工学系の学生向けの教科書や講義において フーリエ級数 (Fourier series)を扱うとき, 三角関数 や 複素関数 を用いた具体的な 級数 を用いて表現する場合が多いと思います.本記事では, 関数解析 の教科書に記述されている, フーリエ級数 の数理的基盤になっている関数空間,それらの 内積 ,ノルムなどの概念を直接的に意識できるようないくつかの別の表現や抽象的な表現を,具体的な 級数 の表現やその導出と併せてメモしておくことにしました.Kreyszig(1989)の特に Example3. 4-5,Example3. 5-1を中心に,その他の文献も参考にしてまとめます. ================================================================================= 目次 1. 実数値連続関数を要素とする 内積 空間上の正規直交集合 1. 1. 内積 とノルム 1. 2. 正規直交集合を構成する関数列 2. 空間と フーリエ級数 2. 数学的基礎 2. 二乗可 積分 関数全体の集合 2. 3. フーリエ 係数 2. 4. フーリエ級数 2. 5. フーリエ級数 の 複素数 表現 2. 6. 実数表現と 複素数 表現の等価性 [ 1. 実数値連続関数を要素とする 内積 空間上の正規直交集合] [ 1. 内積 とノルム] 閉 区間 上の全ての実数値連続関数で構成される 内積 空間(文献[7]にあります) を考えます. 三角関数の直交性 0からπ. 内積 が以下で与えられているものとします. (1. 1) ノルムは 内積 空間のノルムの定義より以下です. (1. 2) この 距離空間 は完備ではないことが知られています(したがって は ヒルベルト 空間(Hilbert space)(文献[8]にあります)ではありません).以下の過去記事にあります. 連続関数の空間はLpノルムのリーマン積分版?について完備でないことを証明する - エンジニアを目指す浪人のブログ [ 1. 正規直交集合を構成する関数列] 以下の はそれぞれ の直交集合(orthogonal set)(文献[9]にあります)の要素,すなわち直交系(orthogonal sequence)です. (1. 1) (1. 2) なぜならば以下が成り立つからです(簡単な計算なので証明なしで認めます).
数学 x, y共に0以上の整数とするとき、35x+19y=2135を満たす(x, y)は何組あるか。 という問題が分かりません。 ユークリッドの互除法を使ったやり方しか思いつかず、35x+19y=1の特殊解を求めても、そもそも解が負になってしまいます。 正しい解法わかる方教えてください 数学 この問題は2番ですよね? 数学 三角関数の計算方法について質問です。 sin(π/6) cos(π/3) などの簡単な計算をするとき、頭の中で単位円を思い浮かべてやりますか?それとも計算結果は覚えておいた方がいいのでしょうか? 私は単位円でやるのですが、こんがらがったりしやすいのと、スピードが遅いので、覚えておくほうがいいのかな?と思っています。 皆さんはどう思われますか? 高校数学 f(x, y)=e^(x-y) n=2としてマクローリンの定理の適用 の計算過程と回答をよろしくお願いします 数学 21, 867票のうちの4パーセントは何票ですか? 数学 中二数学 【yについて解く】解説してくださる方いませんか? 7xy + 5 = 0 これをYについて解きなさい まずは+5を移項して、7xy = -5 にする。 解説ではその後いきなりy=の形になっているんですが 7xy=-5から何をすればy=の形になりますか? 数学 数学 次の問題をラグランジュの未定乗数法を用いて解答とその解き方を教えていただきたいです。 よろしくお願いいたします。 問)3辺の和が12となるような直角三角形を考える。直角三角形の面積が最大になる時の面 積と、三角形の3辺の長さと面積をラグランジュの未定乗数法を用いて求めよ。 数学 この2問の解き方を教えてください(>_<) 中学数学 解答を教えてください。 英語 こんな感じで赤丸している部分が見えるのですがどうすれば見えなくなりますか? 三角関数の直交性 証明. 前髪を端から端まで幅広くするのも変ですよね?なく 数学 f(x)=x²+ax-2a+1とおくと、 f(x)=(x+a/2)²-a²/4-2a+1 である。と書かれていたのですが、どうゆう風に展開?したのか教えていただけませんか? 数学 この問題の解き方が分かりません。答えは2で、2分計は3分、5分ごとに反転させられても、1分で残る砂がなくなるので、結局(2の倍数)分ごとに反転することになるから、求める回数は、整数1~59の中の2、3、5の倍数に等 しいと書いてあります。 なぜ1分で砂が無くなるのか、求める回数は1~59ではなく、60の中では無いのか疑問です。誰か教えてください 数学 中学の数学で、画像の問題の解き方がよく分からないので分かる方教えて頂きたいです。 (画像見にくくてすみません(>_<)) 中学数学 この2つの問題の詳しい解説お願いします!
紹介したのは、ほんの一部であり、またあまり証明を載せられていません。 できるだけ、証明は追記していきます。 もし、ほかに求め方が気になる方がいらっしゃいましたら、以下の記事をお勧めします。 (これを書いている途中に見つけてしまったが、目的が違うので許してください。) 【ハーレム】多すぎて選べない!Pythonで円周率πを計算する13の方法 無事、僕たちが青春を費やした円周率暗記の時間は無駄ではなかったですね! 三角関数をエクセルで計算する時の数式まとめ - Instant Engineering. 少しでも面白いと思っていただけたら幸いです。 僕は少し簡単なお話にしましたが、他の方の技術力マシマシの記事を見てみてくださいね! それでは、良い1日を。 Why not register and get more from Qiita? We will deliver articles that match you By following users and tags, you can catch up information on technical fields that you are interested in as a whole you can read useful information later efficiently By "stocking" the articles you like, you can search right away Sign up Login
この記事は 限界開発鯖 Advent Calendar 2020 の9日目です。 8日目: 謎のコミュニティ「限界開発鯖」を支える技術 10日目: Arduinoと筋電センサMyoWareで始める筋電計測 厳密性に欠けた説明がされてる場合があります。極力、気をつけてはいますが何かありましたらコメントか Twitter までお願いします。 さて、そもそも円周率について理解していますか? 大体、小5くらいに円周率3. 14のことを習い、中学生で$\pi$を習ったと思います。 円周率の求め方について復習してみましょう。 円周率は 「円の円周の長さ」÷ 「直径の長さ」 で求めることができます。 円周率は数学に限らず、物理や工学系で使われているので、最も重要な数学定数とも言われています。 1 ちなみに、円周率は無理数でもあり、超越数でもあります。 超越数とは、$f(x)=0$となる$n$次方程式$f$がつくれない$x$のことです。 詳しい説明は 過去の記事(√2^√2 は何?) に書いてありますので、気になる方は読んでみてください。 アルキメデスの方法 まずは、手計算で求めてみましょう。最初に、アルキメデスの方法を使って求めてみます。 アルキメデスの方法では、 円に内接する正$n$角形と外接する正$n$角形を使います。 以下に$r=1, n=6$の図を示します。 2 (青が円に内接する正6角形、緑が円に外接する正6角形です) そうすると、 $内接する正n角形の周の長さ < 円周 < 外接する正n角形の周の長さ$ となります。 $n=6$のとき、内接する正6角形の周の長さを$L_6$、外接する正6角形の周の長さを$M_6$とし、全体を2倍すると、 $2L_6 < 2\pi < 2M_6$ となります。これを2で割れば、 $L_6 < \pi < M_6$ となり、$\pi$を求めることができます。 もちろん、$n$が大きくなれば、範囲は狭くなるので、 $L_6 < L_n < \pi < M_n < M_6$ このようにして、円周率を求めていきます。アルキメデスは正96角形を用いて、 $3\frac{10}{71} < \pi < 3\frac{1}{7}$ を証明しています。 証明など気になる方は以下のサイトをおすすめします。 アルキメデスと円周率 第28回 円周率を数えよう(後編) ここで、 $3\frac{10}{71}$は3.
(1. 3) (1. 4) 以下を得ます. (1. 5) (1. 6) よって(1. 1)(1. 2)が直交集合の要素であることと(1. 5)(1. 6)から,以下の はそれぞれ の正規直交集合(orthogonal set)(文献[10]にあります)の要素,すなわち正規直交系(orthonormal sequence)です. (1. 7) (1. 8) 以下が成り立ちます(簡単な計算なので証明なしで認めます). (1. 9) したがって(1. 7)(1. 8)(1. 9)より,以下の関数列は の正規直交集合を構成します.すなわち正規直交系です. (1. 10) [ 2. 空間と フーリエ級数] [ 2. 数学的基礎] 一般の 内積 空間 を考えます. を の正規直交系とするとき,以下の 内積 を フーリエ 係数(Fourier coefficients)といいます. (2. 1) ヒルベルト 空間 を考えます. を の正規直交系として以下の 級数 を考えます(この 級数 は収束しないかもしれません). (2. 2) 以下を部分和(pairtial sum)といいます. (2. 3) 以下が成り立つとき, 級数 は収束するといい, を和(sum)といいます. (2. 4) 以下の定理が成り立ちます(証明なしで認めます)(Kreyszig(1989)にあります). ' -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3. 5-2 定理 (収束). を ヒルベルト 空間 の正規直交系とする.このとき: (a) 級数 (2. 2)が( のノルムの意味で)収束するための 必要十分条件 は以下の 級数 が収束することである: (2. 5) (b) 級数 (2. 2)が収束するとき, に収束するとして以下が成り立つ (2. 6) (2. 7) (c) 任意の について,(2. 7)の右辺は( のノルムの意味で) に収束する. 三角関数の直交性 内積. ' -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- [ 2.
1)の 内積 の 積分 内の を 複素共役 にしたものになっていることに注意します. (2. 1) 以下が成り立ちます(簡単な計算なので証明なしで認めます). (2. 2) したがって以下の関数列は の正規直交系です. (2. 3) 実数値関数の場合(2. 1)の類推から以下を得ます. (2. 4) 文献[2]の命題3. と定理3. も参考になります. フーリエ級数 は( ノルムの意味で)収束することが確認できます. [ 2. 実数表現と 複素数 表現の等価性] 以下の事実を示します. ' -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 事実. 実数表現(2. 1)と 複素数 表現(2. 4)は等しい. 証明. (2. 1) (2. 3) よって(2. 2)(2. 3)より以下を得る. (2. 4) ここで(2. 1)(2. 4)を用いれば(2. 1)と(2. 4)は等しいことがわかる. (証明終わり) '-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ================================================================================= 以上, フーリエ級数 の基礎をまとめました. 三角関数 による具体的な表現と正規直交系による抽象的な表現を併せて明示することで,より理解が深まる気がします. 参考文献 [1] Kreyszig, E. フーリエ級数の基礎をまとめる - エンジニアを目指す浪人のブログ. (1989), Introductory Functional Analysis with Applications, Wiley. [2] 東京大学 木田良才先生のノート [3] 名古屋大学 山上 滋 先生のノート [4] 九州工業大学 鶴 正人 先生のノート [5] 九州工業大学 鶴 正人 先生のノート [6] Wikipedia Fourier series のページ [7] Wikipedia Inner product space のページ [8] Wikipedia Hilbert space のページ [9] Wikipedia Orthogonality のページ [10] Wikipedia Orthonormality のページ [11] Wikipedia space のページ [12] Wikipedia Square-integrable function のページ [13] National Cheng Kung University Jia-Ming Liou 先生のノート
英検2級の英文法対策 英検2級で語彙の次に大事なのが、英文法です。 英文法ができるようになると、 英文法の問題が解ける 長文読解の英文が正しく読めるようになる といったメリットがあります。 あとは英文法ができないと英検2級は結構厳しいです。 英検の準2級とか3級とかはほんとにノリで読めるんですが、2級から英文法必須になります。 語彙力の強化と並行して、英文法を勉強していきましょう。 まずは英文法のルールを学ぼう 英文法で1番大事なのは、 まずはルールを知ること です。 例えば、 名詞 形容詞 副詞 不定詞 分詞構文 その他 といった用語がありますが、こういう英文法用語やルールを知ることは、英文法の勉強で避けては通れません。 逆に言うと、英文法はルールさえ知ってしまえば、意外とかんたんです。 ルールを知って知識が定着していると、 「なんだ、またこのパターンね」 というように超余裕になりますw ほんとに見た瞬間解けるものとかもいっぱいでてきます。 英検2級の英文法に関しては、高校生~大学受験生向けのスタディサプリを使うのがおすすめです。 スタディサプリは講師が解説している授業を見て、 英文法の仕組みの部分 から勉強できます。 英文法のルールって独学で勉強しようとしても、ぶっちゃけよくわからなくて進みません。 「は?第五文型?それがなんだよ!どう使うんだよ!!
【TEAP】 早慶上MARCHのTEAPを利用した一般入試の紹介! 【TEAP】 「TEAPの対策方法」について上智生がお答えします! 【TEAP】 「TEAPって何?」上智生が TEAPとはなにかを解説 ⑥他の4技能試験に比べ参考書の数が多い 英検は知名度が高いので、多数の参考書が販売されています。 たくさんあるため自分にあった参考書を見つけることができるので、効率的に勉強することができます! ⑦各級ごとに問題の難易度が違う 他の4技能試験(TEAPなど)と異なり、英検は各級ごとに問題の難易度が違うため自分のレベルにあった試験を受けることができるので、取り組みやすいです! ➇「大学入学共通テスト」で利用できる 2021年度からセンター試験に変わり「大学入学共通テスト」がはじまりますが、英語民間試験が活用されることになっていて、英検も利用できます。 (注意点として「大学入学共通テスト」で利用できる英検の方式は従来の方式と異なります。問題構成や難易度などは変わりません。詳しくは英検の公式サイトをご覧ください。) 以上のように、いったんある程度のスコアを取ってしまえば「大学入学共通テスト」でも大学入試試験でも利用でき大学入学後も役に立つと夢のようなメリットが英検にはあります。 【2020年度】 センター廃止!大学入学共通テストへ変更! では次に「何級から受ければいいのか?」について説明していきたいと思います。 英検は何級から受ければいいの? 武田塾は2級から受けることをオススメしています。 理由として、2級の対策をすれば色々な 4技能試験(英検、TEAPなど)への対策の土台 となるからです! 2級はそこまで難易度が高くなく、英検公式サイトによると英検二級の目安として高校卒業程度となっています。 ( 参照) 大学受験に例えるとセンターレベルぐらいですね。 取り組みやすいちょうどよいレベルです。 そして上のメリットについてのところでも説明しましたが、4技能への注目が高まっており、試験問題でリーディングだけではなく英作文や自由英作文を出題する大学も増えています。 2級を対策すれば英作文や自習英作文も対策できます。 取り組みやすく、また大学受験で出題される分野もカバーしているので2級は大学受験に最適です! では次に実際にどのように対策すればいいのか説明していきたいと思います。 英検2級の対策方法 基本的には武田塾参考書ルートの日大レベルを最初に終わらせてください。 日大レベルを完璧にすれば4技能へスムーズに入ることができます。 いきなり英検の対策を始めるのではなく、 日大レベルのルートで 基礎を固めましょう!
「出る順パス単 英検2級」 リンク まさに王道。 英検2級の英単語はこれで完全に網羅できます。3000~5000語レベルの単語が 1700語載っています。 出る度Aと出る度Bは完璧に覚えておけば、本番では結構スラスラ読めると思います。 出る度Cは覚えなくても問題ないです。 「出る順パス単 英検2級」を使う場合は、これ一冊でOK。他に単語帳を使う必要はありません。 私は「出る順パス単 英検2級」をほぼ完璧に暗記していて、試験本番では分からな単語は2,3つでした。 でも周囲の単語が分かるので、かなり明確に推測できました。 私の友達は単語は「出る度A・B」、熟語は「出る度A」までやって合格する人が多かったです。 究極の英単語 Vol. 2中級の3000語 3000~6000語レベルの 3000語収録 です。 英検2級の問題の中に分からない単語はほとんどなくなると思います。しかし、少し覚えすぎな感じはします。 ここまでやると、大学受験でもほぼMAXレベルです。 余裕がある人はこっちの英単語をガチガチに固めておくと、余裕で合格できると思います。 もし「単語帳の出る度Aから知らない単語ばかり」「究極の英単語が全然わからない」という人は、↓のシステム英単語Basicから始めればいいと思います。 中学レベルから復習して、無理なく高校レベルに入れます。 英単語帳の使い方 あなたは単語帳を覚えるときに 「1日目は1~30、2日目は31~60、……。この調子で行けば、2か月で1, 800単語を覚えられる!」 というタイプの人間ですか?
という英文は読めますか? 「ハッwなめるなよおお!」 「私はあなたに犬を与えたじゃあああ」 と読んでしまったらアウトですw 文の構造ではSVO1O2になるので、「O1にO2を与えた」と和訳しないといけません。 文法的には「私は犬にあなたを与えた」と和訳するのが、正しいです。 でまあ、このように英文法のルールに乗っ取って読むことの何が良いのかというと、 ルールを使ってパターンにあてはめることができるから です。 I accorded him praise. という英文の「は?accordってなんだよ?」となっても、これが SVO1O2と分かれば、「O1をO2に与えた」と和訳できます。 「SVO1O2はO1にO2を与える」で、ほとんど和訳できるというルールがあるからですねー。 (O1とO2がイコール関係でない場合はSVO1O2になるヨ!) 上のような例のように、ルールを知ってれば読める文章っていっぱいあります。 だからこそ、ルールを知って、まずは短文を読む練習をするのが大事です。 それが長文読解の基礎となる、精読というお勉強。 そして精読の基礎になるのが、語彙と英文法の2つです。 精読の勉強をするのにおすすめの方法 精読も英文法同様に仕組みから理解する必要があるので、プロから教わるのが効率良いです。 上の英文法でも紹介した「スタディサプリ」の読解講座をやると勉強しやすいカナーというところ。 和訳するルール 英文を読むルール ところらへんが学べるので、語彙と文法がそこそこできるようになってきたら、長文読解の基礎となる精読を少しずつ始めましょう。 それに、いきなり長い文章を読むと挫折します。 「は?語彙と文法は勉強したのに読めねーよ!なげーよ! !##」とキレそうになるので、まずは少しずつ1歩1歩進めていくのがよいですね。 英文を読むルールをまずは知ることで、正しく英文が読めることを始めとして、語彙の推測や問題への応用などができるようになります。 ただの丸暗記では英語はどっかで行き詰ってしまうので、仕組みから学んでいきましょう。 スタディサプリの読解編へ 短文に慣れてきたら少しずつ長文の勉強を! 「英語の短文ならかなり正確に読めるようになってきた!」と感じたら、少しずつ長文をやっていきましょう。 長文は問題集がいろいろありますが、英検2級に合格するために勉強するのであれば、 旺文社の出してる過去問でいいのかなー と思います。 すべて終わってしまったら、何度も脳内で和訳して、音読を繰り返す。 反復も大分できてきたら、 大学受験用の長文問題集 スタディサプリの読解編の長文 らへんをやればいいです。 英検2級の長文読解問題は、大学受験の英文とかなり似ているものが多いので、大学受験用のでもいいかもしれません!