの相加相乗平均の証明を解説します。 5:変数が3つの相加相乗平均の証明 少し複雑な証明になりますが、頑張って理解してください!
←確認必須 このとき最小値 $\displaystyle \boldsymbol{25}$ ※以下は誤答です. $x>0$,$\dfrac{4}{x}>0$,$\dfrac{9}{x}>0$,(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)より $\displaystyle \geqq2\sqrt{x \cdot \dfrac{4}{x}}\cdot2\sqrt{x \cdot \dfrac{9}{x}}=24$ このとき最小値 $\displaystyle \boldsymbol{24}$ これは誤りです!左の等号は $x=2$ のとき,右の等号は $x=3$ のときなので,最小値 $24$ をとる $x$ が存在しません. だから等号成立確認が重要なのです. (5) $\dfrac{x^{2}+6}{\sqrt{3x^{2}+8}}$ $=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3x^{2}+18}{\sqrt{3x^{2}+8}}$ $=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3x^{2}+8+10}{\sqrt{3x^{2}+8}}$ $=\dfrac{1}{3}\left(\sqrt{3x^{2}+8}+\dfrac{10}{\sqrt{3x^{2}+8}}\right)$ $\sqrt{3x^{2}+8}>0$,$\dfrac{10}{\sqrt{3x^{2}+8}}>0$,(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)より $\dfrac{x^{2}+6}{\sqrt{3x^{2}+8}}$ $\displaystyle \geqq\dfrac{1}{3}\cdot2\sqrt{\sqrt{3x^{2}+8} \cdot \dfrac{10}{\sqrt{3x^{2}+8}}}=\dfrac{2}{3}\sqrt{10}$ 等号成立は $\displaystyle \sqrt{3x^{2}+8}=\dfrac{10}{\sqrt{3x^{2}+8}} \Longleftrightarrow x=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ のとき. 相加平均 相乗平均 使い方. ←確認必須 このとき最小値 $\displaystyle \boldsymbol{\dfrac{2}{3}\sqrt{10}}$ 練習問題 練習 $x>0$,$y>0$ とする. (1) $x+\dfrac{2}{x}\geqq2\sqrt{2}$ を示せ.
レーザ回折・散乱式粒子径分布測定装置をはじめとする粒子の光散乱(光の回折、屈折、反射、吸収を含む広義の意味での散乱)の光量を測定する装置では、分散媒と粒子の屈折率と粒子の径、および光源波長は最も重要な因子です。 一例として、粒径パラメータα=πD/λ (D:粒径、λ:光源波長)を変数にして、屈折率の差による散乱光強度を下図に示します。 散乱現象は図に示すように粒子径と屈折率で敏感に変化します。透光性が少ない大きな粒子径では回折現象が支配的な散乱現象となり、屈折率の影響は少ないのですが、粒子径が小さな透光性粒子では粒子と分散媒界面における反射、屈折、粒子内の減光および粒子内面の反射など、屈折率により変化する様々な現象が大きな影響を持ってきます。 粒径パラメータによる散乱光強度分布の変化 <屈折率:粒子;2. 0/分散媒;1. 33> <屈折率:粒子;1. 5/分散媒;1.
52程度で、オイル(浸液)の屈折率 n= 1. 52とほぼ同じです。そのため、サンプルから発する蛍光は、カバーガラスとオイル(浸液)との境界面でほとんど屈折することなく対物レンズに入ります。これにより「油浸対物レンズ」は、サンプルから発する蛍光を、設計値のNAで結像することができます。 一方、図3の「水浸対物レンズ」の場合はどうでしょう。 この場合、カバーガラスの屈性率 n=1. 52と水(浸液)の屈折率 n=1. 33が異なるため、サンプルから発する蛍光は、カバーガラスと水(浸液)との境界面で屈折します(図3)。しかし「水浸対物レンズ」は水の屈折率を考慮しているので、「水浸対物レンズ」でもサンプルから発する蛍光を、設計値のNAで結像することができます。 したがって、薄く、カバーガラスに密着しているサンプルを観察する場合は、開口数が大きい「油浸対物レンズ」の方が、明るくシャープな蛍光像を得られることになります。 下の写真は、カバーガラスに密着したPtK2という培養細胞の微小管を、「油浸対物レンズ」と「水浸対物レンズ」とで撮り比べたものですが、開口数の大きい「油浸対物レンズ」(図4)の方が鮮明な像になっていることが見てとれます。 2.厚いサンプルの深部、または観察したい部分がカバーガラスから離れている場合 ※1 ※1 ここでは、サンプルの屈折率が水の屈折率 n=1. HPLCの高感度検出器群 // UV検出器，蛍光検出器，示差屈折率計，電気伝導度検出器 : 株式会社島津製作所. 33に近い場合を想定しています。 図6の「油浸対物レンズ」の方をご覧ください。 サンプル内部(細胞質など)の屈折率 n=1. 33は、カバーガラスの屈折率 n=1.
3 nm の光についての屈折率です。 閉じる 絶対屈折率 真空からその物質へ光が進むとき 空気 1. 0003 ほとんど曲がらない 水 1. 3330 一番上の図と同じ感じ ガラス 1. 4585 水のときより曲がる ダイヤモンド 2. 4195 ものすごく曲がる 空気の絶対屈折率は真空と同じ、とする場合が多いです。 絶対屈折率が大きい媒質は光速が遅いということです。各媒質での光速は、②式より以下のように表せます。 媒質aでの光速 v a = \(\large{\frac{c}{\ n_\rm{a}}}\) たとえば、水における光速は真空中の 光速 を水の絶対屈折率で割れば導き出せます。 v 水 = \(\large{\frac{c}{\ n_水}}\) = \(\large{\frac{3. 0\times10^8}{\ 1. 3330}}\) ≒ 2.
出典 朝倉書店 栄養・生化学辞典について 情報 世界大百科事典 内の 屈折率 の言及 【液浸法】より …(1)顕微鏡の分解能,すなわち顕微鏡で分解できる標本の最小距離を小さくするため,対物レンズと観察しようとする標本との間の空間を液体で満たすこと。分解能は対物レンズの開口数に逆比例し,また開口数は上で述べた空間の屈折率 n に比例するので,ふつうの使用状態の空気( n =1)の代りに液体( n >1)を満たすと,そのぶんだけ分解能が小さくできる。液体としてはふつうセダー油( n =1. 6)が用いられ,とくに液浸法用に設計された対物レンズと組み合わせると,波長0. 粒子径測定における屈折率の影響とは？ - 技術情報 - 技術情報・アプリケーション. 5μmの可視光を使って0. 25μm程度までの分解能が得られる。… 【屈折】より …境界面の法線に対する入射波の進行方向のなす角を入射角,透過波の進行方向のなす角を屈折角といい,それぞれをθ i, θ r としたとき,これらの角の間には,sinθ i /sinθ r = n III という関係( スネルの法則)が成り立つ(図2)。ここで n III を相対屈折率relative index of refractionと呼ぶ。光の場合は,入射側の媒質Iが真空である場合の相対屈折率をとくに絶対屈折率absolute refractive index,あるいは単に屈折率refractive indexと呼び,通常 n で表す。… 【光】より …入射光線,反射光線,屈折光線が入射点において境界面の法線となす角θ I, θ R, θ D をそれぞれ入射角,反射角,屈折角と呼ぶが,θ R =θ I であり,またsinθ I /sinθ D = n 21 は入射角によらず一定となる。後者の関係は スネルの法則 と呼ばれ, n 21 を第2媒質の第1媒質に対する相対屈折率と呼ぶ。第1媒質が真空である場合,第2媒質の真空に対する屈折率を絶対屈折率,または単に屈折率という。… ※「屈折率」について言及している用語解説の一部を掲載しています。 出典| 株式会社平凡社 世界大百科事典 第2版について | 情報
3 nmの光に対して)。 物質 屈折率 備考 空気 1. 000292 0℃、1気圧 二酸化炭素 1. 000450 氷 1. 309 0℃ 水 1. 3334 20℃ エタノール 1. 3618 パラフィン油 1. 48 ポリメタクリル酸メチル 1. 491 水晶 1. 5443 18℃ 光学ガラス 1. 43 - 2. 14 サファイア 1. 762 - 1. 770 ダイヤモンド 2.
C. Maxwellによれば,無限に長い波長の光に対する無極性物質の屈折率 n ∞ と,その物質の 誘電率 εとの間に ε = n ∞ 2 の関係がある.
屈折率一覧表 – 薄膜測定のための屈折率値一覧表 ". 2011年10月4日 閲覧。 " ". 様々な物質の波長ごとの屈折率を知ることが出来る。(英語). 2015年6月30日 閲覧。 この項目は、 自然科学 に関連した 書きかけの項目 です。 この項目を加筆・訂正 などしてくださる 協力者を求めています ( Portal:自然科学 )。 典拠管理 GND: 4146524-6 LCCN: sh85112261 MA: 42067758