曲線の長さ積分

Sun, 02 Jun 2024 16:03:13 +0000

曲線の長さを積分を用いて求めます。媒介変数表示を用いる場合公式 $\displaystyle L=\int_a^b \sqrt{\Big(\cfrac{dx}{dt}\Big)^2+\Big(\cfrac{dy}{dt}\Big)^2}\space dt$ これが媒介変数表示のときの曲線の長さを求める公式。直線の例で考える簡単な例で具体的に見てみましょう。例えば,次の式で表される線の長さを求めます。 $\begin{cases}x=2t\\y=3t\end{cases}$ $t=1$ なら,$(x, y)=(2, 3)$ で,$t=2$ なら $(x, y)=(4, 6)$ です。比例関係だよね。つまり直線になる。たまにみるけど $\Delta$ って何なんですか?

曲線の長さ積分極方程式
曲線の長さ積分証明
曲線の長さ積分例題

曲線の長さ積分極方程式

簡単な例として, $ \theta $ を用いて, x = \cos{ \theta} \\ y = \sin{ \theta} で表されるとする. 大学数学: 26　曲線の長さ. この時, を変化させていくと, は半径が $1 $ の円周上の各点を表していることになる. ここで, 媒介変数 $ \theta=0 $ $ \theta = \displaystyle{\frac{\pi}{2}} $ まで変化させる間にが描く曲線の長さは \frac{dx}{d\theta} =- \sin{ \theta} \\ \frac{dy}{d\theta} = \cos{ \theta} &= \int_{\theta = 0}^{\theta = \frac{\pi}{2}} \sqrt{ \left( \frac{dx}{d\theta}\right)^2 + \left( \frac{dy}{d\theta}\right)^2}\ d\theta \\ &= \int_{\theta = 0}^{\theta = \frac{\pi}{2}} \sqrt{ \left( – \sin{\theta} \right)^2 + \left( \cos{\theta} \right)^2}\ d\theta \\ &= \int_{\theta = 0}^{\theta = \frac{\pi}{2}} d\theta \\ &= \frac{\pi}{2} である. これはよく知られた単位円の円周の長さ $2\pi $ の $ \frac{1}{4} $ に一致しており, 曲線の長さを正しく計算できてることがわかる [5]. 一般的に, 曲線に沿った線積分を \[ l = \int_{C} \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \ dt \] で表し, 二次元または三次元空間における微小な線分の長さを dl &= \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \ dt \quad \mbox{- 二次元の場合} \\ dl &= \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dz}{dt} \right)^2} \ dt \quad \mbox{- 三次元の場合} として, \[ l = \int_{C} \ dl \] と書くことにする.

曲線の長さ積分証明

導出 3. 1 方針最後に導出を行いましょう。媒介変数表示の公式を導出できれば、残り二つも簡単に求めることができるので、媒介変数表示の公式を証明する方針で行きます。証明の方針としては、曲線の長さを折れ線で近似して、折れ線の本数を増やしていくことで近似の精度を上げていき、結局は極限を取ってあげると曲線の長さを求めることができる、という仮定のもとで行っていきます。 3.

曲線の長さ積分例題

何問か問題を解けば、曲線の長さの公式はすんなりと覚えられるはずです。計算力が問われる問題が多いので、不安な部分はしっかり復習しておきましょう!

26 曲線の長さ本時の目標区分求積法により,曲線 $y = f(x)$ の長さ $L$ が \[L = \int_a^b \sqrt{1 + \left\{f'(x)\right\}^2} \, dx\] で求められることを理解し,放物線やカテナリーなどの曲線の長さを求めることができる。媒介変数表示された曲線の長さ $L$ が \[L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\hspace{0.