補足 特性方程式を解く過程は,試験の解答に記述する必要はありません。 「\( a_{n+1} = 3a_n – 4 \) を変形すると \( \color{red}{ a_{n+1} – 2 = 3 (a_n – 2)} \)」と書いてしまってOKです。 3.
三項間漸化式: a n + 2 = p a n + 1 + q a n a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n の3通りの解法と,それぞれのメリットデメリットを解説します。 特性方程式を用いた解法 答えを気合いで予想する 行列の n n 乗を求める方法 例題として, a 1 = 1, a 2 = 1, a n + 2 = 5 a n + 1 − 6 a n a_1=1, a_2=1, a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_n を解きます。 特性方程式の解が重解になる場合は最後に補足します。 目次 1:特性方程式を用いた解法 2:答えを気合いで予想する 行列の n n 乗を用いる方法 補足:特性方程式が重解を持つ場合
タイプ: 教科書範囲 レベル: ★★ 漸化式の基本はいったんここまでです. 今後の多くのパターンの核となるという意味で,漸化式の基本としてかなり重要なので,仕組みも含めて理解しておくようにしましょう. 例題と解法まとめ 例題 2・4型(特性方程式型) $a_{n+1}=pa_{n}+q$ 数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ. $a_{1}=6$,$a_{n+1}=3a_{n}-8$ 講義 このままでは何数列かわかりませんが, 下のように $\{a_{n}\}$ から $\alpha$ 引いた数列 $\{a_{n}-\alpha\}$ が等比数列だと言えれば, 等比型 の解き方でいけそうです. $a_{n+1}-\alpha=3(a_{n}-\alpha)$ どうすれば $\alpha$ が求められるか.与式から上の式を引けば $a_{n+1}=3a_{n}-8$ $\underline{- \) \ a_{n+1}-\alpha=3(a_{n}-\alpha)}$ $\alpha=3\alpha-8$ $\alpha$ を求めるための式 (特性方程式) が出ます.解くと $\alpha=4$ (特性解) となります. 漸化式 特性方程式 極限. $a_{n+1}-4=3(a_{n}-4)$ となりますね.$\{a_{n}-4\}$ は初項 $a_{1}-4=2$,公比 $3$ の等比数列となって,$\{a_{n}-4\}$ の一般項を出せます.その後 $\{a_{n}\}$ の一般項を出します. 後は解答を見てください. 特性方程式を使って特性解を導く途中過程は答案に書かなくても大丈夫です. 解答 $\alpha=3\alpha-8 \Longleftrightarrow \alpha=4$ より ←書かなくてもOK $a_{n+1}-4=3(a_{n}-4)$ と変形すると,$\{a_{n}-4\}$ は初項 $a_{1}-4=2$,公比 $3$ の等比数列となるので,$\{a_{n}-4\}$ の一般項は $\displaystyle a_{n}-4=2\cdot3^{n-1}$ $\{a_{n}\}$ の一般項は $\boldsymbol{a_{n}=2\cdot3^{n-1}+4}$ 特性方程式について $a_{n+1}=pa_{n}+q$ の特性方程式は $a_{n+1}=pa_{n}+q$ $\underline{- \) \ a_{n+1}-\alpha=p(a_{n}-\alpha)}$ $\alpha=p\alpha+q$ となります.以下にまとめます.
6 【\( a_n \)の係数にnがある場合①】\( a_{n+1} = f(n) a_n+q \)型 今回の問題では,左辺の\( a_{n+1} \) の係数が \( n \) で,右辺の \( a_n \) の係数が \( (n+1) \) でちぐはぐになっています。 そこで,両辺を \( n(n+1) \) で割るとうまく変形ができます。 \( n a_{n+1} = 2(n+1)a_n \) の両辺を \( n(n+1) \) で割ると \( \displaystyle \frac{a_{n+1}}{n+1} = 2 \cdot \frac{a_n}{n} \) \( \displaystyle \color{red}{ \frac{a_n}{n} = b_n} \) とおくと \( b_{n+1} = 2 b_n \) \displaystyle b_n & = b_1 \cdot 2^{n-1} = \frac{a_1}{1} \cdot 2^{n-1} \\ & = 2^{n-1} \( \displaystyle \frac{a_n}{n} = 2^{n-1} \) ∴ \( \color{red}{ a_n = n \cdot 2^{n-1} \cdots 【答】} \) 3.