平方剰余 [ 編集] を奇素数、 を で割り切れない数、 としたときに解を持つ、持たないにしたがって を の 平方剰余 、 平方非剰余 という。 のとき が平方剰余、非剰余にしたがって とする。また、便宜上 とする。これを ルジャンドル記号 と呼ぶ。 したがって は の属する剰余類にのみ依存する。そして ならば の形の平方数は存在しない。 例 である。 補題 1 を の原始根とする。 定理 2. 3. 4 から が解を持つのと が で割り切れるというのは同値である。したがって 定理 2. 10 [ 編集] ならば 証明 合同の推移性、または補題 1 によって明白。 定理 2. 11 [ 編集] 補題 1 より 定理 2. 制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/連立微分方程式の解法/(sI-A)^-1の原像/Cayley-Hamilton の定理 - Wikibooks. 4 より 、これは に等しい。ここで再び補題 1 より、これは に等しい。 定理 2. 12 (オイラーの規準) [ 編集] 証明 1 定理 2. 4 から が解を持つ、つまり のとき、 ここで、 より、 したがって 逆に 、つまり が解を持たないとき、再び定理 2. 4 から このとき フェルマーの小定理 より よって 以上より定理は証明される。 証明 2 定理 1.
4 [ 編集] と素因数分解する。 を法とする既約剰余類の個数は である。 ここで現れた を の オイラー関数 (Euler's totient) という。これは 円分多項式 の次数として現れたものである。 フェルマー・オイラーの定理 [ 編集] 中国の剰余定理から、フェルマーの小定理は次のように一般化される。 定理 2. 5 [ 編集] を と互いに素な整数とすると が成り立つ。 と互いに素な数で 1 から までのもの をとる。 中国の剰余定理から である。 はすべて と互いに素である。さらに、これらを で割ったとき余りはすべて異なっている。 よって、これらは と互いに素な数で 1 から までのものをちょうど1回ずつとる。 したがって、 である。積 も と互いに素であるから 素数を法とする場合と同様 を と互いに素な数とし、 となる最小の正の整数 を を法とする の位数と呼ぶ。 位数の法則 から が成り立つ。これと、フェルマー・オイラーの定理から位数は の約数であることがわかる(この は、多くの場合、より小さな値をとる関数で置き換えられることを 合成数を法とする剰余類の構造 で見る)。
5. 1 [ 編集] が奇素数のとき、位数が となる剰余類 が存在する。さらに を法とする剰余類で と互いに素なものは と一意的にあらわせる。 の場合はどうか。 であるから、 の位数は である。 であり、 を法とする剰余類で 8 を法として 1, 3 と合同であるものの個数は 個である。したがって、次の事実がわかる: のとき、位数が となる剰余類 が存在する。さらに を法とする剰余類で 8 を法として 1, 3 と合同であるものは と一意的にあらわせる。 に対し は 8 を法として 7 と合同な剰余類を一意的に表している。同様に に対し は 8 を法として 5 と合同な剰余類を一意的に表している。よって2の冪を法とする剰余類について次のことがわかる。 定理 2. 2 [ 編集] のとき、位数が となる剰余類 が存在する。さらに を法とする剰余類は と一意的にあらわせる。 以上のことから、次の定理が従う。 定理 2. 3 [ 編集] 素数冪 に対し を ( または のとき) ( のとき) により定めると で割り切れない整数 に対し が成り立つ。そして の位数は の約数である。さらに 位数が に一致する が存在する。 一般の場合 [ 編集] 定理 2. 初等整数論/合成数を法とする剰余類の構造 - Wikibooks. 3 と 中国の剰余定理 から、一般の整数 を法とする場合の結果がすぐに導かれる。 定理 2. 4 [ 編集] と素因数分解する。 を の最小公倍数とすると と互いに素整数 に対し ここで定義した関数 をカーマイケル関数という(なお と定める)。定義から は の約数であるが、 ( は奇素数)の場合を除いて は よりも小さい。
9 より と表せる。このとき、 となる。 とおくと、 となる。(4) より、 とおけば、 は で割り切れる。したがって、合同の定義より方程式の (1) を満たす。また、同様に (3) を用いることで、(2) をも満たすことは容易に証明される。 よって、解が存在することが証明された。 さて、その唯一性であるが、 を任意の解とすれば、 となる。また同様にして となる。したがって合同の定義より、 は の公倍数。 より、 は の倍数である。したがって となり、唯一性が保証された。 次に、定理を k に関する数学的帰納法で証明する。 (i) k = 1 のとき は が唯一の解である(除法の原理より唯一性は保証される)。 (ii) k = n のとき成り立つと仮定する 最初の n の式は、帰納法の仮定によって なる がただひとつ存在する。 ゆえに、 を解けば良い。仮定より、 であるから、k = 2 の場合に当てはめて、この方程式を満たす が、 を法としてただひとつ存在する。 したがって、k = n のとき成り立つならば k = n+1 のときも成り立つことが証明された。 (i)(ii) より数学的帰納法から定理が証明される。 証明 2 この証明はガウスによる。 とおき、 とおく。仮定より、 なので 定理 1. 8 から なる が存在する。 すると、連立合同方程式の解は、 となる。なぜなら任意の について、 となり、他の全ての項は の積なので で割り切れる。 したがって、 となる。よって が解である。 もちろん、各剰余類 に対し、 となる剰余類 はただ一つ存在する。このことから と は 1対1 に対応していることがわかる。 特に は各 に対して となることと同値である。 さて、 1より大きい整数 を と素因数分解すると、 はどの2つをとっても互いに素である。 ここで、次のことがわかる。 定理 2. 3 [ 編集] と素因数分解すると、任意の整数 について、 を満たす は を法としてただひとつ存在する。 さらに、ここで が成り立つ。 証明 前段は中国の剰余定理を に適用したものである。 ならば は の素因数であり、そうなると は の素因数になってしまい、 となってしまう。 逆に を共に割り切る素数があるとするとそれは のいずれかである。そのようなものを1つ取ると より となる。 この定理から、次のことがすぐにわかる。 定理 2.
にある行列を代入したとき,その行列と が交換可能のときのみ,左右の式が等しくなる. 式 (5. 20) から明らかなように, と とは交換可能である [1] .それゆえ 式 (5. 18) に を代入して,この定理を証明してもよい.しかし,この証明法に従うときには, と の交換可能性を前もって別に証明しておかねばならない. で であるから と は可換, より,同様の理由で と は可換. 以下必要なだけ帰納的に続ければ と は可換であることがわかる. 例115 式 (5. 20) を用いずに, と が交換可能であることを示せ. 解答例 の逆行列が存在するならば, より, 式 (5. 16) , を代入して両辺に を掛ければ, , を代入して、両辺にあらわれる同じ のべき乗の係数を等置すると, すなわち, と は可換である.
いままでの議論から分かるように,線形定常な連立微分方程式の解法においては, の原像を求めることがすべてである. そのとき中心的な役割を果たすのが Cayley-Hamilton の定理 である.よく知られているように, の行列式を の固有多項式あるいは特性多項式という. が 次の行列ならば,それも の 次の多項式となる.いまそれを, とおくことにしよう.このとき, が成立する.これが Cayley-Hamilton の定理 である. 定理 5. 1 (Cayley-Hamilton) 行列 の固有多項式を とすると, が成立する. 証明 の余因子行列を とすると, と書ける. の要素は高々 次の の多項式であるので, と表すことができる.これと 式 (5. 16) とから, とおいて [1] ,左右の のべきの係数を等置すると, を得る [2] .これらの式から を消去すれば, が得られる. 式 (5. 19) から を消去する方法は, 上から順に を掛けて,それらをすべて加えればよい [3] . ^ 式 (5. 16) の両辺に を左から掛ける. 実際に展開すると、 の係数を比較して, したがって の項を移項して もう一つの方法は上の段の結果を下の段に代入し, の順に逐次消去してもよい. この方法をまとめておこう. と逐次多項式 を定義すれば, と書くことができる [1] . ただし, である.この結果より 式 (5. 18) は, となり,したがってまた, を得る [2] . 式 (5. 19) の を ,したがって, を , を を置き換える. を で表現することから, を の関数とし, に を代入する見通しである. 式 (5. 21) の両辺を でわると, すなわち 注意 式 (5. 19) は受験数学でなじみ深い 組立除法 , にほかならない. は余りである. 式 (5. 18) を見ると が で割り切れることを示している.よって剰余の定理より, を得る.つまり, Cayley-Hamilton の定理 は 剰余の定理 や 因数定理 と同じものである.それでは 式 (5. 18) の を とおいていきなり としてよいかという疑問が起きる.結論をいえばそれでよいのである.ただ注意しなければならないのは, 式 (5. 18) の等式は と と交換できることが前提になって成立している.
「はみ出てる」どころの騒ぎじゃない パンとカツの比率がおかしすぎる「激安カツサンド」に反響 7/27(火) 20:00配信 パンとカツのバランスがおかしい――。 思わず二度見してしまう「カツサンド」が、ツイッターで注目を集めている。 デカすぎぃ! (画像はworey(@worey10)さんから) こちらは、ツイッターユーザーのworeyさんが2021年7月25日、ある店でテイクアウトした「チキンカツサンド」。 食パンからカツがはみ出しすぎた光景に、 「店でカツサンドを頼んだらパンとカツの比率が明らかにおかしい」 とつぶやいている。自宅にあった定規で、直径を測ったところ...... そのサイズ、なんと約16センチ。 しかも、このカツサンドは、2個で1人前。同じモノが、もう1個付いてきていたのだ。 そのボリュームで、値段は税込み400円だという。 色々と規格外すぎるカツサンドに、ツイッターには、 「いい意味(? )で比率がおかしい おいしそう」「まじで意味分からんバランスなんだよな」「こんなんカツサンドじゃなくてカツに添えられたパンじゃないか! !おいしそう!」 といった反応が寄せられている。 このカツサンドを販売しているのは、「チャンポンハウスたつや」(宮崎県・新富町)。Jタウンネット記者は27日、店主に詳しい話を聞いた。 なぜデカくて、リーズナブル? まずは、woreyさんにカツサンドを見たときの感想を聞いてみた。 思わず定規で計ってしまうほどの、衝撃だったのだろうか...... ? 「アルミホイルで包んだ状態で持ち帰ったので、最初はどんな大きさか分からなかったのですが、自宅で開けた瞬間大笑いしました。カツとパンの比率がギャグの域ですから... 」 味については、「形こそ凄いですが、掛かったソースと少しカレー風味の衣が食をすすめてくれました!」と述べた。 もう一個。カツサンドは、2個で1人前だ...... ! 【1食133円】チキンカツ＆ビーフシチューライス弁当レシピ～洋食屋の賄い飯的ランチボックス～ | ダイエット＠びぃらぼ. 前述のとおり、カツサンドは2個で1人前。それでいて値段も400円とリーズナブル。いったい、どんな意図で作られているのだろう。 記者は、「チャンポンハウスたつや」の店主・立山真一さんに話を聞いた。 カツサンドに挟まれているカツは、宮崎県産の鶏肉を使用したチキンカツ。地元の工場から直接店に届くものを、立山さんが毎朝捌いて、揚げているという。 パンに対してカツが大きい理由を聞くと、 「店には、学生さんが多く来ます。お小遣いで買える範囲の食事を提供したいと思ったのが、きっかけですね。学生さんたちの中には、お金があまりない子もいます。大きいものを1個出せば、みんなお腹いっぱいになって平等になると思いまして... 」 とのこと。 同店には、野球やサッカー、ラグビー部など、食べ盛りの高校生がよく来るという。 また、リーズナブルな価格については 「お客さんにお腹いっぱいになってほしいからです。また、子どもが100円玉を握りしめてお店に来ることもあって、細かなお釣りが出ないように、税込み400円で提供しています」 と語る。立山さんは、カツサンドがSNS上で話題になったことに対し、 「とにかくありがたいですね。コロナで苦しいときに、お店がやっていけるのは、みなさんのおかげだと思います」 とコメント。 カツが大きすぎるカツサンドには、店主の温かな気持ちも詰まっているようだ...... !
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