こんにちは、ウチダショウマです。 今日は、数学Ⅱで最も有用な定理の一つである 「二項定理」 について、公式を 圧倒的にわかりやすく 証明して、 応用問題(特に係数を求める問題) を解説していきます! 目次 二項定理とは? まずは定理の紹介です。 (二項定理)$n$は自然数とする。このとき、 \begin{align}(a+b)^n={}_n{C}_{0}a^n+{}_n{C}_{1}a^{n-1}b+{}_n{C}_{2}a^{n-2}b^2+…+{}_n{C}_{r}a^{n-r}b^r+…+{}_n{C}_{n-1}ab^{n-1}+{}_n{C}_{n}b^n\end{align} ※この数式は横にスクロールできます。 これをパッと見たとき、「長くて覚えづらい!」と感じると思います。 ですが、これを 「覚える」必要は全くありません !! 二項定理の公式と証明をわかりやすく解説（公式・証明・係数・問題）. ウチダ どういうことなのか、成り立ちを詳しく見ていきます。 二項定理の証明 先ほどの式では、 $n$ という文字を使って一般化していました。 いきなり一般化の式を扱うとややこしいので、例題を通して見ていきましょう。 例題. $(a+b)^5$ を展開せよ。 $3$ 乗までの展開公式は皆さん覚えましたかね。 しかし、$5$ 乗となると、覚えている人は少ないんじゃないでしょうか。 この問題に、以下のように「 組み合わせ 」の考え方を用いてみましょう。 分配法則で掛け算をしていくとき、①~⑤の中から $a$ か $b$ かどちらか選んでかけていく、という操作を繰り返します。 なので、$$(aの指数)+(bの指数)=5$$が常に成り立っていますね。 ここで、上から順に、まず $a^5$ について見てみると、「 $b$ を一個も選んでいない 」と考えられるので、「 ${}_5{C}_{0}$ 通り」となるわけです。 他の項についても同様に考えることができるので、組み合わせの総数 $C$ を用いて書き表すことができる! このような仕組みになってます。 そして、組み合わせの総数 $C$ で二項定理が表されることから、 組み合わせの総数 $C$ … 二項係数 と呼んだりすることがあるので、覚えておきましょう。 ちなみに、今「 $b$ を何個選んでいるか」に着目しましたが、「 $a$ を何個選んでいるか 」でも全く同じ結果が得られます。 この証明で、 なんで「順列」ではなく「組み合わせ」なの?
こんな方におすすめ 二項定理の公式ってなんだっけ 二項定理の公式が覚えられない 二項定理の仕組みを解説して欲しい 二項定理は「式も長いし、Cが出てくるし、よく分からない。」と思っている方もいるかもしれません。 しかし、二項定理は仕組みを理解してしまえば、とても単純な式です。 本記事では、二項定理の公式について分かりやすく徹底解説します。 記事の内容 ・二項定理の公式 ・パスカルの三角形 ・二項定理の証明 ・二項定理<練習問題> ・二項定理の応用 国公立の教育大学を卒業 数学講師歴6年目に突入 教えた生徒の人数は150人以上 高校数学のまとめサイトを作成中 二項定理の公式 二項定理の公式について解説していきます。 二項定理の公式 \((a+b)^{n}=_{n}C_{0}a^{n}b^{0}+_{n}C_{1}a^{n-1}b^{1}+_{n}C_{2}a^{n-2}b^{2}+\cdots+_{n}C_{n}a^{0}b^{n}\) Youtubeでは、「とある男が授業をしてみた」の葉一さんが解説しているので動画で見たい方はぜひご覧ください。 二項定理はいつ使う? \((a+b)^2\)と\((a+b)^3\)の展開式は簡単です。 \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\) では、\((a+b)^4, (a+b)^5, …, (a+b)^\mathrm{n}\)はどうでしょう。 このときに役に立つのが二項定理です。 \((a+b)^{n}=_{n}C_{0}a^{n}b^{0}+_{n}C_{1}a^{n-1}b^{1}+_{n}C_{2}a^{n-2}b^{2}+\cdots+_{n}C_{n-1}a^{1}b^{n-1}+_{n}C_{n}a^{0}b^{n}\) 二項定理 は\((a+b)^5\)や\((a+b)^{10}\)のような 二項のなんとか乗を計算するときに大活躍します!
ポイントは、 (1)…$3$をかけ忘れない! 二項定理とは？東大生が公式や証明問題をイチから解説！｜高校生向け受験応援メディア「受験のミカタ」. (2)…$(x-2)=\{x+(-2)\}$ なので、符号に注意! (3)…それぞれ何個かければ $11$ 乗になるか見極める! ですかね。 (3)の補足 (3)では、 $r$ 番目の項として、 \begin{align}{}_7{C}_{r}(x^2)^{7-r}x^r&={}_7{C}_{r}x^{14-2r}x^r\\&={}_7{C}_{r}x^{14-2r+r}\\&={}_7{C}_{r}x^{14-r}\end{align} と指数法則を用いてもOKです。 ここで、$$14-r=11$$を解くことで、$$r=3$$が導けるので、答えは ${}_7{C}_{3}$ となります。 今回は取り上げませんでしたが、たとえば「 $\displaystyle (x^2+\frac{1}{x})^6$ の定数項を求めよ」など、どう選べばいいかわかりづらい問題で、この考え方は活躍します。 それでは他の応用問題を見ていきましょう。 スポンサーリンク 二項定理の応用 二項定理を応用することで、さまざまな応用問題が解けるようになります。 特によく問われるのが、 二項係数の関係式 余りを求める問題 この2つなので、順に解説していきます。 二項係数の関係式 問題.
【補足】パスカルの三角形 補足として 「 パスカルの三角形 」 についても解説していきます。 このパスカルの三角形がなんなのかというと、 「2 行目以降の各行の数が、\( (a+b)^n \) の二項係数になっている!」 んです。 例えば、先ほど例で挙げた\( \color{red}{ (a+b)^5} \)の二項係数は 「 1 , 5 , 10 , 10 , 5 , 1 」 なので、同じになっています。 同様に他の行の数字も、\( (a+b)^n \)の二項係数になっています。 つまり、 累乗の数はあまり大きくないときは、このパスカルの三角形を書いて二項係数を求めたほうが早く求められます! ですので、パスカルの三角形は便利なので、場合によっては利用するのも手です。 4. 二項定理を利用する問題(係数を求める問題) それでは、二項定理を利用する問題をやってみましょう。 【解答】 \( (x-3)^7 \)の展開式の一般項は \( \color{red}{ \displaystyle {}_7 \mathrm{C}_r x^{7-r} (-3)^r} \) \( x^4 \)の項は \( r=3 \) のときだから \( {}_7 \mathrm{C}_3 x^4 (-3)^3 = -945x^4 \) よって、求める係数は \( \color{red}{ -945 \ \cdots 【答】} \) 5. 二項定理のまとめ さいごにもう一度、今回のまとめをします。 二項定理まとめ 二項定理の公式 … \( \color{red}{ \Leftrightarrow \ \large{ (a+b)^n = \displaystyle \sum_{ r = 0}^{ n} {}_n \mathrm{C}_r a^{n-r} b^r}} \) 一般項 :\( {}_n \mathrm{C}_r a^{n-r} b^r \) , 二項係数 :\( {}_n \mathrm{C}_r \) パスカルの三角形 …\( (a+b), \ (a+b)^2, \ (a+b)^3, \cdots \)の展開式の各項の係数は、パスカルの三角形の各行の数と一致する。 以上が二項定理についての解説です。二項定理の公式の使い方は理解できましたか? この記事があなたの勉強の手助けになることを願っています!
二項定理の練習問題① 公式を使ってみよう! これまで二項定理がどんなものか説明してきましたが、実際はどんな問題が出るのでしょうか? まずは復習も兼ねてこちらの問題をやってみましょう。 問題:(2x-3y) 5 を展開せよ。 これは展開するだけで、 公式に当てはめるだけ なので簡単ですね。 解答:二項定理を用いて、 (2x-3y) 5 = 5 C 0 ・(2x) 0 ・(-3y) 5 + 5 C 1 ・(2x) 1 ・(-3y) 4 + 5 C 2 ・(2x) 2 ・(-3y) 3 + 5 C 3 ・(2x) 3 ・(-3y) 2 + 5 C 4 ・(2x) 4 ・(-3y) 1 + 5 C 5 ・(2x) 5 ・(-3y) 0 =-243y 5 +810xy 4 -1080x 2 y 3 +720x 3 y 2 -240x 4 y+32x 5 …(答え) 別解:パスカルの三角形より、係数は順に1, 5, 10, 10, 5, 1だから、 (2x-3y) 5 =1・(2x) 0 ・(-3y) 5 +5・(2x) 1 ・(-3y) 4 +10・(2x) 2 ・(-3y) 3 + 10・(2x) 3 ・(-3y) 2 +5・(2x) 4 ・(-3y) 1 +1・(2x) 5 ・(-3y) 0 今回は パスカルの三角形を使えばCの計算がない分楽 ですね。 累乗の計算は大変ですが、しっかりと体に覚え込ませましょう! 続いて 問題:(x+4) 8 の展開式におけるx 5 の係数を求めよ。 解答:この展開式におけるx 5 の項は、一般項 n C k a k b n-k においてa=x、b=4、n=8、k=5と置いたものであるから、 8 C 5 x 5 4 3 = 8 C 3 ・64x 5 =56・64x 5 =3584x 5 となる。 したがって求める係数は3584である。…(答え) 今回は x 5 の項の係数のみ求めれば良いので全部展開する必要はありません 。 一般項 n C k a k b n-k に求めたい値を代入していけばその項のみ計算できるので、答えもパッと出ますよ! ここで、 8 C 5 = 8 C 3 という性質を用いました。 一般的には n C r = n C n-r と表すことができます 。(これは、パスカルの三角形が左右対称な事からきている性質です。) Cの計算で活用できると便利なので必ず覚えておきましょう!
例えば 5 乗の展開式を考えると $${}_5 \mathrm{C}_5 a^5 +{}_5 \mathrm{C}_4 a^4b +{}_5 \mathrm{C}_3 a^3b^2 +{}_5 \mathrm{C}_2 a^2b^3 +{}_5 \mathrm{C}_1 ab^4 +{}_5 \mathrm{C}_0 b^5$$ と計算すればいいですね。今回は 5 つの取れる場所があります。 これで $$(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5$$ と計算できてしまいます。これを 一般的に書いたものが二項定理 なのです。 二項定理は覚えなくても良い?
てめぇの頭はハッピーセットかよ?. 「てめぇの頭はハッピーセットかよ?. 」とは煽り目的で用いる言葉である。. 元ネタはboketeにおけるボケ。. 2013年3月にマクドナルドのキャラクターであるドナルドが電話を持っている画像に対してのボケとして投稿された。. このボケが非常に秀逸であったことから広まっていった。. 特にゲーム「機動戦士ガンダム. 「てめぇの頭はハッピーセットかよ?」とは煽り目的で用いる言葉である。 概要 意味としては、皮肉を込めて、おめでたい人に対して言うせりふ>台詞。侮蔑を含意する。 元ネタはboketeにおけるボケ。 2013年3月にマクドナルドのキャラクター てめぇの頭はハッピーセットかよ (てめぇのあたまははっぴーせっとかよ)とは【ピクシブ百科事典】. 「てめぇの頭はハッピーセットかよ」 語感が良すぎて、暴言なのか褒められているのか一瞬迷うレベル。 こんなの送られてきたらフレ登録送ってしまうかもしれない。 インターネットでの対戦ゲームは楽しいですが、画面の向こうに. 4(一)てめえの頭はハッピーセットかよ 5(三)汚いなさすが忍者汚い 6(右)おめぇも頑張んだよ 7(二)fack you 8(捕)私がゴマキ 9(投)やめなよ これでええやろ てめえの頭はハッピーセット(笑) 実際に言われたんですか?それとも何か漫画のセリフですか? ハッピーセットはお子様向けのメニューなので、お前の頭はおこちゃま並みか!ってことかと。 それか文字通りhappyで頭がおめでたいヤツって Rei 借金 玉. 三大、ゲームのオンラインでの名言「引くこと覚えろカス」「てめぇの頭はハッピーセットかよ」. 三大、オンラインゲームの名言「てめぇの頭はハッピーセットかよ」「引くこと覚えろカス」 引用元: 名無しキャット 2020/09/20(日) 20:24:49. 49 ID:sWZ5YIo90 あと一つは? 3: 名 守口 市 粟井 胃腸 科 内科. ネトゲの三大名言「引くこと覚えろカス」「てめぇの頭はハッピーセットかよ」 / 1: 2018/06/23(土) 14:50:49. 554 ID:0TT0ZZ9R0 しょうがないにゃあ 2: 2018/06/23(土) 14:51:22. 538 ID:MuEplbl10 完全に同意 お前の頭はハッピーセットかよのアラビア語を教えてください 恋愛相談 冷たかった彼氏がどんどん優しくなり心配です。 アラサー女です。 彼氏とは、知人の紹介で出会ってすぐ頻繁に会うようになり、1ヶ月して身体の関係を持つ.
545: 名無しさん ID:9b9LpmYo0 >>341 YOU BANの元ネタってこれなんか 580: 名無しさん ID:h1Y3mijI0 >>545 せやで 外人チーター?を呼び出してたんやけどGMがあんまし英語得意やないから出た言葉がYou Banやった 371: 名無しさん ID:4Uz1c8bKp 584 :枯れた名無しの水平思考:2013/09/28(土) 21:52:19. 67 ID:hIi9ejGr0 山本昌 HR 5 クエ中に「スクリュー! スクリュー! 」と発言連発してやたら的確に石ころやペイントボールを味方に当てまくり妨害 クエ終了後に「点取ってよー」と発言して退室 21.名前: 投稿日:2013/09/29(日) 20:04:18.
トップ イラスト マンガ 電子書籍 てめぇの頭はハッピーセットかよ タグを含むイラスト 投稿する マイページ てめぇの頭はハッピーセットかよの記事へ 絞込み 一般 2 春画(R-15) 0 すべて 関連タグ スマイルプリキュア サーバル(けものフレンズ) 星空みゆき 納豆餃子飴 口移し GN灰皿 ガンダム動物園 並び替え: コメントの新しい順 < 1 > 1〜2 件目を表示 あなたはガンダムの格闘ゲームが上手なフレンズなんだね!! ノノン 44948 55 82 今週のみゆきちゃん なつき 5402 4 10 ニコニ広告 運営会社 | 利用規約 | ヘルプ | トップページ © DWANGO Co., Ltd.
13 んぅ…ねむねむにゃんこなのだ( ´-ωก`) 829 : 風吹けば名無し :2020/09/20(日) 21:21:52. 75 アニメじゃよく見かけるMMORPGってリアルじゃほぼないよな ラノベの設定上にしか存在しないジャンルなのか? 830 : 風吹けば名無し :2020/09/20(日) 21:21:57. 76 ドラクエ10の名言って超うれぴくらいしかないやろ 831 : 風吹けば名無し :2020/09/20(日) 21:21:56. 19 ワイワイチャットうったら曝されるし… 832 : 風吹けば名無し :2020/09/20(日) 21:22:00. 16 >>727 アマンダほんとすき 833 : 風吹けば名無し :2020/09/20(日) 21:22:01. 20 >>820 いや作者が自白したんや 834 : 風吹けば名無し :2020/09/20(日) 21:21:58. 20 MMOは高齢化が進んで30代ばっかで草生える 835 : 風吹けば名無し :2020/09/20(日) 21:21:59. 35 >>813 たぶんAmandaのことやろ UOのころから面白かった 836 : 風吹けば名無し :2020/09/20(日) 21:21:59. 36 アニメじゃよく見かけるMMORPGってリアルじゃほぼないよな ラノベの設定上にしか存在しないジャンルなのか? 837 : 風吹けば名無し :2020/09/20(日) 21:22:03. 04 >>184 これほんと好き サポシなのも草生える 838 : 風吹けば名無し :2020/09/20(日) 21:22:12. 26 ID:g/ 俺DKだから大丈夫 839 : 風吹けば名無し :2020/09/20(日) 21:22:15. 23 しょうがないにゃあ・・いいよ 840 : 風吹けば名無し :2020/09/20(日) 21:22:15. 99 何年か前にドラクエ10しててドラクエFF板で今まで見たすごい名前みたいなスレで名前晒されてたわ 841 : 風吹けば名無し :2020/09/20(日) 21:22:22. 58 >>371 やたら的確なの笑う 842 : 風吹けば名無し :2020/09/20(日) 21:22:23. 60 まず仕事やめて貰えますか? てめぇの頭はハッピーセットかよ - ニコニコ静画 (イラスト). 睡眠と活動時間はこちらで管理します 収入や貯金ってどれほどありますか?