一緒に解いてみよう これでわかる! 例題の解説授業 等差数列の一般項を求める問題ですね。 等差数列の一般項 は a n =a 1 +(n-1)d で表せることがポイントでした。 POINT 初項a 1 =2、公差d=6ですね。 a n =a 1 +(n-1)d に代入すると、 a n =2+(n-1)6 となり、一般項 a n が求まりますね。 (1)の答え 初項a 1 =9、公差d=-5ですね。 a n =9+(n-1)(-5) (2)の答え
4 等差数列の性質(等差中項) 数列 \( a, \ b, \ c \) が等差数列ならば \( b – a = c – b \) ゆえに \( 2b = a+c \) このとき,\( b \) を \( a \) と \( c \) の 等差中項 といいます。 \( \displaystyle b = \frac{a + c}{2} \) より,\( b \) は \( a \) と \( c \) の 相加平均 になります。 3. 等差数列の和 次は等差数列の和について解説していきます。 3. 等差数列の一般項トライ. 1 等差数列の和の公式 等差数列の和の公式 3. 2 等差数列の和の公式の証明 まずは具体的に 「初項 1 ,公差2 ,項数10 の等差数列の和S 」 を求めることを考えてみましょう。 次のように,ますSを並べ,その下に和の順序を逆にしたものを並べます。 そして辺々を足します。 すると,「2S=20が10個分」となるので \( 2S = 20 \times 10 \) ∴ \( \displaystyle \color{red}{ S} = \frac{1}{2} \times(20 \times 10) \color{red}{ = 100} \) と求めることができました。 順序を逆にしたものと足し合わせることで,和が同じ数字が項の数だけ出てくるので,数列の和を求めることができます! この考え方で,一般化して等差数列の和を求めてみましょう。 初項 \( a \),末項 \( l \),項数 \( n \) の等差数列の和を \( S_n \) とすると 右辺は,\( a + l \) を \( n \) 個加えたものなので \( 2 S_n = n (a+l) \) ∴ \( \displaystyle \color{red}{ S_n = \frac{1}{2} n (a + l)} \cdots ① \) また,\( l \) は第 \( n \) 項なので \( l = a + (n-1) d \) これを①に代入すると \( \displaystyle \color{red}{ S_n = \frac{1}{2} n \left\{ 2a + (n-1) d \right\}} \) が得られます。 よって公式②は①を変形したものです。 3. 3 等差数列の和を求める問題 それでは,公式を使って等差数列の和を求める問題にチャレンジしてみましょう。 (1) は初項・公差がわかっているので,公式①で一発です。 (2) は初項1,公差3,末項100とわかりますが, 項数がわかりません 。 まずは項数を求めてから,公式で和を求めます 。 (1) 初項20,公差3,項数10より \displaystyle \color{red}{ S} & = \frac{1}{2} \cdot 10 \left\{ 2 \cdot 20 + (10-1) \cdot 3 \right\} \\ & \color{red}{ = 335 \cdots 【答】} (2) 初項1,公差3であるから,末項100が第 \( n \) 項であるとすると \( 1 + (n-1) \cdot 3 = 100 \) ∴ \( n = 34 \) よって,初項1,末項100,項数34の等差数列の和を求めると \displaystyle \color{red}{ S} & = \frac{1}{2} \cdot 34 (1 + 100) \\ & \color{red}{ = 1717 \cdots 【答】} 等差数列の和の公式の使い分け 4.
\) また、等差中項より \(2b = a + c …③\) ③ を ① に代入して、 \(3b = 45\) \(b = 15\) ①、② に戻して整理すると、 \(\left\{\begin{array}{l}a + c = 30 …①'\\ac = 216 …②'\end{array}\right. \) 解と係数の関係より、\(a\) と \(c\) は \(x\) に関する二次方程式 \(x^2 – 30x + 216 = 0\) の \(2\) 解であることがわかる。 因数分解して、 \((x − 12)(x − 18) = 0\) \(x = 12, 18\) \(a < c\) より、 \(a = 12、c = 18\) 以上より、求める \(3\) 数は \(12, 15, 18\) である。 答え: \(12, 15, 18\) 以上で、計算問題も終わりです! 等差数列は、最も基本的な数列の \(1\) つです。 覚えることや問題のバリエーションが多く、大変に感じるかもしれませんが、等差数列の性質や公式の成り立ちを理解していれば、なんてことはありません。 ぜひ、等差数列をマスターしてくださいね!
東大塾長の山田です。 このページでは、 数学 B 数列の「等差数列」について解説します 。 今回は 等差数列の基本的なことから,一般項,等差数列の和の公式とその証明 まで,具体的に問題(入試問題)を解きながら超わかりやすく解説していきます。 また,参考として調和数列についても解説しています。 ぜひ勉強の参考にしてください! 1. 等差数列とは? まずは,等差数列の定義を確認しましょう。 等差数列 隣り合う2項の差が常に一定の数列のこと。 例えば,数列 1, 4, 7, 10, 13, 16, \( \cdots \) は,初項1に次々に3を加えて得られる数列です。 1つの項とその隣の項との差は常に3で一定です。 このような数列を 等差数列 といい,この差(3)を 公差 といいます。 したがって,等差数列 \( {a_n} \) の公差が \( d \) のとき,すべての自然数 \( n \) について次の関係が成り立ちます。 等差数列の定義 \( a_{n+1} = a_n + d \) すなわち \( a_{n+1} – a_n = d \) 2. 等差数列の一般項 2. 1 等差数列の一般項の公式 数列 \( {a_n} \) の第 \( n \) 項 \( a_n \) が \( n \) の式で表されるとき,これを数列 \( {a_n} \) の 一般項 といいます。 等差数列の一般項は次のように表されます。 なぜこのような式なるのかを,必ず理解しておきましょう。 次で解説していきます。 2. 等差数列の一般項の求め方. 2 等差数列の一般項の導出 【証明】 初項 \( a \),公差 \( d \) の等差数列 \( {a_n} \) の第 \( n \) 項は次の図のように表される。 第 \( n \) 項は,初項 \( a_1 = a \) に公差 \( d \) を \( (n-1) \) 回加えたものだから,一般項は \( \large{ \color{red}{ a_n = a + (n-1) d}} \) となる。 2. 3 等差数列の一般項を求める問題(入試問題) 【解答】 この数列の初項を \( a \),公差を \( d \) とすると \( a_n = a + (n-1) d \) \( a_5 = 3 \),\( a_{10} = -12 \) であるから \( \begin{cases} a + 4d = 3 \\ a + 9d = -12 \end{cases} \) これを解くと \( a = 15 \),\( d = -3 \) したがって,公差 \( \color{red}{ -3 \cdots 【答】} \) 一般項は \( \begin{align} \color{red}{ a_n} & = 15 + (n-1) \cdot (-3) \\ \\ & \color{red}{ = -3n + 18 \cdots 【答】} \end{align} \) 2.
この記事では、等差数列の問題の解き方の基本をご説明します。数列は苦手な人が多いですが、公式をきちんと理解して、しっかり解けるように勉強しましょう。 等差数列の基本 まず等差数列とは何か?ということをきちんと理解しましょう。そうすれば基本の公式もしっかり覚えて応用することができます。 ◆等差数列とは?
上の図を見てください。 n番目の数を出すには、公差を(n-1)回足す必要があります。間の数は木の数よりも1つ少ないという、植木算と同じですね。 以上より、 初項=3 公差=4 公差を何回足したか=n-1 という3つの数字が出そろいました。 これを一般化してみましょう。 これが、等差数列の一般項を求める公式です。 等差数列のコツ:両脇を足したら真ん中の2倍?
調和数列【参考】 4. 1 調和数列とは? 等差数列の公式まとめ（一般項・和の公式・証明） | 理系ラボ. 数列 \( {a_n} \) において,その逆数を項とする数列 \( \displaystyle \left\{ \frac{1}{a_n} \right\} \) が等差数列をなすとき,もとの数列 \( {a_n} \) を 調和数列 といいます。 つまり \( \displaystyle \color{red}{ \frac{1}{a_{n+1}} – \frac{1}{a_n} = d} \) (一定) 【例】 \( \displaystyle 1, \ \frac{1}{3}, \ \frac{1}{5}, \ \frac{1}{7}, \ \cdots \) は 調和数列 。 この数列の各項の逆数 \( 1, \ 3, \ 5, \ 7, \ \cdots \) は,初項1,公差2の等差数列であるから。 4. 2 調和数列の問題 調和数列に関する問題の解説もしておきます。 \( \left\{ a_n \right\}: 30, \ 20, \ 15, \cdots \) が調和数列であるから, \( \displaystyle \left\{ \frac{1}{a_n} \right\}: \frac{1}{30}, \ \frac{1}{20}, \ \frac{1}{15}, \cdots \) は等差数列となる。 \( \displaystyle \left\{ \frac{1}{a_n} \right\} \) の初項は \( \displaystyle \frac{1}{30} \),公差は \( \displaystyle \frac{1}{20} – \frac{1}{30} = \frac{1}{60} \) であるから,一般項は \( \displaystyle \frac{1}{a_n} = \frac{1}{30} + (n-1) \cdot \frac{1}{60} = \frac{n+1}{60} \) したがって,数列 \( {a_n} \) の一般項は \( \displaystyle \color{red}{ a_n = \frac{60}{n+1} \cdots 【答】} \) 5. 等差数列まとめ さいごに今回の内容をもう一度整理します。 等差数列まとめ 【等差数列の一般項】 初項 \( a \),公差 \( d \) の等差数列 \( {a_n} \) の一般項は ( 第 \( n \) 項) =( 初項) +(\( n \) -1) ×( 公差) 【等差数列の和の公式】 初項 \( a \),公差 \( d \),末項 \( l \),項数 \( n \) の等差数列の和を \( S_n \) とすると \( \displaystyle \large{ \color{red}{ S_n = \frac{1}{2} n (a + l)}} \) \( \displaystyle \large{ \color{red}{ S_n = \frac{1}{2} n \left\{ 2a + (n-1) d \right\}}} \) 以上が等差数列の解説です。 和の公式は,公式を丸暗記するというよりは,式の意味を理解することが重要です!
ミッフィーちゃん♡ もうとにかく可愛くて可愛くて、吸い寄せられるようにお店の中へ ♪ ミッフィーちゃんのパン屋さん「みっふぃーベーカリー」は、色々な可愛いミッフィーちゃんのパンがあって、その中でも特にキュンときたのが「みっふぃーあんぱん」、一気に3つも買っちゃいました!! 可愛い・・可愛過ぎる・・♡ しかも入れ物も可愛過ぎるという・・ズルいミッフィー先生。。 ミッフィーちゃんのお家・・可愛い(。>﹏<。)♡ そして主人も可愛さにキュンと来たのでしょう。 お店を出てしばらくすると「まだ残ってたら買おう」と、追加購入決定(笑) 先程より少し色白のミッフィーちゃん、手作りな感じがたまりません♡ しかも何と可愛いだけでなく、このみっふぃーあんぱん、めちゃめちゃ美味しい♡ 大満足の一品でした! もちろん、ミッフィーちゃんと一緒に写真も撮ったよ♡ 前掛けしてるのミッフィーちゃん・・♡ そして今朝の朝ご飯はもちろん ♪ いっぱい連れて帰ってよかった♡ 皆さん、こんにちは♡ お天気の良い日が続きますね☀ 気温も高くて、もう半袖のお客様が!! 【速報】新型コロナ 下関でさらに１人/８０代女性 県内延べ３５２人に / 山口新聞 電子版. 先日、初めて訪れた山口県の観光名所「国民宿舎 大城」さんへ行ってきました! 笠戸島にある国民宿舎 大城さん、この日はお天気もよくテンション上がる上がる!! めちゃめちゃキレイな海♡ ここは国民宿舎 大城さんにある高台ですが景色が良くて最高です! こんな時「ヤッホー」しか出てこないって悲しい・・(笑) そしてそして・・猫派な私に最高の喜びが・・・♡ キャー♡可愛過ぎる!! 国民宿舎 大城さんは素敵な場所なのが証明されています、猫様は運気が良かったり、気が良い場所や人の傍に行きたがったり、身を寄せるって言いますから♡ ただ、私がいくら大好きでも猫様側がどう思ってらっしゃるかは別の話・・ このとても嫌そうな表情をご覧ください(。>﹏<。)(笑) でもでも、とても人懐っこい猫様だったんですよ?💦 もう一匹(いつもは一人って言ってます♡)いらっしゃって、この子もとっても可愛くて、でも身体をよじらせて拒否感を表してくれました💦 こんな嫌がられることある?💦 お構いなしに満面の笑顔の私・・。 たくさん撫でさせてくれて、可愛くて可愛くて最高でした♡ 今回は倫理法人会のイベントで伺った国民宿舎 大城さん、お土産で入浴券をいただいたので、大浴場から観る景色も絶景とお聞きしたので今からとても楽しみです ♪ また猫様にも逢えますように・・♡ なかなかお出かけが難しい今だからこそ、最近はお肌のお手入れを入念に行っています!最近お気に入りの美容ドリンクをお客様に紹介したら凄く気に入っていただけたので、またこちらにもご紹介します♡ 今日のマツエクのお客様は、60代のお客様です♡ とにかく素敵なのが、理想がハッキリしていること!
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山口県防府市は26日までに、新型コロナウイルスワクチンを接種した50代女性が、経過観察中に意識が一時薄れ、市内の病院に救急搬送されたと発表した。副反応の疑いがあるとみられる。女性は入院したが回復に向かっているという。 市は24日から高齢者や障害者の通所型・訪問型事業所の職員約2千人を対象に先行接種を行っている。女性は同日、接種を受けたが、30分の経過観察中に気分が悪くなり、血圧の低下などが見られたという。 全国の最新ニュース ニュース速報 16:17 最低賃金、30円引き上げを答申 16:14 県内で新型コロナに6人感染 16:10 東由利で今年最高35・8度 12:42 羽後本荘駅の新駅舎、供用始まる 秋田の天気 8/5(木) 8/6(金) 33 ℃ 36 ℃ - 25 ℃ 7(土) 8(日) 9(月) 10(火) 11(水) 12(木) アクセスランキング(ニュース) 1時間 24時間 1週間 1 東由利で今年最高35・8度 全地点で30度上回る 2 「きれい」「便利になった」 羽後本荘駅新駅舎、供用始まる 3 「大曲の花火」中止だけど…協賛2社、県内7市町で打ち上げ 4 新・羽後本荘駅(下)近隣住民の声 整備効果、期待と疑問 5 暑さで気温表示板も狂った? 大仙市協和荒川で「44度」 6 利き酒実習「酒を造る者には必須」 コロナ対策で分散開催 7 はなの民泊通りへようこそ(2)きっかけ 岩手の民宿を参考に 8 明桜「ぶれずに全国制覇目指す」 夏の甲子園、9日から熱戦 9 玉川、鎧畑ダム一体運用へ推進室設置 情報伝達訓練も実施 10 五輪馬術、"竿燈"跳び越える まつりない夏、関係者に喜び 秋田市で8人が新型コロナ感染 大学クラスター1人増える 飲食店で3人食中毒、カンピロバクター菌検出 由利本荘 秋田市で新たに大学クラスター 同じ部活動で計5人感染 クマ、トウモロコシ130本食い荒らす? 北秋田市 機械に挟まれ58歳男性窒息死 由利本荘市の工場 須川―雄勝こまち間通行止め 湯沢横手道路で事故、緊急工事 県内で新たに7人が新型コロナ 累計1013人 県内で新たに7人が新型コロナ感染 累計1020人 県内で新たに5人が新型コロナ感染 3人は大仙保健所管内 秋田市で新たに3人が新型コロナ感染 3日は県内6人が新型コロナ感染 明桜など3校が東北大会へ、吹奏楽コンクール県大会高校部門 秋田市で新たに1人が新型コロナ 累計感染者1021人 1万円分を8千円で プレミアム付き商品券販売開始、秋田市
防府市新田の三田尻大橋の近くにある雑木林でサギ類がコロニー(集団繁殖地)を形成し、愛鳥家や地域の人たちが巣作りやひな鳥の成長を見守るなど話題になっている。 コロニーは臨海部の工業地帯で大型トラックなどの車両が頻繁に行き交う県道のそばにある。歩道からわずか数十メートルと近く、営巣から子育てまでの繁殖行動を間近に見ることができる。40羽ほどがおり、つがいとみられる成鳥が巣にする枝切れをくち・・・