2次方程式$ax^2+bx+c=0$が解$\alpha$, $\beta$をもつとき,関係式 が成り立ちます.この関係式は, 2次方程式の係数$a$, $b$, $c$ 解$\alpha$, $\beta$ の関係式なので, この2つの等式を(2次方程式の)[解と係数の関係]といいます. この[解と係数の関係]は覚えている必要はなく,考え方が分かっていればすぐに導くことができ,同様の考え方で3次以上の方程式でも[解と係数の関係]はすぐに導くことができます. この記事では[解と係数の関係]の考え方を理解し,すぐに導けるようになることを目指します. 解説動画 この記事の解説動画をYouTubeにアップロードしています. この動画が良かった方は是非チャンネル登録をお願いします! 2次方程式の解と係数の関係 冒頭にも書きましたが, [(2次方程式の)解と係数の関係1] 2次方程式$x^2+bx+c=0$が解$\alpha$, $\beta$をもつとき, が成り立つ. この公式は2次方程式の2次の係数が1の場合です. 解と係数の関係は覚えるな！２次でも３次でもすぐに導ける！. 一般に,2次方程式の2次の係数は1の場合に帰着させられますが,2次の係数が$a$の場合の[解と係数の関係]も書いておきましょう. [(2次方程式の)解と係数の関係2] 2次方程式$ax^2+bx+c=0$が解$\alpha$, $\beta$をもつとき, $\alpha$, $\beta$を2解とする2次方程式は と表せます.この方程式は$x$の2次方程式$ax^{2}+bx+c=0$の両辺を$a$で割った に一致するから,係数を比較して, が成り立ちます. 単純に$(x-\alpha)(x-\beta)$を展開すると$x^{2}-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta$になるので,係数を比較しただけなので瞬時に導けますね. $x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=(x-\alpha)(x-\beta)$の両辺で係数を比較すれば,解と係数の関係が直ちに得られる. 例1 2次方程式$2x^2+bx+c=0$の解が$\dfrac{1}{2}$, 2であるとします.解と係数の関係より, だから, となって,もとの2次方程式は$2x^2-5x+2=0$と分かります. 例2 2次方程式$x^2+bx+1=0$の解の1つが3であるとします.もう1つの解を$\alpha$とすると,解と係数の関係より, である.よって,もとの2次方程式は$x^2-\dfrac{10}{3}x+1=0$で,この解は$\dfrac{1}{3}$, 3である.
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複雑な方程式が絡む問題になればなるほど、解と係数の関係を使えるとすっきりと解答を導くことができるようになります。 問題集で練習を積んで、解と係数の関係を自在に使いこなせるようにしましょう!
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