三平方の定理 \[ x^2+y^2 \] を満たす整数は無数にある. \( 3^2+4^2=5^2 \), \(5^2+12^2=13^2\) この両辺を z^2 で割った \[ (\frac{x}{z})^2+(\frac{y}{z})^2=1 \] 整数x, y, z に対し有理数s=x/z, t=y/zとすれば,半径1の円 s^2+t^2=1 となる. フェルマーの最終定理とは？証明の論文の理解のために超わかりやすく解説！ | 遊ぶ数学. つまり,原点を中心とする半径1の円の上に有理数(分数)の点が無数にある. これは 円 \[ x^2+y^2=1 \] 上の点 (-1, 0) を通る傾き t の直線 \[ y=t(x+1) \] との交点を使って,\((x, y)\) をパラメトライズすると \[ \left( \frac{1-t^2}{1+t^2}, \, \frac{2t}{1+t^2} \right) \] となる. ここで t が有理数ならば,有理数の加減乗除は有理数なので,円上の点 (x, y) は有理点となる.よって円上には無数の有理点が存在することがわかる.有理数の分母を払えば,三平方の定理を満たす無数の整数が存在することがわかる. 円の方程式を t で書き直すと, \[ \left( \frac{1-t^2}{1+t^2}\right)^2+\left(\frac{2t}{1+t^2} \right)^2=1 \] 両辺に \( (1+t^2)^2\) をかけて分母を払うと \[ (1-t^2)^2+(2t)^2=(1+t^2)^2 \] 有理数 \( t=\frac{m}{n} \) と整数 \(m, n\) で書き直すと, \[ \left(1-(\frac{m}{n})^2\right)^2+\left(2(\frac{m}{n})\right)^2=\left(1+(\frac{m}{n})^2\right)^2 \] 両辺を \( n^4 \)倍して分母を払うと \[ (n^2-m^2)^2+(2mn)^2=(n^2+m^2)^2 \] つまり3つの整数 \[ x=n^2-m^2 \] は三平方の定理 \[ x^2+y^2=z^2 \] を満たす.この m, n に順次整数を入れていけば三平方の定理を満たす3つの整数を無限にたくさん見つけられる. \( 3^2+4^2=5^2 \) \( 5^2+12^2=13^2 \) \( 8^2+15^2=17^2 \) \( 20^2+21^2=29^2 \) \( 9^2+40^2=41^2 \) \( 12^2+35^2=37^2 \) \( 11^2+60^2=61^2 \) … 古代ギリシャのディオファントスはこうしたことをたくさん調べて「算術」という本にした.
すべては、「谷山-志村予想」を証明することに帰着したわけですね。 ただ、これを証明するのがまたまた難しい! ということで、1995年アンドリュー・ワイルズさんという方が、 「フライ曲線は半安定である」 という性質に目をつけ、 「すべての半安定の楕円曲線はモジュラーである。」 という、谷山-志村予想より弱い定理ではありますが、これを証明すればフェルマーの最終定理を示すには十分であることに気が付き、完璧な証明がなされました。 ※ちなみに、今では谷山-志村予想も真であることが証明されています。 ABC予想とフェルマーの最終定理 耳にされた方も多いと思いますが、2012年京都大学の望月新一教授がabc予想の証明の論文をネット上に公開し話題となりました。 この「abc予想が正しければフェルマーの最終定理が示される」という主張をよく散見しますが、これは半分正しく半分間違いです。 abc予想は「弱いabc予想」「強いabc予想」の2種類があり、発表された証明は弱い方なんですね。 ここら辺については複雑なので、別の記事にまとめたいと思います。 abc予想とは~(準備中) フェルマーの最終定理に関するまとめ いかがだったでしょうか。 300年もの間、多くの数学者たちを悩ませ続け、現在もなお進展を見せている「フェルマーの最終定理」。 しかしこれは何ら不思議なことではありません! 我々が今高校生で勉強する「微分積分」だって、16世紀ごろまではそれぞれ独立して発展している分野でした。 それらが結びついて「微分積分学」と呼ばれる学問が出来上がったのは、 つい最近の出来事 です。 今当たり前のことも、大昔の人々が真剣に悩み考え抜いてくれたからこそ存在する礎なのです。 我々はそれに日々感謝した上で、自分のやりたいことをするべきだと僕は思います。 以上、ウチダショウマでした。 それでは皆さん、よい数学Lifeを! 世界の数学者の理解を超越していた「ABC予想」 査読にも困難をきわめた600ページの大論文(4/6) | JBpress (ジェイビープレス). !
フェルマー予想 の証明PDFと,その概要を理解するための数論幾何の資料。 フェルマー予想とは?
こんにちは、ウチダショウマです。 今日は、誰もが一度は耳にしたことがあるであろう 「フェルマーの最終定理(フェルマーの大定理)」 の証明が載ってある論文を理解するために、その論文が発表されるまでのストーリーなどの背景知識も踏まえながら、 圧倒的にわかりやすく解説 していきたいと思います! 目次 フェルマーの最終定理とは いきなりですが定理の紹介です。 (フェルマーの最終定理) $3$ 以上の自然数 $n$ について、$$x^n+y^n=z^n$$となる自然数の組 $(x, y, z)$ は存在しない。 17世紀、フランスの数学者であるピエール・ド・フェルマーは、この定理を提唱しました。 しかし、フェルマー自身はこの定理の証明を残さず、代わりにこんな言葉を残しています。 この定理に関して、私は真に驚くべき証明を見つけたが、この余白はそれを書くには狭すぎる。 ※ Wikipedia より引用 これ、かっこよすぎないですか!? ただ、後世に残された我々からすると、 「余白見つけてぜひ書いてください」 と言いたくなるところですね(笑)。 まあ、この言葉が真か偽かは置いといて、フェルマーの死後、いろんな数学者たちがこの定理の証明に挑戦しましたが、結局誰も証明できずに 300年 ほどの月日が経ちました。 これがフェルマーの"最終"定理と呼ばれる理由でしょう。 しかし! 時は1995年。 なんとついに、 イギリスの数学者であるアンドリュー・ワイルズによって、フェルマーの最終定理が完全に証明されました! 証明の全容を載せたいところですが、 この余白はそれを書くには狭すぎる ので、今日はフェルマーの最終定理が提唱されてから証明されるまでの300年ものストーリーを、数学的な話も踏まえながら解説していきたいと思います♪ スポンサーリンク フェルマーの最終定理の証明【特殊】 さて、まず難解な定理を証明しようとなったとき、最初に出てくる発想が 「具象(特殊)化」 です。 今回、$n≧3$ という非常に広い範囲なので、まずは $n=3$ や $n=4$ あたりから証明していこう、というのは自然な発想ですよね。 ということで、 "個別研究の時代" が幕を開けました。 $n=4$ の準備【無限降下法と原始ピタゴラス数】 実はフェルマーさん、$n=4$ のときだけは証明してたんですね! しかし、たかが $n=4$ の時でさえ、必要な知識が二つあります。 それが 「無限降下法」という証明方法と、「原始ピタゴラス数」を作り出す方法 です。 ですので、まずはその二つの知識について解説していきたいと思います。 役に立つ内容であることは間違いないので、ぜひご覧いただければと思います♪ 無限降下法 まずは 無限降下法 についてです!
(1)親指は赤と濃いピンク、人さし指は濃いピンクとブラッドオレンジ、中指はブラッドオレンジとオレンジ、薬指はオレンジとマスタード、小指はマスタードとイエローのポリッシュを使う。 (2)親指の左右の外側からそれぞれのポリッシュを、縦2/3まで塗る。これを2度繰り返す。中央部分に色が重なることで、キレイなグラデーションに。ほかの指も同様に塗っていって。 (3)仕上げに、すべての指にトップコートを塗って完成。 初出:【365日ネイル】イエロー~レッドのグラデーションで夏の日差しをイメージ!
【4】ピンクベージュ ▲ADDICTION|ザ ネイルポリッシュ 003S Dear Liar さりげなくシックな手元に仕上げてくれるピンクベージュ。あえて少しスモーキーなトーンを選び、ノンパールのマットな色味で落ち着いた印象に。 【ピンクベージュ ネイル】4選|仕事場でも大活躍するシックな万能カラー! くすみピンクは大人女子にこそおすすめ♡今っぽカラーや最新デザインご紹介｜mamagirl [ママガール]. 【5】シャイニーピンク ▲RMK|ネイルポリッシュ 29(SH) シックな指先を彩るシャイニーなミルキーピンク。すばやく乾かし、上品なツヤ感とつけたてのクリアな発色をキープしてくれる。 【簡単セルフネイル】オフィスの手元美人♡ 夏っぽ見本帖 【6】モーヴピンク ▲(写真:左)DAZZSHOP|エモーティブネイルパフォーマー 04 上品なツヤ感と絶妙なニュアンスのブルーパール配合のモーヴピンク。重ねるごとに表情の変化を楽しんで。 【セルフネイル】ミニ爪でもネイルを楽しみたい! 簡単ラメグラデーション|堂免麻未のアラサーメイク 働く大人の好印象ピンクネイル7選 堅い職場から自由度の高いオフィスまで、ネイルのドレスコートは勤め先によってさまざま。ここでは全方位に好印象を与える7つのピンクネイルをご紹介します。血色感が足りない素爪も、ピンクネイルがあればヘルシーな印象に。アクセサリーとの合わせ方などもぜひ参考にしてみて。 【1】フェミニンンピンクをワンカラーで フェミニンなベビーピンクのワンカラーは、オフィスのドレスコードが厳しいシーンでも好感度ばっちり。 【2】グレイッシュピンクにスタッズをON グレイッシュピンクで人と差のつく大人の指先。小物もひとひねりで注目の的。 【3】コーラルピンク×ゴールドアクセ コーラルピンクはヘルシーで健康的なイメージに。ゴールドアクセと相性◎ 【4】ポンポンするだけOK! ピンクグラデーションネイル 簡単なのに凝って見えるスポンジグラデーションのネイル。ピンクやレッドをそれぞれアイシャドウチップに取り、ポンポンするだけ。ほかの指はコーラルピンクで統一。カジュアルな遊び心あるネイルに♪ 【5】営業や訪問にもぴったりのピンクネイル 淡いピンク色はクライアント先への訪問や営業ウーマンにもおすすめ。手元は万人受けのピンクやベージュで決めて、足元は実は真っ赤なペディキュアとか、脱いだときにギャップがあっていい! 旅行会社勤務・渡辺亜以さんは平日【ブルガリ】休日【カルティエ】|働く女性の手元コーデ 【6】女性らしい手元をつくるピンクネイル 薄いピンク色は肌になじみ、指先を長くキレイにみせてくれる。華奢なアクセサリーとも相性がよく、どこまでも女性らしい手元に。どんなシーンにも合うピンクネイルで仕事もはかどる!
速乾だから塗りやすい!【DAZZSHOP】のマニュキュアが優秀♪|堂免麻未のアラサーメイク 最後に 今回はオフィスで活躍するピンクネイルをご紹介しました。デザインは極シンプルですが、職場ではそれぐらいがちょうどよい塩梅。シンプルだからこそ、ニュアンスのあるピンクやきらめきをプラスすることで、自分らしさにこだわったネイルを楽しんでくださいね。