14」となります。
でもこの長さはあくまでもおよその数に過ぎません。
冒頭でも紹介しましたが、円周率は小数点以下が無限に続く数です。
3. 1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679…
小数点以下100桁まで並べましたが、これよりもさらに延々と続きます。
一体どこまで続くんでしょうか? むしろ終わりってあるのでしょうか? 答えを言いますと、「 終わりはない 」です! 円周率の小数点以下の桁数は無限? 実は最新の研究では、円周率の小数点以下の桁数は何十兆という規模にまで膨らんでいたんです! 円周率πの範囲の証明 -課題で、『円周率πについて、3.1＜π＜3.2であ- | OKWAVE. 日本人技術者、円周率を「約31兆桁」計算 世界記録塗り替える
上のニュース記事によれば、何と日本人技術者によって円周率の桁数が 31兆 まで計算されていました。
31兆といったらもう巨大すぎてわけがわからない領域ですよね(;^ω^)
地球の人口より多いし、宇宙が始まってからの年数よりも長いです。
小数点以下が無限に続くということにあやかって、3月14日に結婚するカップルが多いみたいだね。
このように小数点以下が循環することなく、無限に続く小数となっている数を無理数と呼んでいます。
円周率は紛れもなく無理数ですが、他にも自然対数で習うネイピア数、あと平方数でお馴染みの√2や√3もあります。
√(平方数)って大抵無理数だよね。
ここで無理数と言う言葉が出てきましたが、反対語に「 有理数 」があります。
有理数とは2つの整数aとbを用いて、「b/a」という形で表される数字のことを指します。
この有理数の最大の性質として、
小数点以下の桁数が有限の 有限小数
小数点以下の数字が循環する 循環小数
があります。
①の性質については、一番わかりやすい例が「1/8」、「2/5」、「1/32」などがあります。
それぞれ小数で表すと、「0. 125」、「0. 4」、「0. 03125」と表記され、「 割り切れる 」というのが最大の特徴ですね。
割り切れるから分数で表現できるわけですね。
また②については、「1/3」、「1/15」などがあります。
これらの数は①とは反対に「割り切れない」数になりまして、小数だと「0. 333333…」、「0. 07692307692307692…」といった感じで小数点以下が無限に循環します。
ただし無理数とは対照的に、無限に続くと言っても同じ数が一定間隔で循環する特徴があります。
「1/3」であれば、小数点以下がずっと3で続きますし、1/15であれば小数点以下第1位から「076923」でループしています。
このように一定の規則性を保ったまま、小数点以下が循環する数を「循環小数」と言います。
割り切れる数字ではありませんが、循環小数は分子と分母が整数で表現できるので有理数になります。
無理数は非循環小数!
- 家庭教師俺「円周率は無理数で割り切れないから」小学生「なんで割り切れないの？」
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家庭教師俺「円周率は無理数で割り切れないから」小学生「なんで割り切れないの？」
ベストアンサー すぐに回答を! 2005/04/04 16:03
課題で、『円周率πについて、3. 1<π<3. 2であることを示せ。ただし、円周率とは、直径の長さに対する円周の長さの割合を表す。』
というものが出されましたが、どのように答えればよいのかわかりません。
本当に困っています。是非回答お願いいたします。 カテゴリ 学問・教育 数学・算数 共感・応援の気持ちを伝えよう! 回答数 7
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円周率Πの範囲の証明 -課題で、『円周率Πについて、3.1＜Π＜3.2であ- | Okwave
5²+0. 5²-2×0. 5×0. 5×cos30°
※cos30°=√3/2です。
x²=0. 5-0. 5×(√3/2)=0. 5×(1-√3/2)=0. 25×(2-√3)
x=0. 5×√(2-√3)
と求まります。
ここで正十二角形の外周は12辺あるので、xを12倍すれば外周が求まります。
よって「正十二角形の外周の長さ=12x=6×√(2-√3)」となります。
√が2つも出てきて凄くややこしいですが、関数電卓を用いて厳密に計算すれば上の値は
2-√3=0. 26794919
√(2-√3)=0. 51763809
6×√(2-√3)=3. 105828541
とそれぞれ求まります。
一番下の「3. 105828541」が正六角形の周長です、かなり3. 円周率 割り切れない. 14に近づいてきましたね! だけどこれでもまだまだ不十分で、 0. 035ほどの誤差 があります。
正十二角形程度では、外周を構成する辺と円との間に僅かな隙間がありますから、その分のズレはどうしても生じてしまいます。
無限正多角形で円周率は求まる? このように頂点の数が増えれば増えれるほど、その正多角形の周長は円周率に限りなく近づいていきます。
この性質を利用し、頂点の数、すなわち正n角形においてnを無限にすると、正n角形が円の形に近づき、「 正n角形の周の長さ=円周 」となっていくのがわかります。
しかしこれはどう考えても不可能です! 現実的に「周の長さ=円周」となることはなく、 あくまで近似値にしかなりません。
改めて言いますと、nは無限大です。
仮に「n=10000」の時は正1万角形となり、ほぼ円の形と等しくなります。
だけどあくまでほぼ等しくなるだけで、完全に一致することはありません。
正多角形はどれだけ頂点の数が増えても所詮多角形です。完全な円にはなりません。
無限大の数字には終わりはないので、正n角形の周の長さは限りなく円周率に近づくだけで、永遠に一致しません。
このようにして考えてもらえれば、円周率の桁数に終わりはないということがなんとなくイメージできるでしょう。
因みにもっと数学的に厳密な証明が知りたいという方は、以下の動画をご覧ください。
難しい数式や公式などが出てきてかなり複雑です、理数系に進む学生なら参考になると思います。
※円周率はあの探査衛星はやぶさの帰還にも貢献していたんです。詳しくはコチラの記事をどうぞ!
円周率とは？｜大森 武｜Note
円周率が割り切れたというのは本当ですか? 何桁で割り切れたんですか?
ベストアンサー 暇なときにでも
2005/07/13 03:31
円周率を暗記するのが趣味の人がいます。
円周は、どこまでいっても直径で割り切れないようです。
これには理由があるのですか? それとも偶然でしょうか? きちんと割り切れなく困ることはありませんか? よろしくお願いします。 カテゴリ 学問・教育 数学・算数 共感・応援の気持ちを伝えよう! 回答数 10
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